Пример решения задачи методом искусственного

  базиса

 

Выделить допустимое базисное решение для задачи ЛП.

 

 

Приведем задачу к канонической форме на минимум с неотрицательными правыми частями.

 

 

Заметим, что переменные  и  можно использовать для введения в исходный базис, поэтому в первую и третью строку ограничений можно не вводить искусственные переменные.

Во вторую строку ограничений вводим искусственную переменную z, потому что в этой строке нет переменной, которую можно взять базисной, не проводя при этом дополнительных преобразований всей системы ограничений.

 

Полученная вспомогательная задача имеет вид

Приведем задачу к виду (16):

Выпишем соответствующую симплексную таблицу:

 

	B
	10	5	4	-1
	3	3	-2	0
	10	5	4	-1
	5	2	1	0

 

Ведущий столбец рекомендуется выбирать не по максимальному положительному элементу строки целевой функции, а так, чтобы из базиса выводилась искусственная базисная переменная (соответствующая ведущая строка должна быть строкой искусственной переменной). Так, выбрав ведущим столбцом столбец переменной , получим ведущую строку – строку с переменной z (выбирая ведущим столбцом , получили бы ведущую строку  и из базиса выводилась бы переменная ).

Итак, искусственная переменная z выйдет из базиса, а переменная  введется в базис.

Симплексная таблица преобразуется к виду

 

	B
	0	0	-1	0
	8	11/2	1/2	-1/2
	5/2	5/4	1/4	-1/4
	5/2	3/4	-1/4	1/4

 

Так как значение , то полученный базис  является начальным допустимым базисом для исходной задачи ЛП. Чтобы выразить целевую функцию  через небазисные переменные , подставим значение базисной переменной  в целевую функцию. В результате получим

Тогда исходная задача будет иметь вид специальной формы задачи ЛП:

что и требовалось получить в результате решения вспомогательной задачи.

 

Пример решения задачи двойственным

  симплекс-методом

 

Решить задачу ЛП двойственным симплекс-методом.

Приводим задачу к каноническому виду:

Знаки в ограничениях заменили противоположными для того, чтобы переменные  и  можно было взять в качестве базисных. Симплексная таблица имеет вид

 

	b
L	0	-1	-1	0
	-2	-1	1	-1
	-1	-2	-1	1

 

Таблица двойственно-допустимая, но не оптимальная. Выбираем ведущую строку – это строка переменной , ведущий столбец – это столбец переменной . После преобразования таблица принимает вид

 

	b
L	0	-1	-1	0
	2	1	-1	-1
	-3	-3	0	1

 

Так как в столбце b есть отрицательная переменная , то эту строку выбираем ведущей, а столбец переменной  будет ведущим столбцом. После преобразования получаем таблицу:

 

	b
L	1	-1/3	-1	-1/3
	1	1/3	-1	-2/3
	1	-1/3	0	-1/3

 

которая является оптимальной. Соответствующее оптимальное решение имеет вид .