Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости.

Раздел VI

Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.

Числовые ряды.

Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

  Рассмотрим числовую последовательность

              .

Определение 6.1. Выражение вида

                                                                                       (6.1)

называется числовым рядом, а  называется общим членом этого ряда.

Определение 6.2. Сумма первых п членов данного ряда  называется п -ой частичной суммой этого ряда и обозначается через

                 .                                                             (6.2)

Определение 6.3. Ряд называется п -ым остатком ряда и обозначается через

                 .                                                              (6.3)

Определение 6.4. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм , где

                 .

При этом предел  последовательности частичных сумм  называется суммой данного ряда

                                                                                                  (6.4)

Определение 6.5. Если предел последовательности частичных сумм   стремится к плюс или минус бесконечности, или вовсе не существует, то ряд  называется расходящимся.

Теорема 6.1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда (критерий Коши).

   Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для     .

Теорема 6.2. Если ряд  сходится, то любой его остаток  сходится, причем является бесконечно малой величиной. Обратно, из сходимости остатка ряда вытекает сходимость данного ряда .

Теорема 6.3. (необходимое условие сходимости ряда).

   Для сходимости ряда необходимо, чтобы общий член ряда при  стремился к нулю, то есть

                                                                                                                      (6.5)

Доказательство: по условию теоремы дано, что ряд сходится. Нужно доказать, что

                                                                      

Обозначим сумму ряда через S

                                                                                    (6.6)

Очевидно, что

                           .                                                                                (6.7)

Перейдем в (6.7) к пределу при  и учтем (6.6). Тогда получим

                                                                 (6.8)

Теорема доказана.

Замечание 6.1. Условие (6.5) является необходимым условием сходимости ряда и недостаточным. То есть, если ряд сходится, то обязательно его общий член стремится к нулю при . Но если известно, что , то отсюда не следует, что ряд сходится. Поэтому при исследовании любого ряда на сходимость желательно, прежде всего, проверить необходимое условие сходимости. Если , то заведомо ряд расходится. А если , то дальше нужно исследовать на сходимость данный ряд, пользуясь достаточными условиями сходимости.

Ниже два основных свойства сходящихся рядов сформулируем в виде теорем (теоремы 6.4. и 6.5).

Теорема 6.4. Если ряд сходится, то ряд , где   также сходится и                                                                    (6.9)

Доказательство: обозначим  и Так как в верхних суммах конечное число слагаемых, то справедливо

                                       .

Тогда

                                                                              (6.10)

По условию теоремы ряд сходится, то есть

                                                                                            (6.11)

где S сумма сходящегося ряда . Учитывая (6.11) из (6.10) получим

                                          

где  сумма ряда .

Теорема доказана.

Теорема 6.5. Если ряды и  сходятся, то ряд  также сходится и

.                                    (6.12)

Замечание 6.2. Теорему 6.5 можно сформулировать и так: сходящиеся ряды можно складывать почленно.

Замечание 6.3. Доказательство теоремы 6.5 проводится аналогично доказательству теоремы 6.4.

Примеры числовых рядов.

Пример 6.1. Исследуем на сходимость ряд

                   .                                                                      (6.13)

Так как , а , то не существует . То есть ряд  расходится.

Ответ: Исходный ряд расходится.

Пример 6.2. Исследуем на сходимость ряд

 ,                           (6.14)

члены которого составляют геометрическую прогрессию со знаменателем

1. Если , то ,  и ряд (6.14) расходится.

2. Если , то ряд (6.14) совпадает с выше рассмотренным расходящимся рядом (6.13), то есть расходится.

3. Если , то

                     

и, следовательно, исходный ряд (6.14) сходится, причем .

4. Если , то  и ряд (6.14) расходится.

Ответ:

Пример 6.3. Пользуясь критерием Коши (см. теорему 6.1), исследуем на сходимость числовой ряд

                             ,                                                              (6.15)

который в математике известен под названием гармонического ряда.

    Заметим, что необходимое условие сходимости данного ряда выполняется, так как  . Докажем, однако, что этот ряд расходится. Для этого воспользуемся критерием Коши. А именно докажем, что, например, для  не существует такого номера , чтобы при  и для  имело бы место неравенство

                                        .

На самом деле, например, при р = п имеем оценку

                        .

Следовательно, в силу критерия Коши ряд (6.15) расходится.

Ответ: Гармонический ряд расходится.

Пример 6.4. Исследуем на сходимость ряд

                       .                         (6.16)

Пользуясь очевидным соотношением

                                                                                                  (6.17)

п -ую частичную сумму  данного ряда можно представить в виде

Тогда   и ряд (6.16) сходится, при этом .

Ответ: Исходный ряд сходится и сумма ряда равна единице.

Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости.

Определение 6.6. Если все , то числовой ряд  называется рядом с положительными членами (со строго положительными членами). Принято общий член таких рядов обозначать через .

Теорема 6.6. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами.

  Для того, чтобы ряд с положительными членами  сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда  была ограничена.

Доказательство:

а) Необходимость.

  Пусть  сходится. Тогда по определению последовательность частичных сумм этого ряда сходится, и, следовательно, по теореме Вейерштрасса она ограничена.

б) Достаточность.

    Пусть заданного ряда  ограничена. Так как  является неубывающей, то из ограниченности  по теореме Вейерштрасса следует сходимость этой последовательности. Последнее, согласно определению, влечет за собой сходимость ряда .

Теорема доказана.

  Теперь перейдем к изучению некоторых достаточных признаков сходимости рядов с положительными членами.

Теорема 6.7. Первый признак сравнения.

    Если имеем два ряда с положительными членами и  и для всех к удовлетворяется неравенство , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда , а из расходимости ряда  следуетрасходимость ряда .