Математика как часть общечеловеческой культуры. Основные этапы становления современной математики. Аксиоматический подход

Мы живем в век математики. Математическое образование важно с различных точек зрения: логической, познавательной, прикладной, исторической, философской.

Cлово «математика» произошло от греческого «ma¢qhma» (матэма) – наука, знание. Кант писал: «Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена к ней математика».

Математика является не только универсальным языком на­уки, но также и частью современной культуры. «Тот, кто не знает математики, – говорил в XIII веке известный английский философ Роджер Бэкон, – не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». «Математика ум в порядок приводит», авторитетно заявлял М.В. Ломоносов.

Известны два подхода к определению предмета математики. Первая точка зрения утверждает, что математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего мира. Примером для такой точки зрения может служить геометрия Евклида с ее содержательной аксиоматикой.

Другая точка зрения отражает методологический подход Бурбаки (коллектив французских ученых), которые определяют математику как скопление математических структур, не имеющих к действительности никакого отношения, так как одни и те же аксиомы могут описывать отношения различных по своему конкретному содержанию объектов. Они выделяют три основных типа структур.

Алгебраические структуры (группы, кольца, поля). Элементами могут выступать как математические объекты, так и нематематические.

Структуры порядка. На рассматриваемом множестве задается отношение порядка (сравнение).

Топологические структуры. Каждому элементу множества относят семейства подмножеств, называемых окрестностями этого элемента.

Кроме этих порождающих структур рассматриваются и более сложные.

Когда из аксиом структуры выводят логические следствия, отказавшись от всяких гипотез относительно «природы» рассматриваемых элементов, то говорят о построении аксиоматической теории структуры.

Два приведенных подхода дополняют друг друга, а не находятся в антагонизме, в чем можно убедится, анализируя историю развития математики.

Академик Колмогоров выделяет 4 периода истории.

1) Зарождение математики (до VI в. до н.э.). Математика не является самостоятельной отраслью знания. В Египте, Вавилоне, Индии и Китае появляются начатки арифметики, геометрии, алгебры и тригонометрии.

2) Элементарная математика (VI в. до н.э. – XVII в.). В Древней Греции возникает математика как самостоятельная наука. Математика развивается в арабских странах. Дедуктивное изложение элементарной геометрии, возникновение теории чисел, понятия действительного числа, создание алгебры как буквенного исчисления. Основное понятие – величина.

3) Математика переменных величин (XVII – XIX вв.). Появление математического и функционального анализа, дифференциальных и интегральных уравнений, проективной и аналитической геометрии. Основное понятие – функция.

4) Современная математика (с XIX в.). Взрывное развитие математики и проникновение ее во все области науки и практической деятельности. Планомерное изучение математикой самой себя: количественных отношений и пространственных форм. Обоснование математики: возникновение теории множеств и математической логики. Развитие теории вероятностей и вычислительной математики.

Зарождение математики

Восточная математика возникла как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. В ней не было попыток дать то, что называется доказательством; имеются только предписания, алгоритмы: «делай то-то и так-то».

Самой развитой была вавилонская математика. Именно ей человечество обязано как шестидесятеричной системой счисления, используемой в настоящее время при измерении времени и углов (градусы измеряются от 0° до 360°, в минуте 60 секунд, в часе 60 минут), так и атрибутом современной десятичной системы счисления – позиционностью, благодаря которой в Вавилоне был изобретен нуль как принцип записи чисел. Значение позиционности для человечества сродни значению алфавита.

Первое упоминание о комбинаторных вопросах встречается в китайских рукописях XII–XIII вв. до н.э. «Же-ким» («Книга перемен (перестановок)»). Там же писалось, что все в мире является сочетанием двух начал: мужского ян и женского инь.