Раздел III. Теория вероятностей и математическая статистика

Контрольный вариант № 1

Задача 1. Изобразить «логическими» фигурами множества, соответствующие соотношению YÌХ.

Задача 2. Найти множество, являющееся объединением двух множеств X={3, 5, 7, 8} и Y={2, 3, 5, 9}.

Задача 3. Вычислить факториал натурального числа n=5.

Задача 4. Определить число размещений из четырех элементов по три. Записать размещения из трех элементов x, y, z по два.

Задача 5. Определить число сочетаний из пяти элементов по три. Записать сочетания из четырех элементов a, b, c, d по два.

Задача 6. Экзаменационные оценки распределились следующим образом: 5 % слушателей получили «2», 10 % – «3», 60 % – «4» и остальные слушатели – «5». Определить вероятность, что указанный наугад слушатель получил: а) отрицательную оценку, то есть оценку «2»; б) положительную оценку, то есть отличающуюся от оценки «2».

Задача № 7. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка составляет 0,9, а для второго - 0,8. Как найти вероятность того, что мишень будет поражена? Как найти вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень?

Задача № 8. Для заданного ряда распределения дискретной случайной величины найти характеристику (меры) положения – среднее значение:

х_i	2	5	7,5	8
р_i	0,1	0,2	0,4	0,3

Задача № 9. По результатам обработки статистических данных получена сводная таблица:

Год	2010	2011	2012	2013	2014
уровень	10	15	25	15	5

Рассчитать выборочные характеристики случайной величины: среднее арифметическое (выборочное среднее)), выборочную дисперсию.

Задача № 10. Составить вариационный ряд по точечным значениям элементов выборки. Определить: размах эмпирического распределения, то есть разность между наибольшим и наименьшим членами вариационного ряда; абсолютные частоты появления значений элементов выборки; относительные частоты (частости) появления значений элементов выборки; накопленные частости; построить графики вариационного ряда. При построении вариационного ряда использовать следующие исходные данные возраст:

20	19	18	24	21	17	23	18	19
18	23	20	19	22	20	19	20	18
19	24	17	16	23	19	25	21	20
22	20	18	17	21	19	20	23	25
17	24	19	17	21	18	19	21	26

Контрольный вариант № 2

Задача 1. Изобразить «логическими» фигурами множества, соответствующие соотношению XÈY.

Задача 2. Найти множество, являющееся пересечением двух множеств X={3, 5, 7, 8} и Y={2, 3, 5, 9}.

Задача 3. Вычислить факториал натурального числа n=3.

Задача 4. Определить число размещений из четырех элементов по два. Записать размещения из трех элементов a, b, c по два.

Задача 5. Определить число сочетаний пяти элементов по два. Записать сочетания из четырех элементов x, y, z, d по три.

Задача 6. Экзаменационные оценки распределились следующим образом: 5 % слушателей получили «2», 10 % – «3», 60 % – «4» и остальные слушатели – «5». Определить вероятность, что указанный наугад слушатель получил: а) удовлетворительную оценку, то есть оценку «3»; б) положительную оценку, то есть отличающуюся от оценки «2».

Задача № 7. В пирамиде стоят 10 винтовок, из них 2 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом по движущейся мишени, может поразить мишень с вероятностью 0,8, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Задача № 8. Для заданного ряда распределения дискретной случайной величины найти характеристику (меры) положения - – среднее значение:

х_i	2	4	6	7
р_i	0,05	0,25	0,3	0,4

Задача № 9. По результатам обработки статистических данных получена сводная таблица:

Год	2010	2011	2012	2013	2014
уровень	5	10	15	20	5

Рассчитать выборочные характеристики случайной величины: среднее арифметическое, выборочную дисперсию.

16	22	18	24	21	17	23	18	19
16	22	20	19	22	20	19	20	18
21	18	17	16	23	19	25	21	20
18	19	18	17	21	19	20	23	25
22	20	19	17	21	18	19	21	26

Контрольный вариант № 3

Задача 1. Изобразить «логическими» фигурами множества, соответствующие соотношению XÇY.

Задача 2. Найти множество, являющееся разностью двух множеств Y={2, 3, 5, 9} и X={3, 5}, то есть Y\X -?

Задача 3. Вычислить факториал натурального числа n=4.

Задача 4. Определить число размещений трех элементов по одному. Записать размещения из трех элементов p, r, s по два.

Задача 5. Определить число сочетаний шести элементов по три. Записать сочетания из четырех элементов x, y, z, d по два.

Задача 6. Экзаменационные оценки распределились следующим образом: 5 % слушателей получили «2», 10 % – «3», 60 % – «4» и остальные слушатели – «5». Определить вероятность, что указанный наугад слушатель этой группы получил: а) хорошую оценку, то есть оценку «4»; б) положительную оценку, то есть отличающуюся от оценки «2».

Задача № 7. Две поисковые группы одновременно участвуют в обнаружении преступника на одном участке лесистой местности. Вероятность обнаружения преступника первой группой равна 0,8; второй группой - 0,4. Какова вероятность обнаружения преступника? Какова вероятность того, что преступника обнаружит хотя бы одна группа?

х_i	3	5	6	7,5
р_i	0,1	0,2	0,3	0,4

Задача № 9. По результатам обработки статистических данных получена сводная таблица:

Год	2010	2011	2012	2013	2014
уровнь	15	5	25	15	10

Рассчитать выборочные характеристики случайной величины: среднее арифметическое, выборочную дисперсию.

При построении вариационного ряда использовать следующие исходные данные возраст:

16	22	20	19	21	17	23	18	19
16	22	18	23	22	20	19	20	18
21	18	19	24	23	19	25	21	20
18	19	22	20	21	19	20	23	25
22	20	17	24	21	18	19	21	26

Контрольный вариант № 4

Задача 1. Символически записать множество Х элементов х, состоящее из четных положительных целых чисел 2, 4, 6,…, 2n.

Задача 2. Найти множество, являющееся пересечением двух множеств X={1, 5, 8, 11, 14} и Y={2, 3, 5, 9, 16}.

Задача 3. Вычислить факториал числа n=0.

Задача 4. Определить число размещений из пяти элементов по два. Записать размещения из трех элементов d, e, f по 2.

Задача 5. Определить число сочетаний шести элементов по четыре. Записать сочетания из четырех элементов a, b, c, d по три.

Задача 6. Экзаменационные оценки распределились следующим образом: 5 % слушателей получили «2», 10 % – «3», 60 % – «4» и остальные слушатели – «5». Определить вероятность, что указанный наугад слушатель этой группы получил: а) отличную оценку, то есть оценку «5»; б) положительную оценку, то есть отличающуюся от оценки «2».

Задача № 7. В пирамиде стоят 12 винтовок, из них 6 винтовок без оптического прицела. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом по движущейся мишени, может поразить мишень с вероятностью 0,8, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

х_i	4	6	7,4	8
р_i	0,05	0,25	0,5	0,2

Задача № 9. По результатам обработки статистических данных получена сводная таблица:

Год	2000	2001	2002	2003	2004
уровень	10	15	25	15	5

Рассчитать выборочные характеристики случайной величины «Количество раскрытых преступлений»: среднее арифметическое, выборочную дисперсию.

16	22	20	19	18	24	21	17	23
16	22	18	23	20	19	22	20	19
21	18	19	24	17	16	23	19	25
18	19	22	20	18	17	21	19	20
22	20	17	24	19	17	21	18	19

v Вопросы для подготовки к экзамену

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами.

2. Определители квадратных матриц. Формулы для вычисления определителей матриц первого и второго порядка.

3. Правило Сарруса вычисления определителей матриц третьего порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы.

4. Теорема Лапласа и схема ее применения для вычисления определителей квадратных матриц любого порядка.

5. Свойства определителей.

6. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

7. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

8. Ранг матрицы. Теорема о неизменности ранга матрицы при ее элементарных преобразованиях.

9. Теорема о ранге матрицы.

10. Системы линейных уравнений и формы их математического представления.

11. Определитель системы.

12. Теорема Крамера.

13. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

14. Теорема Кронекера-Копелли.

15. Совместная, несовместная, неопределенная и определенная системы линейных уравнений.

16. Векторы на плоскости и в пространстве.

17. Скалярное произведение векторов.

18. Векторное пространство, его размерность и базис.

19. Линейная зависимость векторов. Линейное пространство.

20. Зависимость координат вектора в разных базисах.

21. Евклидово пространство.

22. Норма вектора. Ортонормированный базис.

23. Линейные операторы и операции над ними.

24. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

25. Характеристический многочлен линейного оператора.

26. Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

27. Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества.

28. Модуль действительного числа. Окрестность точки.

29. Определение функции. Способы задания функции. Свойства функций. Обратная функция. Сложная функция. Элементарные функции. Классификация функций.

30. Преобразование графиков функций.

31. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Геометрический смысл предела числовой последовательности.

32. Предел функции в бесконечности и его геометрический смысл. Предел функции в точке и его геометрический смысл.

33. Бесконечно малые величины и их связь с пределами функций. Свойства бесконечно малых величин.

34. Бесконечно большие величины. Их свойства.

35. Основные теоремы о пределах.

36. Признаки существования предела. Замечательные пределы. Способы вычисления пределов функций.

37. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.

38. Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

39. Теорема Вейерштрасса.

40. Теорема Больцано-Коши.

41. Определение производной функции. Геометрический и механический смысл производной. Зависимость между непрерывностью функции и дифференцируемостью. Схема вычисления производной.

42. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций.

43. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.

44. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные и дифференциал функции двух переменных.

45. Производная по направлению и градиент.

46. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных.

47. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

48. Интегралы от основных элементарных функций. Методы нахождения неопределенных интегралов.

49. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций. Функции, не интегрируемые в конечном виде.

50. Определенный интеграл, его геометрический смысл. Достаточное условие интегрируемости функций.

51. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

52. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

53. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление объемов тел вращения.

54. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

55. Приближенное вычисление определенных интегралов.

56. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности его решения.

57. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

58. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

59. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

60. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

61. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

62. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике. Модель естественного роста. Модель роста в условиях конкурентного рынка.

63. Классическое определение вероятности событий. Свойства вероятности событий.

64. Основные формулы комбинаторики.

65. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность.

66. Теорема сложения вероятностей.

67. Полная группа событий. Противоположные события.

68. Теорема умножения вероятностей.

69. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли.

70. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

71. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.

72. Числовые характеристики дискретных случайных величин, их свойства.

73. Закон больших чисел.

74. Теорема Чебышева.

75. Теорема Бернулли.

76. Закон равномерного распределения вероятности.

77. Нормальный закон распределения.

78. Правило трех сигм. Мода, медиана, асимметрия и эксцесс распределения. Показательное распределение.

79. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

80. Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок.

81. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

82. Статистические оценки параметров распределения. Выборочная дисперсия, несмещенная выборочная дисперсия.

83. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения и среднего квадратического отклонения.

84. Статистическая гипотеза. Ошибки первого и второго рода. Область принятия гипотезы. Критические точки. Мощность критерия.

85. Сравнение дисперсий двух генеральных совокупностей.