Графический способ для системы 2 уравнений

Пример 2. 8. Решить графически систему двух уравнений

Решение. Сначала приведем алгоритм определения решения системы двух уравнений графическим методом:

1) Преобразуем систему  к виду .

2) Построим графики функций  и y = cos x, подбирая отрезок
[ a, b ] изменения переменной x так, чтобы графики пересекались.

3) Изменяя, т.е. уменьшая отрезок [ a, b ], уточняем решение (x_s, y_s).

Решение в программе Excel. Так как область определения функции
 задается условием x ≥ 0, выберем для построения графиков отрезок
[0; 1] с шагом изменения 0,1. Если графики не будут пересекаться, то вместо
отрезка [0; 1] возьмем отрезок [1; 2] и т.д.

1) В ячейки A 2, A 3 запишем соответственно 0 и 0,1; выделим диапазон
A 2: A 3 и маркером заполнения протянем вниз до ячейки A 12.

2) В ячейку B 2 запишем формулу =корень(A 2); выделим B 2 и маркером заполнения протянем вниз до ячейки B 12.

3) В ячейку C 2 запишем формулу =cos(A 2); выделим C 2 и маркером заполнения протянем вниз до ячейки C 12.

4) Выделим диапазон A 2: C 12 и построим диаграмму «Точечная». Графики, как видим, пересекаются. Проведем настройку диаграммы.

Щелкнем правой кнопкой мыши по диаграмме и выберем «параметры диаграммы», вкладку «Легенда» и снимем флажок с параметра «показать легенду».

Щелкнем правой кнопкой мыши по диаграмме и выберем «параметры диаграммы», вкладку «линии сетки», отметим «промежуточные линии» оси X и «промежуточные линии» оси Y.

Щелкнем правой кнопкой мыши по оси X диаграммы и выберем «формат оси», в появившемся окне выберем вкладку «Шкала» и введем «минимальное значение — 0», «максимальное значение — 1», «цена основных делений — 0,1», «цена промежуточных делений — 0,1».

Аналогично, для оси Y диаграммы выберем «цена основных делений — 0,1», «цена промежуточных делений — 0,1». Полученная диаграмма приведена на рис.2.13.

Рис.2.13. Графическое решение системы двух уравнений

5) На диаграмме увидим, что графики пересекаются между значениями x = 0,6 и x = 0,7. Заменим отрезок [0; 1] на отрезок [0,6; 0,7], для чего введем в ячейки A 2, A 3 числа 0,60 и 0,61, выделим диапазон A 2: A 3 и маркером заполнения протянем вниз до ячейки A 12. Графики изменятся. Щелкнем правой кнопкой мыши по оси X диаграммы и выберем «формат оси», в появившемся окне выберем вкладку «Шкала» и введем «минимальное значение — 0,6», «максимальное значение — 0,7», «цена основных делений — 0,01», «цена промежуточных делений — 0,01». И для оси Y диаграммы внесем изменения: «цена основных делений — 0,01», «цена промежуточных делений — 0,01». Теперь мы увидим, что графики пересекаются между значениями
x = 0,64 и x = 0,65.

6) Аналогичными действиями заменим отрезок [0,6; 0,7] на новый отрезок [0,64; 0,65] с шагом изменения 0,01. Получим x ≈ 0,641; y ≈ 0,801.

Процесс уточнения можно продолжать и дальше. Погрешность полученного решения составляет приблизительно 0,001 для обеих неизвестных.

Для уточнения решения (x_s, y_s) можно также применить метод итераций или метод Ньютона, которые рассматриваются ниже.