Глава I. Обзор основных проблем 15 страница

зываний, поскольку класс потенциальных фальсифика-

торов представляет собой класс явлений. (Это замеча-

ние имеет некоторое отношение к связи между логиче-

ской «численной вероятностью, которая анализирует-

ся в [70, разд. 72].)

35. Эмпирическое содержание,

отношение следования и степени фальсифицируемости

В разд. 31-говорилось, что то, что я называю эмпи-

рическим содержанием высказывания, возрастает вме-

сте со степенью его фальсифицируемости: чем боль-

ше высказывание запрещает, тем больше оно говорит

о мире опыта (ср. также с разд. 6). То, что я называю

«эмпирическим содержанием», тесно связано с поня-

тием «содержание», как оно определяется, например,

Карнапом [И, с. 458], однако не тождественно ему.

Для карнаповского понятия «содержание» я использую

термин «логическое содержание», чтобы отличить его

от понятия «эмпирическое содержание».

Я определяю эмпирическое содержание высказыва-

ния p как класс его потенциальных фальсификаторов

(см. разд. 31). Логическое содержание определяется

168

при помощи понятия выводимости как класс всех не-

тавтологических высказываний, выводимых из рассмат-

риваемого высказывания (такой класс можно назвать

его «классом следствий»). В соответствии с этим логи-

ческое содержание ρ по крайней мере равно (то есть

больше или равно) логическому содержанию высказы-

вания g, если q выводимо из ρ (или символически

«р—>q»* 7). Если имеет место взаимная выводимость

(символически «р·«-»·^»), то о ρ и q можно сказать, что

они имеют равное содержание 8. Если q выводимо из р,

а р невыводимо из q, то класс следствий q должен быть

собственным подмножеством класса следствий р; в

этом случае р обладает большим классом следствий и,

следовательно, большим логическим содержанием (или

логической силой)* 9.

Следствием моего определения эмпирического со-

держания является то, что сравнение логического и эм-

пирического содержаний двух высказываний ρ и q при-

водит к одному и тому же результату, если рассматри-

ваемые высказывания не содержат метафизических эле-

ментов. Поэтому мы выдвинем следующие требования:

(а) два высказывания, имеющие равное логическое со-

держание, должны иметь и равное эмпирическое содер-

жание; (Ь) высказывание р, логическое содержание ко-

торого больше, чем логическое содержание высказыва-

ния q, должно иметь также большее или по крайней

мере равное эмпирическое содержание; (с) если эмпи-

рическое содержание высказывания р больше, чем эм-

пирическое содержание высказывания q, то логическое

содержание р также должно быть больше или логиче-

ское содержание этих высказываний несравнимо. Огра-

* 7 «р—>q·», согласно приведенной трактовке, означает, что ус-

ловное высказывание с антецедентом р и консеквентом q тавтологич-

но, или логически истинно. (Когда я писал текст этой книги, я еще

не вполне осознавал это обстоятельство; не понимал я и важности

того факта, что утверждение о выводимости является метаязыковым

утверждением, см. также прим. *19 к гл. III.) Таким образом, «р—>-q»

в данном контексте необходимо читать как «из р следует q·».

8 Карнап говорит: «Металогический термин «равен по содержа-

нию» определяется как«взаимно выводимый»» [11, с. 458]. Книги

Карнапа [14 и 15] были опубликованы слишком поздно для того,

чтобы я имел возможность рассмотреть их здесь.

* 9 Если логическое содержание ρ превосходит логическое содер-

жание q, то мы также говорим, что р логически сильнее q, или что

«го логическая сила превосходит логическую силу q.

159

ничение в пункте (Ь) «или по крайней мере равное эм-

пирическое содержание» следует добавить потому, что

ρ может быть, к примеру, конъюнкцией q с некоторым

чисто экзистенциальным высказыванием или с каким-ли-

бо другим метафизическим высказыванием, которому

мы можем приписать определенное логическое содер-

жание. В этом случае эмпирическое содержание ρ не

будет превышать эмпирическое содержание q. Анало-

гичные соображения обусловливают необходимость до-

бавить к пункту (с) ограничение «или логические со-

держания этих высказываний несравнимы» (см. [70.

прил. *VII]).

Таким образом, сравнивая степени проверяемости

или эмпирическое содержание высказываний, мы бу-

дем — в случае чисто эмпирических высказываний —

приходить, как правило, к тем же самым результатам,

что и при сравнении логического содержания высказы-

ваний, то есть отношений выводимости. Следовательно,

сравнение степеней фальсифицируемости можно прово-

дить в значительной степени на основе отношений вы-

водимости. Оба типа отношений образуют форму реше-

ток, полностью связанных в узлах, представляющих про-

тиворечие и тавтологию (см. разд. 34), что можно также

выразить, сказав, что из противоречия следует лю-

бое высказывание, а тавтология следует из любого вы-

сказывания. Необходимо также отметить, что эмпири-

ческие высказывания, как мы это установили, можно

охарактеризовать как высказывания, степень фальси-

фицируемости которых находится в открытом интерва-

ле, ограниченном степенями фальсифицируемости про-

тиворечий, с одной стороны, и тавтологий — с другой.

Аналогичным образом синтетические высказывания в

целом (включая неэмпирические синтетические высказы-

вания) размещаются в соответствии с отношением сле-

дования внутри открытого интервала между противо-

речием и тавтологией.

Таким образом, позитивистскому тезису о том, что

все неэмпирические (метафизические) высказывания

являются «бессмысленными», будет соответствовать те-

зис, согласно которому проведенное мною различение

эмпирических и синтетических высказываний или эмпи-

рического и логического содержания излишне, так

как все синтетические высказывания должны быть

эмпирическими — единственными настоящими высказы-

160

ваниями, а не псевдовысказываниями. Однако мне ка-

жется, что такого рода рассуждение хотя и представ-

ляется возможным, тем не менее имеет больше шансов

запутать вопрос, чем прояснить его.

Итак, я считаю сравнение эмпирического содержа-

ния двух высказываний эквивалентом сравнения их

степеней фальсифицируемости. При этом наше методо-

логическое правило, согласно которому предпочтение

следует отдавать тем теориям, которые можно наиболее

строго проверить (см. антиконвенционалистские прави-

ла, сформулированные в разд. 20), становится эквива-

лентным правилу предпочтения теорий с наибольшим

возможным эмпирическим содержанием.

36. Уровни универсальности и степени точности

Имеется ряд методологических требований, которые

можно свести к требованию наибольшего возможного

эмпирического содержания высказываний. Два из них

еще не обсуждались. Это требование

наивысшего достижимого уровня

(степени) универсальности и требо-

вание наивысшей достижимой сте-

пени точности.

Имея это в виду, рассмотрим сле-

дующие возможные эмпирическг'о

законы.

р: Все небесные тела, обращаю-

щиеся по замкнутым орбитам, дви-

жутся по окружности, короче говоря, все орбиты небес-

ных тел имеют форму окружности.

q: Все орбиты планет имеют форму окружности,

г: Все орбиты небесных тел имеют форму эллипса,

s: Все орбиты планет имеют форму эллипса.

Отношения выводимости между этими четырьмя вы-

сказываниями изображены стрелками на помещенной

справа от них схеме. Из ρ следуют все остальные вы-

сказывания, из q следует s, которое следует и из r, a s

следует из всех остальных высказываний.

При движении ΟΙ ρ к q степень универсальности

уменьшается: q сообщает меньше, чем р, потому что

орбиты планет образуют собственный подкласс орбит

11—913 161

небесных тел. Следовательно, ρ легче фальсифициро-

вать, чем q: если фальсифицировано q, то фальсифици-

ровано и р, но не наоборот. При движении от ρ к г

степень точности (предиката) уменьшается: окружности

образуют собственный подкласс эллипсов, и если фаль-

сифицировано г, то фальсифицировано и р, но не наобо-

рот. Аналогичные соображения применимы и ко всем

другим переходам. При движении от р к s уменьшают-

ся и степень универсальности, и степень точности; при

переходе от q к s уменьшается точность, а от г к s —

универсальность. Большей степени универсальности или

точности соответствует большее (логическое или) эм-

пирическое содержание и, следовательно, большая сте-

пень проверяемости.

И универсальные, и сингулярные высказывания мож-

но записать в форме «универсального условного.выска-

зывания» (или «общей импликации», как его часто на-

зывают). Если мы преобразуем наши четыре закона в

такую форму, то, пожалуй, сможем легче и точнее

рассмотреть вопрос о том, как можно сравнить степени

универсальности и степени точности двух высказы-

ваний.

Универсальное условное высказывание (ср. прим. 14 к

гл. III) может быть записано в форме: «(χ)(ψχ — *fx)»

в словесной формулировке: «Все значения х, выполняю-

щие функцию высказывания ух, выполняют и функцию

высказывания fx». Ранее приведенное высказывание s

может быть записано так: «(х) (х есть орбита плане-

ты—*х есть эллипс)». Это высказывание означает: «Ка-

ков бы ни был х, если х есть орбита планеты, то х

есть эллипс». Пусть ρ и q будут высказываниями, за-

писанными в такой «нормальной форме». Тогда можно

сказать, что ρ представляет собой высказывание боль-

шей универсальности, чем q, если функция высказыва-

ния р в антецеденте, которую можно обозначить через

(fpX, тавтологически следует (или логически выводима)

из соответствующей функции высказывания q (которую

можно обозначить через <(qx), но не эквивалентна по-

следней; другими словами, если «(х) (у ч х—мр р я)» яв-

ляется тавтологией (или логической истиной). Анало-

гичным образом мы будем говорить, что р имеет боль-

шую точность, чем q, если «(х) (f p x—vfqx)» является

тавтологией, то есть если предикат р (или функция вы-

сказывания в консеквенте)имеет меньший объем, чем

162

предикат q, a это означает, что из предиката высказы-

вания р следует предикат высказывания q* 10.

Сформулированное определение может быть расши-

рено на функции высказываний с более чем одной пере-

менной. Элементарные логические преобразования по-

зволяют перейти от этого определения к отйошениям

выводимости, которые мы приняли и которые можно

выразить при помощи следующего правила 1 1: если два

высказывания сравнимы по их универсальности и по их

точности, то менее универсальное или менее точное вы-

сказывание выводимо из более универсального или бо-

лее точного высказывания, если, конечно, не имеет мес-

та случай, когда одно из них более универсальное, а

другое более точное (как это действительно произо-

шло с высказываниями q и г на нашей схеме) 12.

Теперь мы можем сказать, что наше методологиче-

ское решение (иногда метафизически интерпретируемое

как принцип причинности) состоит в том, чтобы ничего

не оставлять необъясненным, то есть всегда пытаться

выводить рассматриваемые высказывания из других вы-

сказываний большей степени универсальности. Это ре-

шение продиктовано требованием наивысшей достижи-

мой степени универсальности и точности и может быть

сведено к требованию или правилу, согласно которому

предпочтение следует отдавать тем теориям, которые

могут быть наиболее строго проверены.

* 10 В дальнейшем мы увидим, что в данном разделе (в отличие

от разд. 18 и 35) стрелка используется для выражения условного вы-

сказывания, а не для выражения отношения следования (см. также

прим. *19 к гл. I I I).

11 Мы можем записать: \[(<p Q x—*<р/>х) · (fpX—>-/?*)]—*[(<fp x —>·

—>-/»—»-(Φ?*— *М], или короче: [(φ,—>-φ ρ) · (f p —>-/,)]—>-

—>-(/?— >-q). * Элементарный характер этой формулы, о котором го-

ворится в тексте, становится очевидным, если мы запишем

«[(о—>-Ь) · (с—>-rf)|—>-[(&—*-с)—>(а—»-rf)]» и в соответствии с

текстом заменим «о—»-с» на «р» и «а—>-rf» на «g» и т. д.

is TO, что я называю большей универсальностью высказывания,

грубо говоря, соответствует тому, что в классической логике может

быть названо большим «объемом субъекта», а то, что я называю

большей точностью, соответствует меньшему объему, или «ограниче-

нию предиката». Правило для отношения выводимости, которое

мы толькочто обсуждали, может рассматриваться как уточнение

и сочетание классического «dictum de omni et nulle» с принципом

«nota-notae» — «фундаментального принципа опосредованной преди-

кации» (см. [4, т. II, § 263, № 1 и 4] и [49, § 34, разд. 5 и 7]).

11· 163

37. Логические пространства возможностей.

Замечания по поводу теории измерения

Если высказывание p легче фальсифицировать, чем

высказывание q, в силу его более высокого уровня уни-

версальности или точности, то класс допускаемых p ба-

зисных высказываний является собственным подклас-

сом класса базисных высказываний, допускаемых q.

Отношение включения между классами допускаемых

высказываний противоположно отношению включения

между классами запрещаемых высказываний (потен-

циальных фальсификаторов). Об этих отношениях мож-

но сказать, что они являются обратными (или допол-

нительными). Класс базисных высказываний, допускае-

мых некоторым высказыванием, можно назвать «про-

странством возможностей» (range) этого высказывания 13.

«Пространство возможностей», которое некоторое вы-

сказывание оставляет реальности, является, так ска-

зать, количеством «простора» (или степенью свободы),

которое оно предоставляет реальности. Пространство

возможностей и эмпирическое содержание (см. разд. 35)

являются обратными (или дополнительными) понятия-

ми. Соответственно пространства возможностей двух

высказываний относятся к друг другу точно так же,

как их логические вероятности (см. разд. 34).

Я ввел понятие пространства возможностей потому,

что оно помогает нам рассмотреть некоторые вопросы,

связанные со степенью точности при измерении. Пред-

положим, что следствия двух теорий столь мало раз-

личаются во всех областях их применения, что эти

очень малые различия между рассчитанным«наблю-

даемыми событиями не могут быть обнаружены именно

потому, что степень точности, достижимая при наших

измерениях, недостаточно велика. В этом случае невоз-

можно сделать выбор между двумя теориями на осно-

вании эксперимента, если сначала не улучшить нашу

13 Понятие пространства возможностей (Spielraum) введено

в 1886 году фон Кризом [48], сходные идеи имеются у Больцано [4].

Вайсманн [89, с. 228] попытался соединить теорию пространства

возможностей с частотной теорией (см. [70, разд.72]). * Кейнс пере-

вел Spielraum термином «область» (field) [44, с. 88]; я же пере-

вожу этот термин как «пространство возможностей («range»). Кейнс

также использует [44, с. 224] термин «сфера» («scope»), что, на мой

взгляд, означает в точности то же самое.

164

технику измерения* 14. Это показывает, что господствую-

щая техника измерения определяет некоторое простран-

ство возможностей, то есть область, внутри которой

теорией допускаются расхождения между наблюде-

ниями.

Таким образом, из правила, согласно которому тео-

рии должны иметь наивысшую достижимую степень

проверяемости (и поэтому должны допускать только

наименьшее пространство возможностей), вытекает тре-

бование о том, что степень точности при измерении

должна быть высокой, насколько это возможно.

Часто говорят, что любое измерение состоит в опре-

делении совпадения точек. Однако любое такое опреде-

ление может быть корректным только внутри некоторых

границ. В строгом смысле не существует совпадения

точек* 15. Две физические «точки», скажем штрих на

линейке и штрих на измеряемом теле, в лучшем случае

могут быть достаточно точно совмещены, но они не мо-

гут совпасть, то есть срастись в одну точку. Сколь бы

банальным это замечание ни казалось в любом другом

контексте, оно важно для рассмотрения вопроса о точ-

ности при измерении, так как напоминает нам о том,

что измерение следует описывать следующим образом.

Мы обнаруживаем, что данная точка измеряемого тела

лежит между двумя делениями или отметками на ли-

нейке или, скажем, что стрелка нашего измерительного

прибора находится между двумя делениями шкалы.

Тогда можно либо рассматривать эти деления и отмет-

ки как две оптимальные границы ошибки, либо продол-

жать дальше оценку положения, скажем стрелки внут-

ри интервала между этими делениями, и таким образом

получить более точный результат. Второй случай мож-

но описать, сказав, что мы считаем стрелку располо-

женной между двумя воображаемыми делениями на

шкале. Таким образом, некоторый интервал или неко-

торое пространство возможностей остается всегда.

Для физиков стало обычаем оценивать этот интервал

Для каждого измерения. (Так, следуя Милликену, они

определяют, например, элементарный заряд электрона,

* 14 Это положение, как мне кажется, было ложно интерпретиро-

вано Дюгемом (см. [23, с. 137]).

* 15 Заметим, что я говорю здесь об измерении, а не о счете. (Раз-

личие между двумя этими процессами тесно связано с различием

между действительными и рациональными числами.)

165

измеряемый в электростатических единицах, как

е = 4,774-10"'°, добавляя, что область неточности равна

±0,005-10~ 10.) Однако при этом возникает проблема.

Какова же цель нашей замены одной отметки на шкале

двумя, а именно двумя границами интервала, когда для

каждой из этих границ снова возникает тот же вопрос:

каковы же пределы точности для границ данного интер-

вала?

Использование границ интервала, конечно, бесполез-

но, если такие границы в свою очередь не могут быть

зафиксированы со степенью точности, значительно пре-

восходящей ту степень, которую мы можем надеяться

достигнуть при исходном измерении. Иначе говоря,

границы должны быть зафиксированы с такими соб-

ственными интервалами неточности, которые были бы

на несколько порядков меньше, чем интервалы, кото-

рые определяют результаты исходного измерения. Это

возможно, если границы интервала не являются жестки-

ми границами, а в действительности представляют со-

бой очень малые интервалы, границами которых яв-

ляются еще значительно меньшие интервалы, и т. д.

Следуя по этому пути, мы приходим к идее о том, что

можно было бы назвать «нежесткими границами» или

«сжимающимися границами» таких интервалов.

Высказанные соображения не предполагают ни ма-

тематической теории ошибок, ни теории вероятностей.

Они выражают другой подход к проблеме. На основе

анализа понятия измерения интервала они закладывают

основание, без которого статистическая теория ошибок

имеет очень мало смысла. Если мы много раз измеряем

некоторую величину, то мы получаем оценки, которые

с разными плотностями распределены по некоторому

интервалу точности, зависящему от имеющейся измери-

тельной техники. Только тогда, когда мы знаем, что мы

ищем, а именно сжимающиеся границы интервала, мы

можем применять к этим оценкам теорию ошибок н

определять границы интервала* 1 6.

Все сказанное, как мне представляется, проливает

некоторый свет на превосходство методов, использую-

щих измерения, над чисто качественными методами.

»IG д ти соображения тесно связаны н подкрепляются некоторы-

ми результатами, которые обсуждаются в [70, прил. *1Х. третья за-

метка, п. 8 и далее].

166

Верно, что даже в случае качественных оценок, напри-

мер оценки высоты музыкального звука, иногда можно

указать интервал точности таких оценок. Однако если

измерения не проводятся, то такой интервал может

быть только очень расплывчатым, поскольку в таких

случаях понятие сжимающейся границы не может быть

применено. Это понятие применимо только там, тде мы

говорим о порядках величины, а следовательно, там,

где определяются методы измерения. Я использую по-

нятие сжимающихся границ интервалов точности для

обсуждения проблем теории вероятностей (см. [70,

разд. 68]).

38. Степени проверяемости,

сравниваемые посредством размерностей

До сих пор мы рассматривали сравнение теорий по

степени их проверяемости только в той мере, в какой

они могут сравниваться с помощью отношения вклю-

чения классов. В некоторых случаях этот метод вполне

успешно помогает нам сделать выбор между теориями.

Так, мы можем теперь сказать, что введенный Паули

принцип исключения, упомянутый в качестве примера в

разд. 20, действительно оказывается в высокой степени

удовлетворительным в качестве дополнительной гипо-

тезы именно потому, что он резко увеличивает степень

точности и вместе с ней степень проверяемости старой

квантовой теории (аналогично соответствующему

утверждению новой квантовой теории, согласно которо-

му антисимметричные состояния реализуются электро-

нами, а симметричные состояния — незаряженными или

многократно заряженными частицами).

Вместе с тем для многих целей сравнение теорий по-

средством отношения включения классов недостаточно.

Так, Франк, например, указал, что высказывания высо-

кого уровня универсальности типа принципа сохранения

энергии в формулировке Планка легко могут стать тав-

тологиями и потерять свое эмпирическое содержание,

если начальные условия не могут быть определены

«с помощью немногих измерений... то есть с помощью

малого числа величин, характеризующих состояние си-

стемы» [26, с. 24]. Вопрос о числе параметров, которые

должны быть установлены и подставлены в соответ-

ствующие формулы, не может быть прояснен с помощью

167

отношения включения классов, несмотря на то, что

этот вопрос тесно связан с проблемой проверяемости и

фальсифицируемое™ и их степеней. Чем меньше необ-

ходимо величин для определения начальных условий,

тем менее неэлементарными (см. прям. *3 к этой гла-

ве) будут базисные высказывания, обеспечивающие

фальсификацию теории, так как фальсифицирующее

базисное высказывание представляет собой конъюнкцию

начальных условий с отрицанием выводимого предска-

зания (см. разд. 28). Таким образом, можно сравнивать

теории по степени их проверяемости путем установле-

ния минимальной степени неэлементарности, которую

должно иметь базисное высказывание, чтобы оно мог-

ло вступить в противоречие с теорией. Конечно, все

это возможно при условии, что мы можем найти способ

сравнивать базисные высказывания, позволяющий уста-

новить, являются ли они более или менее неэлементар-

ными, то есть соединениями большего или меньшего

числа базисных высказываний более простого вида. Не-

зависимо от своего содержания все базисные высказы-

вания, чья степень неэлементарности не достигает не-

обходимого минимума, допускаются теорией просто по

причине их малой степени неэлементарности.

Однако любая такая программа сталкивается с за-

труднениями, поскольку в общем случае на основании

простого наблюдения не так легко установить, является

ли некоторое высказывание неэлементарным, то есть эк-

вивалентным конъюнкции более простых высказыва-

ний. Действительно, во все высказывания входят уни-

версальные имена и, анализируя эти имена, часто

можно разложить такие высказывания на конъюнктив-

ные компоненты (так, высказывание «В месте k имеет-

ся стакан воды» вполне можно в ходе анализа разло-

жить на конъюнктивные компоненты «В месте k имеет-

ся стакан, содержащий жидкость» и «В месте k имеет-

ся вода»). При этом нет никакой надежды найти

какой-нибудь естественный предел рассечения выска-

зываний при помощи этого метода, в частности потому,

что мы всегда можем вводить новые универсалии,

определенные специально с целью сделатьвозможным

дальнейшее рассечение высказываний.

Для обеспечения сравнимости степеней неэлемен-