Задания для самостоятельного решения.

Метод половинного деления

Пример 2.4. Уточнить методом бисекций с точностью до 0,01 корень уравнения (x – 1)³ = 0, принадлежащий отрезку [0,95; 1,1].

Решение в программе Excel:

1) В ячейках A 1: F 4 введем обозначения, начальные значения и формулы, как показано в таблице 2.3.

2) Каждую формулу скопируем в нижние ячейки маркером заполнения до десятой строки, т.е. B 4 — до B 10, C 4 — до C 10, D 3 — до D 10, E 4 — до E 10, F 3 — до F 10.

Таблица 2.3

	A	B	C	D	E	F
1		f(a)=	=(1-B3)^3
2	k	a	x	f(x)	b	b-a
3	1	0,95	=(B3+E3)/2	=(1-C3)^3	1,1	=E3-B3
4	2	=ЕСЛИ(D3=0;C3; ЕСЛИ(C$1*D3<0;B3;C3))			=ЕСЛИ(C$1*D3>0; E3;C3)

Результаты расчетов приведены в табл. 2.4. В столбце F проверяем значения длины интервала b – a. Если значение меньше чем 0,01, то в данной строке найдено приближенное значение корня с заданной погрешностью. Потребовалось 5 итераций для достижения требуемой точности. Приближенное значение корня с точностью до 0,01 после округления до трех знаков равно 1,0015625 ≈ 1,00.

Таблица 2.4

	A	B	C	D	E	F
1		f(a)=	0,000125
2	k	a	x	f(x)	b	b-a
3	1	0,95	1,025	-2E-05	1,1	0,15
4	2	0,95	0,9875	2E-06	1,025	0,075
5	3	0,9875	1,00625	-2E-07	1,025	0,0375
6	4	0,9875	0,996875	3,1E-08	1,00625	0,0187
7	5	0,996875	1,0015625	-4E-09	1,00625	0,0094
8	6	0,996875	0,9992188	4,8E-10	1,0015625	0,0047
9	7	0,99921875	1,0003906	-6E-11	1,0015625	0,0023
10	8	0,99921875	0,9998047	7,5E-12	1,000390625	0,0012

Приведенный алгоритм учитывает возможный случай «попадания в корень», т.е. равенство f (x) нулю на очередном этапе. Если в примере 2.3 взять отрезок [0,9; 1,1], то на первом же шаге попадаем в корень x = 1. Действительно, запишем в ячейке B 3 значение 0,9. Тогда таблица результатов примет вид 2.5 (приведены только 2 итерации).

Таблица 2.5

	A	B	C	D	E	F
1		f(a)=	0,001
2	k	a	x	f(x)	b	b-a
3	1	0,9	1	0	1,1	0,2
4	2	1	1	0	1	0

Создадим в программе Excel пользовательские функции f(x) и bisect(a, b, eps) для решения уравнения методом половинного деления, пользуясь встроенным языком Visual Basic. Их описания приведены ниже:

Function f(Byval x): f = (x - 1) ^ 3: End Function

Function bisect(a, b, eps)

1 x = (a + b) / 2

If f(x) = 0 Then GoTo 5

If f(x) * f(a) < 0 Then

b = x

Else

a = x

End If

If Abs(a - b) > eps Then GoTo 1

5 bisect = x

End Function

Функция f(x) определяет левую часть уравнения, а функция
bisect(a, b, eps) вычисляет методом половинного деления корень уравнения f (x) = 0. Обратим внимание на то, что в функции bisect(a, b, eps) используется обращение к функции f(x). Приведем алгоритм создания пользовательcкой функции-макроса:

1) Выполним команду меню «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic». Откроется окно «Microsoft Visual Basic». Если в данном файле программы Excel ещё не были созданы макросы или пользовательские функции или процедуры, это окно будет иметь вид, изображенный на рис.2.5.

Рис. 2.5.

2) Выполним команду меню «Insert — Module» и вводим тексты программ-функции, как показано на рис 2.6.

Рис.2.6.

Теперь в ячейках листа программы Excel можно в формулах использовать созданные функции. Например, введем в ячейку D 18 формулу

=bisect(0,95;1;0,00001),

то получим значение 0,999993896.

Чтобы решить другое уравнение (с другой левой частью) нужно перейти в окно редактора с помощью команды «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic» и просто переписать описание функции f(x). Например, найдем с точностью до 0,001 корень уравнения sin5 x + x ² – 1 = 0, принадлежащий интервалу (0,4; 0,5). Для этого изменим описание функции

Function f(x)

f = (x - 1) ^ 3

End Function

на новое описание

Function f(x)

f = Sin(5 * x) + x ^ 2 - 1

End Function

Тогда в ячейке D 18 получим значение 0,441009521 (сравните этот результат со значением корня из интервала (0,4; 0,5), найденным в примере 2.3!).

Для решения уравнения методом половинного деления в программе Mathcad создадим подпрограмму-функцию bisec (f, a, b, ε), где:

f — имя функции, соответствующее левой части уравнения f (x) = 0;

a, b — левый и правый концы отрезка [ a, b ];

ε — точность приближенного значения корня.

Решение примера в программе Mathcad:

1) Запускаем программу Mathcad. Введем определение функции bisec (f, a, b, ε). Для этого с помощью клавиатуры и панели инструментов «Греческие символы» набираем bisec (f, a, b, ε):=. После знака присваивания «:=» на панели инструментов «Программирование» указателем мыши щелкаем левой кнопкой «Add line». После знака присваивания появится вертикальная линия. Далее вводим текст программы, который приведен ниже, используя панель инструментов «Программирование» для ввода знака «←», оператора цикла while, оператора break и условного оператора if otherwise.

2) Введем определение функции f (x):=sin(5*x)+x^2–1, а затем вычислим значение корня с помощью функции bisec при заданных значениях:
bisec (f, –0.8,–0.7,0.0001)=. После знака «=» автоматически появится вычисленное программой значение корня –0,7266601563. Аналогично вычислим остальные корни.

Ниже приведен лист Mathcad с определением функции bisec (f, a, b, ε) и расчетами:

Определим программу-фунцию

метода половинного деления:

Зададим функцию f(x)=sin5x+x2-1

и найдем её корни в указанных интервалах с точностью 0,0001:

Найденные значения корней согласуются с предыдущими результатами. Если мы определим функцию y (x) = (x – 1)³ и найдем корень в интервале (0,9; 1,1), то получим значение x = 1, так как в этом случае на первом шаге деления получается точное значение корня:

Приведем программу на языке C ++ для решения уравнения f (x) = 0 методом половинного деления:

#include <iostream.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

double f(double x);

typedef double (*PF)(double);

double bisec(PF f,double a, double b,double eps);

int main(){

double a, b, x, eps;PF pf;

cout << "\n a = "; cin >> a;

cout << "\n b = "; cin >> b;

cout << "\n eps = "; cin >> eps;

pf = f;

x = bisec(pf,a,b,eps); cout << "\n x = " << x;

cout << "\n Press any key "; getch();

return 0;

}

double f(double x){

double r;

r = sin(5*x)+x*x-1;

return r;

}

double bisec(PF f, double a, double b,double eps){

double x;

do{ x = (a + b)/2;

if (f(x) == 0) break;

if (f(x)*f(a)<0) b = x;

else a = x;

}while (fabs(b-a) > eps);

return x;

}

В программе функция f (x) определена для решения уравнения

sin5 x + x ² – 1 = 0

из примера 2.3. Результат работы программы для определения корня из интервала (0,4; 0,5) с точностью 0,00001 представлен ниже (экран компьютера):

a = 0.4

b = 0.5

eps = 0.00001

x = 0.44101

Press any key

Последняя строка нужна для организации паузы для просмотра результата.

Задания для самостоятельного решения.

Для следующих уравнений

а) найти графическим способом с точностью до 0,1 интервалы, содержащие корни;

б) для каждого интервала проверить условие применимости метода итераций;

б) уточнить корни методом итераций, если выполняются условия сходимости, до точности 0,0001.

1.	cos 3 x – x ³ = 0.	11.	x e^–^x + 3 x –5 = 0.	21.	e^x(x –5) + 3 = 0.
2.	cos² x – x ⁴ = 0.	12.	e^–^{sin x} + 3 x = 0.	22.	e^{– x} – 3 x –5 = 0.
3.	tg x + x = 1, [0; 1].	13.	3^{3– x} – cos x = 0.	23.	e^{2 x}∙ln x – x = 0.
4.	ln(1 + x ²) – x ³ = 1.	14.	sin(1 + x ²) = x.	24.	tg x – ln(– x) = 0.
5.	sin(e ^x) + 3 x = 0.	15.	x ² + sin² x = 2.	25.	x ^1/3 + 2tg x = 1. (0; 3)
6.	sin x /e ^x + x ² – 1 = 0.	16.	e^{–2 x} – 3 x ³ = 0.	26.	e^{–2 x} – 3 x ³ = 0.
7.	tg² x + x = 1. [0; 1].	17.	e^{– cos x} – x ³ = 0.	27.	e^{2 x}∙tg x – x = 1. (0; 4)
8.	x /(1 + x ⁴) = ln x.	18.	x ² + ln x + 2 = 0.	28.	1/ln x – x = 0.
9.	x ³ – 2ctg x = 0. [1; 2].	19.	x ⁴ – sin² x + x – 1 = 0.	29.	x ⁵ – 2cos x = 0.
10.	x ⁵ – 2cos x + 1 = 0.	20.	(7 – x ²)ln x = 2 – x.	30.	sin x – x ² + 1 = 0.