Числовые последовательности.

Раздел III

Теория числовых последовательностей и функций одной переменной

Числовые последовательности.

3.1.1. Сходимость числовых последовательностей. Число

Определение 3.1. Говорим, что имеем числовую последовательность , если известно правило, согласно которому каждому из множества натуральных чисел соответствует определенное число  Полученный ряд занумерованных чисел называется числовой последовательностью.

Пример3.1. . При  при  при  и так далее.

Получаем числовую последовательность  .

Пример3.2. . При  при  при  и так далее.Получаем числовую последовательность  .

Пример 3.3. . При  при  при  и так далее.Получаем числовую последовательность  .

Пример3.4. . При  при  при  и так далее.Получаем числовую последовательность  .

Видно, что в приведенных примерах есть последовательности, у которых каждый последующий элемент меньше предыдущего (последовательности убывают), и есть последовательность, у которой каждый последующий элемент больше предыдущего (последовательность возрастает). Помимо этого есть последовательность, которая не убывает и не возрастает. Основной вопрос в теории числовых последовательностей состоит в выяснении поведения последовательности, когда номер бесконечно растет или Очевидно, что примеры 1 и 2 являются бесконечно малыми последовательностями, т.е. а пример 3 является бесконечно большой последовательностью, т.е.  Отметим, что последовательность в примере 4 не имеет предела. Если при  числовая последовательность стремится к конечному числу, то она сходится, а если стремится к бесконечности или нет предела, то она расходится.

Определение 3.2. Число называется пределом последовательности при если для произвольного положительного числа (это число выбираем заранее) можно указать (или существует) номер  такой, что при  следует неравенство  Это определение на языке символики имеет вид:

где defозначает «определяется»,  – для произвольного,  – существует,: – такое, что.

Последнее неравенство эквивалентно неравенствам: То есть число является пределом последовательности , если, начиная с номера все элементы последовательности попадают в окрестность точки  (рис. 3.1).

Можно доказать, что если  то имеют место следующие соотношения:

Рассмотрим числовую последовательность  и выясним поведение этой

последовательностипри  или другими словами вычислим предел Исследования показали, что данная последовательность возрастает , но ограничена сверху числом 3. По теореме Вейерштрасса такая последовательность сходится. Предел последовательности обозначен через Итак имеем  Здесь впервые встречаемся с понятием неопределенности типа единица в степени бесконечность. Отметим, что предел рассматриваемой последовательности не равен единице, а равен числу Отметим также, что и последнее называется натуральным логарифмом. В математическом анализе помимо указанной выше неопределенности будут встречаться и неопределенности других типов: