Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак

.

2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя

.

3. Два ненулевых вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору

.

4. Распределительное свойство

.

Пример 10.

Вычислить модуль векторного произведения векторов   и .

Решение:

По формуле

получим

Тогда модуль векторного произведения равен .

Пример 11.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах   и .

Решение:

Используя формулу

получим

Пример 12.

Вычислить площадь треугольника ABC, если А(–2;1;3), В(2;–1;7),
 С(11; 2; –5).

Решение:

Используя координаты вершин треугольника, находим

Тогда

=S

Пример 1 3.

Исследуйте векторы на коллинеарность

Решение:

Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору)

а) Найдём векторное произведение

Таким образом, векторы и  не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение

Значит,

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим произведение векторов ,  и , составленное следующим образом .

Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешаннымпроизведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при перестановке сомножителей

.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения

.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей

.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов ,  и  равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Выясним геометрический смысл выражения . Построим параллелепипед, ребрами которого являются вектора , ,  и вектор  (рис.9).

Рис. 9

Имеем

,

где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и .

 – для правой тройки векторов

 – для левой тройки векторов;

где  – высота параллелепипеда.

Получаем

.

Т.е. ,

где V – объем параллелепипеда, образованного векторами ,  и .

Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти вектора образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  вычисляется как

.

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

.

Если ,  и  компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.