История развития методики обучения математики

Методика обучения математике в начальных классах

Как учебный предмет и как наука

Чтобы успешно обучать математике учащихся начальных классов, учитель должен овладеть уже разработанной системой обучения математике, т.е. методикой преподавания математики.

Общая задача курса - содействовать улучшению качества методической подготовки студентов к осуществлению математического развития ребенка младшего школьного возраста.

В методике раскрываются

содержание и построение начального курса математики, т.е. указывается какой материал по математике изучается, на каком уровне изучается каждый отдельный вопрос курса, в каком порядке рассматриваются темы курса и почему этот порядок более рационален.

методы изучения каждого раздела и каждого вопроса в этом разделе (например, как изучать деление с остатком…) МПМ дает рекомендации, как подвести учащихся к усвоению теоретических знаний, приобретению ими умений применять знания при решении разнообразных практических задач.

вопросы, как организовать учебную деятельность детей, чтобы получить наибольший эффект при обучении математике.

 

МПМ имеет тесные связи с другими предметами

· с математикой - математические знания нужны учителю для того, чтобы правильно организовать знакомство детей с математическими понятиями и способами действия с ними, уровень математической подготовки влияет на четкость и грамотность математической речи педагога, на правильность использования терминологии и обоснованность подбора методических приемов, связанных с изучением математических понятий. Чтобы научить, учитель должен сам владеть необходимыми математическими понятиями

· с педагогикой и педагогической психологией - МПМ опирается на общие закономерности обучения, кот раскрыты в педагогике и пед психологии - урок математики направлен не только формирование математических представлений младшего школьника, но и на воспитание и развитие ребенка, это требует от учителя владения общими дидактическими умениями, реализация развивающего обучения требует от учителя знания закономерностей психологии развития ребенка знать особенности младшего школьника, удерживать внимание…

· с другими методиками (МОРЯ, методика естествознания, методика преподавания математики в средней школе)

Чем лучше учитель осознает эту взаимосвязь, тем выше уровень его методической подготовки, тем шире его возможности в осуществлении творческой методической деятельности.

МОМ младших школьников как наука, с одной стороны, обращена к конкретному содержанию, отбору и упорядочению его в соответствии с поставленными целями обучения, с другой – к педагогической методической деятельности учителя и учебной (познавательной) деятельности ребенка, к процессу усвоения отобранного содержания, управление которым осуществляет учитель.

Объект исследования – процесс математического развития и процесс формирования математических знаний и представлений младшего школьника, в котором можно выделить следующие компоненты: цель обучения (Зачем учить?), содержание (Чему учить), деятельность учителя и деятельность ребенка (как учить?)

В процессе изучения МПМ невозможно рассмотреть все возможные методические ситуации, основная задача курса – формирование общих способов методических действий, которые учитывают содержание начального курса математики и психолого-педагогические особенности его усвоения младшими школьниками.

История развития методики обучения математики

МОМ - древняя наука. Обучение счету и вычислениям - необходимая часть обучения в древнешумерских и древнеегипетских школах. Об обучении счету рассказывают наскальные росписи эпохи палеолита.

 

В России первая общеобразовательная школа — «школа математических и навигацких наук» — была открыта в Москве в 1700 г. по указу Петра 1. В нее принимали подростков и юношей от 13 до 18 лет. Так как они далеко не все умели читать и считать, то были открыты два начальных класса, в которых учили читать, писать и считать. Это была не столько начальная школа, сколько школа по обучению неграмотных. Создать учебник арифметики для этой школы было поручено преподавателю Леонтию Филипповичу Магницкому (1669 – 1739). Курс этот, составленный Л. Ф. Магницким под названием «Арифметика, сиречь наука числительная», был на высоте требований того времени, хотя и носил, как это было естественно в тех условиях, сугубо догматический характер. Чтобы овладеть его содержанием, приходилось в основном опираться на память. Даже решение задач давалось в готовом виде с расчетом на простое заучивание. Арифметика Магницкого служила учебником математики в России в течение всей первой половины 18 в. Сначала Магницкий излагает нумерацию многозначных чисел, впервые полно и обстоятельно знакомит читателя с арабской нумерацией. После выхода в свет «Арифметики» славянской системой нумерации при выполнении арифметических действий пользоваться перестали. Далее Магницкий знакомит с выполнением четырех арифметических действий над числами, записанными в арабской системе нумерации. Особенно трудным считалось в те времена деление, алгоритм которого еще не был окончательно установлен. Затем в книге излагается арифметика дробных чисел, здесь Магницкий впервые знакомит русского читателя с десятичными дробями. «Арифметика» также содержит элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, элементы мореходной астрономии и навигации. Для начальных школ, которые стали открываться значительно позднее «школы математических и навигацких наук», последовательность расположения материала и характер изложения, заимствованные у Магницкого, оказались малопригодными. Попытки облегчить детям усвоение арифметики сводились к упрощению языка и к введению вопросо-ответной формы изложения (официальное «Руководство к арифметике», 1783; М. Меморский «Краткая арифметика», 1794 и др.). Такой способ преподавания прививал учащимся некоторые арифметические навыки, но о сознательном усвоении понятий не могло быть и речи. На пороге XIX в. Генрих Песталоцци, талантливый швейцарский педагог, задался целью устранить догматизм в школьном преподавании. Он горячо ухватился за высказывания Яна Амоса Коменского и Жан Жака Руссо, призывавших к развитию всех сил и способностей ребенка. Отправляясь от дидактических требований идти от близкого к далекому, от легкого к более трудному, от знакомого к незнакомому, Песталоцци изменил традиционный порядок изучения арифметики, так как не мог начинать с нумерации 15-знач-ных чисел и с механического заучивания «четырех правил». Он выделил в особый концентр первую сотню как подготовительную ступень к изучению многозначных чисел, чем значительно облегчил изучение арифметики. Однако работа над этим концентром построена у Песталоцци вне связи с арифметической теорией. В пределах первой сотни Песталоцци не знакомил детей с десятичной системой счисления, с арифметическими действиями и соответствующими вычислительными приемами, то есть с теми вопросами, которые должны быть основой дальнейшей работы над числами любой величины. Вместо этого он учил детей выражать, пользуясь целыми и дробными числами, любое число первой сотни (8 раз по 3 и 2 раза третья часть трех — это 6 раз по 4 и 2 раза одна четверть четырех и т. д.). Умственная эквилибристика такого рода отнимала много времени и была бесполезна в практическом отношении. Иную позицию занял в Германии Адольф Дистервег. В своем «Руководстве», вышедшем в 1829 г., он расположил арифметический материал по концентрам. Развивая то положительное, что содержала в себе система Песталоцци, Дистервег установил следующие этапы в изучении целых чисел: первый десяток, второй десяток, первая сотня, многозначные числа. В пределах каждого из этих ком-центров Дистервег рекомендовал изучать не состав чисел, а действия одно за другим. Так были заложены основы метода, который много позднее получил название метода изучения действий или вычислительного метода.

 

Творцом методики арифметики в России, бесспорно, является Пётр Семёнович Гурьев. (1807-1884) Биографические данные о нём скудны. Сын академика Семена Емельяновича Гурьева, автора ряда трудов по математике, Пётр Семёнович состоял в должности преподавателя, а затем инспектора классов Гатчинского сиротского института, в задачи которого входило и подготовление юношей к учительским обязанностям в уездных училищах. Свои педагогические взгляды Гурьев высказывает в «Отчёте по Гатчинскому сиротскому институту» (рецензия на него помещена в журнале МНП, 1856, т. IV). «Важнее всего,— говорит он, — возбудить самодеятельность в воспитаннике, представить ему будущую науку с её светлой, лучшей стороны, чтобы он постоянно жаждал познаний и уже в маленьком кругу своей учебной деятельности ощущал отраду и наслаждение от изобретений всякого нового познания, всякой новой истины». Главной методической работой П. С. Гурьева является его «Руководство к преподаванию арифметики», 1839. Подготовку учителей П. С. Гурьев считал своим кровным делом, ему он отдал всю свою жизнь Часть первая «Руководства» Гурьева состоит из трех разделов: «Первая степень» (действия над числами от одного до десяти), «Вторая степень» (действия над числами от одного до ста) и «Третья степень» (действия над целыми числами вообще). Слово «степень» равнозначно в нашем понимании слову «ступень». Число страниц на каждый раздел книги (40, 74 и 108) вполне соответствует удельному весу каждой ступени в начальном курсе. Излагая нумерацию и действия по десятичным концентрам, автор не упускает случая пояснить на доступном детям материале важнейшие математические истины. Уже при изучении устной нумерации в пределах первого десятка он подводит детей к пониманию основной аксиомы счета: штрихи разной длины на доске можно пересчитывать как справа налево, так и слева направо. При изучении сложения в пределах первого десятка он знакомит детей с переместительностью этого действия. Работая в тех же пределах над вычитанием, он вводит нуль как результат этого действия при одинаковых компонентах. Чтобы подвести детей к трудным случаям вычитания, когда остаток меньше вычитаемого, он сопоставляет такие примеры, как 10 — 2 =8 и 10 — 8 = 2, опираясь на наглядный образ, поясняющий состав числа 10 из чисел 8 и 2, подчеркивая тем самым связь между вычитанием и сложением. После нумерации до 100 Гурьев выделяет область чисел от 1 до 20 ради изучения сложения и вычитания, сначала табличного, а затем внетабличного. Табличное сложение дается на основе применения сочетательного закона. Соответствующий прием поясняется штрихами и рассуждением: 8 + 4 = 8+ (2 + 2) = (8+ 2) + 2 и т.д. Аналогичный прием применяется к вычитанию: 15 – 7 = 15 – (5 + 2) = (15 – 5) – 2, хотя дается и другой прием, связанный с пониманием взаимообратности вычитания и сложения: 15 состоит из 8 и 7, а потому, если от 15 отнять 7, получим 8. Подробно рассматриваются вычислительные приемы сложения и вычитания в пределах ста. При этом раскрывается способ поразрядного сложения, а для вычитания дается, кроме того, прием, основанный на вычитании суммы из числа: 21 — 12 = 21 — (10 + 2) = (21 — 10) — 2. Таблица умножения располагается, как у Магницкого, — по постоянному множителю, который пишется, на первом месте. Внетабличное умножение располагается тоже по постоянному множителю, который и в этом случае пишется слева. При изучении двух видов деления раскрывается их взаимосвязь: «число 18 разделить на три равные части — значит найти, какое число надобно отнять от 18 три раза, чтобы ничего не вышло в остатке». После тщательного изучения первой сотни концентр многозначных чисел не представляет, по словам Гурьева, никакой трудности для учащихся. Правила письменных вычислений он выводит на основе уже известных детям вычислительных приемов. Так, например, умножение числа 387 на 5 сводится к применению распределительного закона умножения, который был раскрыт в свое время при изучении внетабличного умножения. Деление многозначных чисел, как и умножение, опирается на пройденные устные приемы, в основе которых лежит прием разложения делимого на слагаемые. «Руководства» Гурьева –это не простая совокупность правил, а первая удачная попытка подвести ученика через устные и письменные вычислительные приемы к усвоению законов арифметических действий. К сожалению, современники П. С. Гурьева не оценили по достоинству его «руководство», тем более что его методика не была подкреплена соответствующими пособиями для учеников и поэтому не вошла в школьную практику. Даже после опубликования «Руководства» П. С. Гурьева в школах еще долго продолжали пользоваться старыми догматическими приемами преподавания. Одним из основоположников русской педагогической науки является К.Д. Ушинский (1824-1870). Он разработал дидактические принципы: наглядность, последовательность, сознательность, посильность, активность и воспитывающий характер обучения. В 1864 г. Вышла его книга «Родное слово», в руководстве к преподаванию которого есть глава «О первоначальном обучении и счету». В ней сформулирована четкая программа методики арифметики: «Прежде всего следует научить детей считать до 10 на наглядных предметах: на пальцах, орехах, палочках… Следует учить считать назад и вперед так, чтобы дети с одинаковой легкостью считали от 1 до 10 и от 10 до 1. Потом следует приучать их считать парами: два, четыре, шесть… и наоборот; тройками – 3, 6, 9; далее четверками, пятками… Когда дети совершенно овладеют десятком, тогда следует перейти с ними прямо к сотне и перейти наглядным образом, а именно связать 10 пучков, из которых в каждом было бы по 10 палочек, так, чтобы дети с первого же раза совершенно ясно усвоили, что сотня есть только 10 десятков, и что над 10 десятками они могут делать то же самое, что они делали над 10 единицами, т.е. прибавлять и убавлять, дробить и т.д. Как только окажется возможным, следует детям дать аршин и складную сажень, весы и горсть мелкой монеты. Пусть дети меряют, весят, считают. Это очень оживляет преподавание, нравится детям и укрепляет их в счислении. У многих детей кажущаяся непонятливость в арифметике зависит от непривычки к арифметическому языку. Наставник же, задающий детям письменную задачу и в то же время приучающий их к новому для них языку, делает важную педагогическую ошибку: он требует от детей одновременно двух дел и потому слишком затрудняет детей, и они не могут выполнить ни одного, как следует. Вот почему я советую предварительно приучить детей писать и читать задачи уже решенные, а потом перейти к решению письменных задач. Само собой разумеется, что дети не должны заучивать никаких арифметических правил, а сами открывать их. Содержание для задач должно брать сколько возможно из мира, окружающего детей: пусть они измеряют весь свой класс, все скамьи, двери, окна, пусть пересчитают страницы всех своих книг и тетрадей; пусть сочтут свои годы, сочтут недели, дни и часы до праздников и т.д. Задачи, конечно, должны усложняться постепенно, но никогда не должны терять своего практического, наглядного характера». Методы обучения арифметике могли получить дальнейшее развитие на основе принципов, разработанных П.С. Гурьевым, К.Д. Ушинским и другими передовыми деятелями народного просвещения. Однако развитие преподавания арифметики в русской начальной школе с 60-х гг. 19 века пошло не по этому пути. В 1862 г. Была издана книга Паульсона «Арифметика по способу Грубе», в которой Паульсон расхваливает метод преподавания арифметики, предложенный немецким педагогом Грубе. В. А. Грубе рекомендовал изучать каждое число первой сотни в отдельности через разностное и кратное его сравнение с каждым из предыдущих чисел и тем самым добиваться знания наизусть состава любого двузначного числа из слагаемых и сомножителей. Действия должны как бы сами собой вытекать из знания состава числа. Грубе оставляет без внимания различение действий, понимание их смысла и умение вычислять, лишая таким образом обучение арифметике ее образовательного значения. Метод Грубе вряд ли получил бы широкое распространение в России, если бы этот метод не переработал русский методист Василий Андрианович Евтушевский (1836 – 1888). Евтушевский детальное изучение числа проводит лишь от 1 до 20, а в пределах от 20 до 100 он более подробно останавливается на тех числах, которые имеют много простых делителей (24, 32, 36…). В 1871 г. Евтушевский издает «Сборник арифметических задач», а в 1872 г «Методику арифметики», в которой он указывает на необходимость концентричности, устанавливает связь между устными и письменными вычислениями, разрабатывает более глубоко вопрос о наглядности. В переработке В. А. Евтушевского метод Грубе закрыл на ряд лет доступ в нашу школу собственно русскому методу, основы которого были заложены П. С. Гурьевым. К сожалению, ни сам П. С. Гурьев, ни другие противники монографического метода не сумели в то время раскрыть его теоретическую несостоятельность. С резкими возражениями против метода Грубе выступил в 1874 г. в «Отечественных записках» Л. Н. Толстой. Авторитет великого писателя поколебал «грубеизм», но не опроверг его, так как взамен концепций Грубе не было предложено ничего нового. Л.Н. Толстой писал: «Мы избрали приемы обучения ближайших соседей наших, немцев, во-первых, потому, что мы всегда особенно склонны подражать немцам; во-вторых, потому, что этот способ самый сложный и хитрый, а уже если брать чужое, то, разумеется, самое последнее – модное и хитрое; в-третьих, в особенности потому, что эти приемы более всего противоположны нашим старым приемам» Борцами за новый метод преподавания арифметики выступили почти одновременно два талантливых методиста: в Москве А. И. Гольденберг и в Петербурге В. А. Латышев.

В. А. Латышев является своего рода промежуточным звеном между П. С. Гурьевым и А. И. Гольденбергом, который не только подкрепил новыми доводами ту систему обучения, которую наметили его предшественники, но разработал на основе этой системы отличные задачники, вытеснившие многократно переиздававшиеся задачники Евтушевского.

Александр Иванович Гольденберг родился в 1837 г. в Москве, в семье врача-гомеопата. Окончил 3-ю Московскую реальную гимназию и в 1858 г.— Московский университет. В семье в совершенстве изучил французский и немецкий языки, с ранних лет занимался музыкой, с гимназических лет отличался многогранностью интересов. По окончании университета поступил на военную службу в артиллерию.
Четыре года служил артиллерийским офицером. В 1865 г. был назначен преподавателем математики во вторую Московскую военную гимназию. В 1867 г. вышел в отставку и занялся преподаванием математики в частных мужских и женских учебных заведениях и на различных курсах. В 1873 г. А. И. был назначен директором Поливановской земской учительской школы, открытой Московским губернским земством. Работа в земской школе дала возможность А. И. ознакомиться с начальной школой и сельскими учителями.

 

В 1876 г. в первом томе «Учебно-воспитательной библиотеки», издававшейся учебным отделом Московского общества распространения технических знаний, А. И. Гольденберг помещает статью, в которой подвергает подробному и обстоятельному разбору «Методику» В. А. Евтушевского. В этой работе Гольденберг с присущей ему эрудицией доказывает несостоятельность положения Грубе, что все числа в области первой сотни доступны непосредственному созерцанию и что работа над числами выше сотни может быть сведена к первой сотне, и отвергает монографическое (термин А. И.) изучение чисел. В 1884 г. А. И. Гольденберг переезжает в Петербург. Вскоре появляется его «Методика начальной арифметики» и «Сборник задач и примеров для обучения начальной арифметике». А. И. Гольденберг является одним из основоположников метода изучения действий. «Общеупотребительные, сокращённые способы производства арифметических действий основаны, с одной стороны, на применении простейших свойств чисел и, с другой, — на пользовании десятичным расчленением чисел» («Методика»). При изучении действий он вводит 3 концентра: 1) числа до 10, 2) числа до 100 и 3) числа выше 100. По словам К. П. Арженикова, сторонника и продолжателя А. И. Гольденберга, начальное обучение арифметике, освободившись от немецкого влияния, вступило на «самобытный путь», а именно «на место изучения чисел поставлено изучение действий, то есть приемов их выполнения». «Новый метод,—говорит К. П. Аржеников, — получил название метода изучения действий». Рядом с А. И. Гольденбергом и непосредственно после него работает, кроме К. П. Арженикова, целая плеяда методистов, разделяющих его взгляды и продолжающих развивать метод изучения действий. Среди них видное место занимают Ф. И. Егоров, В. К- Беллюстин, С. И. Шохор-Троцкий и др. Семён Ильич Шохор-Троцкий выступает против отрыва геометрического материала от арифметики: этот материал он включает и в начальный курс арифметики и в систематический курс арифметики. Его большая работа «Геометрия на задачах» является попыткой построения пропедевтического курса геометрии «на методических упражнениях в геометрическом черчении».

 

Со времен П. С. Гурьева, как мы показали, методика начального обучения арифметике в основном учитывает в работе с детьми требования теории.действий, обосновывая соответствующие приемы с точки зрения дидактики и психологии. Однако этим не исчерпывается роль арифметической теории при разработке методики преподавания арифметики. Арифметические действия производятся над числами. Не опираясь на достаточно полное раскрытие понятия натурального числа, нельзя правильно построить методику преподавания арифметики. Этот последний вопрос стал предметом методической мысли сравнительно недавно. В самой арифметике он возник в связи с появлением аксиоматической теории Джузеппе Пеано и генетической теории, или теории множеств, Георга Кантора. В учебнике арифметики А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка для I класса (год выпуска 1959) каждое число первого десятка представлено, с одной стороны, рядом косточек на счетах, что позволяет остановить внимание ученика на месте данного элемента упорядоченного множества, а с другой стороны, числовой фигурой, что облегчает, благодаря удобной группировке элементов множества, непосредственное восприятие его числового значения. В свое время еще Д. Д. Галанин утверждал, что «Понятие числа получается в результате измерения и тесно связано с понятием отношения»; последнее не формируется при рассмотрении числа только как совокупности «однородных счетных единиц», поэтому Д. Д. Галанин рекомендовал начинать обучение с непосредственного" измерения длины, веса и других величин. Нет никаких сомнений в том, что измерение величин следует использовать на первых ступенях обучения наряду с пересчитыванием элементов множеств. Тем самым обеспечивается более полное представление о числе. Как мы видим, история развития методики начального обучения арифметике прошла длинный и сложный путь от первых попыток ее теоретико-математического обоснования до использования новейших положений в математике и психологии.