Тригонометрические функции

Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат  (рис. А.10). Около начала координат , опишем окружность единичного радиуса (единичную окружность). Зададим произвольное число . Рассмотрим вектор  с началом в точке  и концом в точке , принадлежащим пересечению единичной окружности с осью абсцисс. Повернем его на угол  радиан, получив в результате вектор . Это означает, что конец вектора «пройдет» на единичной окружности дугу  длины  () в направлении против (по) часовой стрелке при  (). Функция синус (косинус) ставит в соответствие числу  ординату  (абсциссу ) точки .

В тригонометрии используются также функции тангенс, котангенс, секанс и  косеканс, определяемые соответственно равенствами:

, ,   и .

Свойства тригонометрических функций:

1) области определения , , , , ;

2) области значений , ;

3) косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции;

4) синус и косинус – функции, периодические с периодом , а тангенс и котангенс – функции, периодические с периодом ;

5) синус возрастает на промежутках  и убывает на промежутках , ;

 

косинус возрастает на промежутках  и убывает на промежутках , ;

 

тангенс возрастает на промежутках , ;

котангенс убывает на промежутках , ;

6) основные тождества, связывающие тригонометрические функции:

, , , ,

, ,

, .

Графики тригонометрических функций изображены на рис. A.11-A.14.

Обратные тригонометрические функции

Функция , , возрастает и имеет областью значений отрезок . Поэтому она имеет обратную функцию, которая определена на , обозначается   иназывается  арксинусом.

Функция ,  убывает и имеет областью значений отрезок . Поэтому она имеет обратную функцию, которая определена на , обозначается   иназывается  арккосинусом.

Функция , , возрастает и имеет областью значений множество действительных чисел. Поэтому у нее есть обратная функция, которая определена на , обозначается   иназывается  арктангенсом.

Функция , , убывает и имеет областью значений множество действительных чисел. Поэтому у нее есть обратная функция, которая определена на , обозначается   иназывается  арккотангенсом.

Свойства обратных тригонометрических функций.

1) Области определения:

, .

2) Множества значений:

,

.

3) , , .

4) Арксинус и арктангенс – возрастающие функции, а арккосинус и арккотангенс – убывающие.

5) Арксинус и арктангенс являются нечетными функциями, а арккосинус и арккотангенс не являются ни четными, ни нечетными.

6) , .

Графики обратных тригонометрических функций представлены на рис. A.15-A.18.

 

Гиперболические функции

Гиперболическим синусом называется функция

.

Гиперболическим косинусом называется функция

.

Определим также гиперболический тангенс

и гиперболический котангенс

.

Свойства гиперболических функций:

1) области определения , ;

2) области значений

, , , ;

3) функции ,  являются возрастающими,  убывает на  и возрастает на ,  убывает на  и на ;

4) функции ,  и  являются нечетными, а  – четной;

5) справедливо основное гиперболическое тождество  и тождества, подобные тождествам для тригонометрических функций:

;

; ;

.

Графики гиперболических функций представлены на рис. A.19-A.21.