Положительные действительные числа

Процесс измерения длины отрезка состоит в последовательном откладывании единичного отрезка (эталона) и его долей на этом отрезке. Прежде чем выполнять процесс измерения сформулируем две аксиомы.

1. Единичный отрезок можно разделить на любое число равных частей (теоретически, либо практически при большом числе частей это сделать трудно).

2. Выбранным эталоном можно измерить любой как угодно большой отрезок. Другими словами, как бы ни был мал единичный отрезок и как бы ни был велик измеряемый отрезок, существует такое натуральное число n, что, отложив n раз единичный отрезок, получим отрезок больший измеряемого. (Эта аксиома называется аксиомой Архимеда).

Покажем, что результат измерения любого отрезка может быть записан в виде бесконечной десятичной дроби (вообще говоря, непериодической).

Пусть задан некоторый отрезок а и выбран единичный отрезок е. Пусть а > е. Тогда, либо е укладывается на а целое число раз, либо не укладывается целое число раз. Тогда можно найти такое натуральное число п, что пе £ а < (п + 1) е. Это число n называется целой частью отрезка а, можно записать равенство а = пе + a ₁, где а ₁ < е.

Разобьем отрезок е на 10 частей и, если е не укладывается целое число раз на отрезке а ₁, то найдется такое натуральное число п₁, что  или , т.е. () e £ a < () е. Продолжая процесс деления единичного отрезка е и его долей на 10 равных частей и дальнейшие измерения, получим числа п₂,n₃, ..., п_к, …, принимающие одно из значений от 0 до 9, включительно. Если найдется натуральное число к, что на «к -ом» шаге получим , то длина отрезка а выражается дробью с к десятичными знаками после запятой, т.е. длина отрезка а выражается конечной десятичной дробью  или т (а) = . В этом случае а и е называют соизмеримыми отрезками, на этих отрезках целое число раз укладывается отрезок . Если для любого к на «к -ом» шаге , т.е. для любого натурального числа к отрезок а больше отрезка , но меньше отрезка . В таком случае говорят, что длина отрезка а выражается бесконечной десятичной дробью  и пишут                                    т (а) = .

Мы поставили в соответствие произвольному отрезку а бесконечную десятичную дробь, которая может быть либо периодической, либо непериодической, его длину (меру). Будем считать, что каждая бесконечная непериодическая десятичная дробь является десятичной формой записи новых, так называемых иррациональных чисел. Теперь, после введения иррациональных чисел оказывается, что всякий отрезок имеет меру при любой единице измерения длины. Рациональное положительное число, если при десятичном измерении отрезка получилась конечная или бесконечная десятичная периодическая дробь. Иррациональное число, если получилась бесконечная десятичная непериодическая дробь. В этом случае отрезки а и е называют несоизмеримыми отрезками.

Примечание: При измерении отрезков никогда не получится дробь, заканчивающаяся бесконечной последовательностью девяток, например, дробь вида 0,499...9.... Дело в том, что ни одно число х не может удовлетворять всем неравенствам:

0,4 £ х < 0,5

0,49 £ х < 0,50

…

0,49...9 £ х < 0,50...0

Если вместо этих неравенств писать

0,4 < х £ 0,5

0,49 < х £ 0,50

…

0,49...9 < х < 0,50...0,

то им будет удовлетворять число 0,5. Поэтому считают, что десятичная дробь 0,499... = 0,4(9) является другой записью для числа 0,5. Вообще, если взять конечную десятичную дробь, уменьшить ее последнюю цифру на 1 и приписать к ней справа бесконечную последовательность девяток, получится бесконечная десятичная дробь, равная заданной.

Например, 0,232 = 0,23199..., 7,8 = 7,799....

Мы поставили в соответствие каждому отрезку бесконечную десятичную дробь. Обратное тоже верно, для каждой бесконечной десятичной дроби, не заканчивающейся последовательностью девяток, найдется отрезок, длина которого выражается этой дробью.

Обозначим множество бесконечных десятичных дробей, отличных от 0,0...0 и не заканчивающихся последовательностью девяток через R ₊ и назовем множеством положительных действительных чисел.

Отметим, что причиной введения иррациональных чисел является не только невозможность, измерив любой отрезок, выразить его длину с помощью положительных рациональных чисел, но и то, что некоторые квадратные уравнения и уравнения более высокой степени с рациональными коэффициентами невозможно решить в множестве рациональных чисел. Например, корень уравнения                     х ² – 3 = 0 не является ни натуральным, ни дробным числом.

Положительные рациональные и иррациональные числа будем называть положительными действительными (или вещественными) числами. Множество положительных действительных чисел принято обозначать R ₊.

Для каждого положительного действительного числа а можно указать его приближенное рациональное значение. Приближенное значение для числа а по недостатку с точностью до , обозначенное а_к, получится, если взять у числа а целую часть и первые к цифр после запятой, а все остальные цифры отбросить. Увеличивая последнюю цифру в избранной записи числа на 1, получим приближенное значение для числа а по избытку, обозначенное а ¢ _к. Для любого положительного действительного числа а справедливы неравенства а_к £ а < а ¢ _к. Например, для а = 4,7128356..., а ₃ = 4,712, а' ₃ = 4,713.

Несоизмеримые отрезки

Из предыдущего параграфа ясно, что два отрезка могут быть соизмеримыми или несоизмеримыми.

Определение 1. Два отрезка а и в называют соизмеримыми, если существует третий отрезок е, который укладывается в каждом из двух отрезков целое число раз, при этом отрезок е называется общей мерой этих двух отрезков.

Например, если имеем  то отрезки а и в соизмеримы.

Определение 2. Два отрезка а и в называют несоизмеримыми, если не существует третий отрезок е, который укладывается в каждом из двух данных отрезков целое число раз.

Докажем, что существует хотя бы одна пара несоизмеримых отрезков.

Еще в Древней Греции было замечено, что существуют отрезки, несоизмеримые с единичным отрезком е, т.е. отрезки длину которых нельзя выразить, пользуясь лишь рациональными числами. Так, один из учеников Пифагора в установленном Пифагором соотношении, что квадрат длины гипотенузы с прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов, рассмотрел случай, когда длины катетов равны между собой и равны 1. Получив с ² = 1 ² + 1², он поставил перед собой задачу найти с. Очевидно, что 1 < с < 2. Найти с путем подбора не удалось. Тогда были проведены для нахождения с такие общие рассуждения:

1) Допустим с = , произвольная несократимая дробь.

2) Мы имеем ()² = 2Þ m ² = 2 n ² (*).

3) Из (*) следует m ² 2, т.е. m – чётное, тогда обозначим m = 2 m ₁. Подставим 2 m ₁ в (*), получим (2 m ₁)² = 2 n ² или 4 m ₁² = 2 n ² Þ 2 m ₁² = n ² Þ n ² 2.

4) Из n ² 2 следует, что n – чётное, тогда обозначим n = 2 n ₁.

5) Таким образом = , дробь оказалась сократимой, но по условию она несократимая.

6) В рассуждениях получилось противоречие первоначальному предположению об её несократимости. Значит, допущение, что существует отрезок с, длина которою выражается дробным числом  ложно.

Итак, длина отрезка с не выражается ни целым, ни дробным числом. Следовательно, существует хотя бы одна пара отрезков (сторона квадрата и его диагональ), длина одного из которых выражена числом 1, а длина другого не может быть при этом выражена ни натуральным, ни дробным числом, т.е. существуют несоизмеримые отрезки.

Для того, чтобы можно было выразить числом результат измерения любого отрезка лишь положительных рациональных чисел недостаточно, т.е. нужно расширить множество Q₊, пополнив его новыми числами.