Верхние и нижние грани числовых множеств

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Методические указания

 

 

Ярославль 2009

 

УДК 517(07)

 

МУ 26-09. Введение в анализ: методические указания / сост.: Ю.К. Оленикова, В.Ш. Ройтенберг, Л.А. Сидорова. – 3-е изд., испр. и доп. – Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2009. – 44 с.

 

 

Содержат краткие теоретические сведения по разделу «Введение в анализ», подробно разобранные типовые задачи, даны задачи для самостоятельного решения. Могут быть использованы студентами на практических занятиях и при выполнении домашних заданий.

Предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей очного отделения.

 

Библиогр. 7. Прил. 1.

 

Рецензенты: кафедра высшей математики Ярославского государственного технического университета; Ю.И. Большаков, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры общей математики Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

 

 

____________________________________________________________________

План 2009

Редактор М.А. Канакотина

 

Подписано в печать 8.04.09. Формат 60х84 1/16. Бумага белая.

Печать ризограф. Усл. печ. л. 2,56. Уч.-изд. л. 2,51.

Тираж 1000. Заказ 388.

Ярославский государственный технический университет

150023, Ярославль, Московский пр., 88

 

Типография Ярославского государственного технического университета

150000, Ярославль, ул. Советская, 14а

____________________________________________________________________

 

Ó Ярославский государственный технический университет, 2009

 

МНОЖЕСТВА

Сведения из теории

Логическая символика

Под высказыванием понимают предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Отрицанием высказывания a называется высказывание, обозначаемое  (читается «не а»), которое истинно тогда и только тогда, когда а ложно.

Конъюнкцией высказываний а и  называется высказывание, обозначаемое  (читается «а и b», «а конъюнкция b»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания а  и   b.

Дизъюнкцией высказываний а и b называется высказывание обозначаемое  (читается «а или b», «а дизъюнкция b»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний а или b.

Импликацией высказываний а и b называется высказывание обозначаемое  (читается «если а, то b», «из а следует b»), которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание а истинно, а b ложно.

Высказывания а и b равносильны (эквивалентны), если . В этом случае пишут .

Квантор всеобщности ставит в соответствие каждому высказыванию , зависящему от переменного , принадлежащего некоторому множеству , высказывание, обозначаемое  (читается «для всех   справедливо »), истинное тогда и только тогда, когда  истинно при всех .

Квантор существования  ставит в соответствие каждому высказыванию , , высказывание, обозначаемое  (читается «существует такое, что справедливо »), истинное тогда и только тогда, когда  истинно хотя бы при одном .

 

Множества

Множество  – это совокупность (коллекция, собрание,...) каких-то объектов, называемых элементами множества.

Удобно ввести пустое множество  – множество, не содержащее ни одного элемента.

Если объект x – элемент множества A (принадлежит множеству A), то пишут , в противном случае пишут . Если любой элемент множества A является и элементом множества B, то говорят, что множество A – подмножество (часть) множества B и пишут .

Множества A и B называются равными (), если совпадают их элементы, то есть  и .

Существует два наиболее употребительных способа задания множеств.

· Конечное множество А задается перечислением всех его элементов . Это записывается так: , где все  () различны.

· Подмножество A известного множества U можно задать указанием свойства (S), которому подчиняются все элементы данного множества. Это записывается так: обладает свойством .

Операции над множествами

Договоримся, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого множества U.

Объединением множеств A и B (рис.1) называется множество, обозначаемое  и состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В:

 

= .

Пересечением множеств A и B (рис. 2) называется множество, обозначаемое  и состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам   А и В:

 

= .

Разностью двух множеств A и B (рис.3) называется множество

 

.

Декартовым произведением множеств A и B (рис.4) называется множество

 

.

Вместо   обычно пишут .

 

Числовые множества

 

Из школьной программы известны следующие числовые множества:

·  – множество натуральных чисел;

·   – множество целых чисел;

·   – множество рациональных чисел;

·   – множество действительных (вещественных) чисел.

При этом .

Действительные числа изображаются точками числовой прямой.

Промежутками называются следующие подмножества множества действительных чисел:

открытый промежуток, или интервал, ;

замкнутый промежуток, или отрезок, ;

а также ,   , , , , . Здесь  и  – действительные числа, .

 

Верхние и нижние грани числовых множеств

 

Множество A () называется ограниченным сверху, если () (): , в противном случае множество А называется неограниченным сверху. При этом число М  называется верхней гранью множества А. Наименьшая из всех верхних граней (она всегда существует) называется точной верхней гранью множества А и обозначается  (супремум А). Если множество A неограниченно сверху, то полагают .

Множество A () называется ограниченным снизу, если   () (): , в противном случае множество А называется неограниченным снизу.  При этом число  называется нижней гранью множества А. Наибольшая из всех нижних граней (она всегда существует) называется точной нижней гранью множества А и обозначается  (инфимум А). Если множество А неограниченно снизу, то полагают .

Множество А называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Будем обозначать через  и  соответственно наибольший и наименьший элемент множества А, когда они существуют, и в этом случае , .

Примеры решения задач

1.2.1. Задать множество  перечислением элементов.

◄ Множество А состоит из натуральных решений неравенства . Решая его, получим , то есть . ►

1.2.2. Найти , ,  (если они существуют), для множества .

◄ , ,  не существует. ►

1.2.3. Пусть , . Найти ,  и .

◄

 (рис. 5).

.

.

.

.

(рис. 6). ►

 

1.2.4. Истинны ли следующие высказывания

;

?

◄ Высказывание  состоит в том, что для любого действительного числа  и любого действительного числа  существует такое действительное число , что . Ясно, что это утверждение ложно, так как при ,  такое  не существует. Высказывание  состоит в том, что существуют такие действительные числа  и , что для любого действительного числа , что . Это высказывание истинно. Можно взять , . Тогда для любого  имеем . ►