Исчисление условной вероятности

Возможность исчислять вероятность имеется для различных событий и фиксирующих эти события формул КЛВ. На опыте мы различаем события, находящиеся в отношении фактического влияния, от нейтральных (не находящихся в отношении фактического влияния); соответственно, в логическом плане необходимо различать формулы, например A и B,имеющие логическое влияние одна на другую (зависимые), от формул, такого влияния не имеющих (независимых). Независимыми называются такие формулы, например A и B, когда истинность либо ложность первой из них не влияет на истинность либо ложность другой. В таком случае численное значение P(А) равняется численному значению условной вероятности P(А/В) (т. е. отношению вероятности формулы А, к вероятности формулы В при условии, что В не может иметь нулевую вероятность, т. е. быть нарушением какого-либо закона логики): P(А)=P(А/В) (читается — вероятность А равна условной вероятности P(А/В), или вероятность А не изменяется в связи с вероятностью В).

 

V Пример

Построим сводную таблицу двух выводных формул КЛВ: (А) — (аºb) и (В) — ((а Éс)Éа):

a	b	c	а º b	((a É c)	É а)
и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	и
и	л	и	л	и	и
и	л	л	л	л	и
л	и	и	л	и	л
л	и	л	л	и	л
л	л	и	и	и	л
л	л	л	и	и	л

Рис. 30

Используя данные сводной таблицы установим, что Р(A)=¹/₂ (равно как и Р(В)=¹/₂). Исключим из сводной таблицы строки, в которых формула В имеет отрицательный исход (принимает значение «ложь»):

a	b	c	а º b	((a É c)	É а)
и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	и
и	л	и	л	и	и
и	л	л	л	л	и

Рис. 31

Далее подсчитаем число положительных исходов для формулы А в качестве увязанной с формулой В или условную вероятность P(А/В): в данном случае — P((аºb)/((аÉс)Éа)=¹/₂. Таким образом, на том основании, что Р(A)=P(А/В)=¹/₂, делаем вывод о том, что рассмотренные формулы А и В логически не зависят друг от друга (фиксируют фактически независимые сложные события А и В).

 

Для ведения правдоподобных рассуждений существенным является такое отношение между событиями и, соответственно, формулами, когда имеется их зависимость, т. е. влияние одной формулы (события) на другую формулу (событие).

Причём, это могут быть два варианты влияния: 1) когда величина условной вероятности P(А/В) оказывается больше величины вероятности P(А) (P(А/В)>P(А)), т. е. имеет место отношение, повышающее вероятность истинности заключения, или позитивная релевантность; 2) когда величина условной вероятности P(А/В) оказывается меньше величины вероятности P(А) (P(А/В)<P(А)): в таком случае вероятность истинности заключения уменьшается, что соответствует негативной релевантности. Очевидно, что правдоподобное следование имеет место тогда и только тогда, когда величина условной вероятности P(А/В) оказываетсябольше величины вероятности P(А) (или P(А)<P(А/В)): именно в таком случае вероятность истинности заключения (A) повышается при условии истинности посылок (B₁,..., B_n), т. е. осуществляется собственно правдоподобное рассуждение, соответствующее схеме B_1, ..., B_n ║= А.

 

V Пример

Проанализируем рассуждение: «Поскольку, когда идёт первая половина будних дней недели и когда идёт вторая половина будних дней недели верующие города N проводят в молитвах, то возможно, что и выходные дни они проводят в молитвах». Данное рассуждение имеет логическую форму ((bÉа)Ù(сÉа))É(dÉа) со следующим набором истинностных значений антецедента и консеквента:

a	b	c	d	((bÉа)	Ù	(сÉа))	(dÉа)
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	и	л	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	и	и
и	и	л	л	и	и	и	и
и	л	и	и	и	и	и	и
и	л	и	л	и	и	и	и
и	л	л	и	и	и	и	и
и	л	л	л	и	и	и	и
л	и	и	и	л	л	л	л
л	и	и	л	л	л	л	и
л	и	л	и	л	л	и	л
л	и	л	л	л	л	и	и
л	л	и	и	и	л	л	л
л	л	и	л	и	л	л	и
л	л	л	и	и	и	и	л
л	л	л	л	и	и	и	и

Рис. 32

Согласно построенной таблице имеем: P(dÉа)=³/₄ и P((bÉа)Ù(сÉа))=¹/₂. Для определения P(dÉа)/((bÉа)Ù(сÉа))É(dÉа)) осуществим в таблице изменения:

a	b	c	d	((bÉа)	Ù	(сÉа)	(dÉа)
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	и	л	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	и	и
и	и	л	л	и	и	и	и
и	л	и	и	и	и	и	и
и	л	и	л	и	и	и	и
и	л	л	и	и	и	и	и
и	л	л	л	и	и	и	и
л	л	л	и	и	и	и	л
л	л	л	л	и	и	и	и

Рис. 33

Таким образом: 1) P(dÉа)/((bÉа)Ù(сÉа))É(dÉа))=⁹/₁₀; 2) между формулами ((bÉа)Ù(сÉа)) и (dÉа) имеет место такая форма зависимости, при которой P(dÉа)<P(dÉа)/((bÉа)Ù(сÉа))É(dÉа)), что доказывает наличие в рассуждении правдоподобного следования.

Принцип обратной дедукции

Различая сущность достоверного и правдоподобного следований необходимо помнить о их взаимодополнительности в процессе познания, в частности — обратить внимание на их логическую взаимоопределяемость. Так, если имеется достоверное следование: А_1, ..., А_n │= В (из А={А_1, ..., А_n } дедуктивно следует В), то имеется и правдоподобное следование: B_1, ..., B_n ║= А (из В={B_1, ..., B_n} правдоподобно следует А), но не наоборот. Такая взаимоопределяемость достоверного и правдоподобного следований в формальной логике называется принципом обратной дедукции. Этот принцип может быть использован для установления наличия правдоподобного следования между А и В на основе наличия дедуктивного следования между В и А (исключая случаи парадоксальности, когда А есть отрицание некоторого логического закона, или, когда В есть какой-то логический закон). Итак, правдоподобное следование — это такое отношение между высказываниями А и В, которое имеет место тогда и только тогда, когда В не является дедуктивным следствием А и вероятность В при условии, что истинно A больше, чем вероятность В самого по себе.

 

V Пример

Из достоверного рассуждения «известно, что когда при нормальном атмосферном давлении воду нагревают до 100 градусов по Цельсию, то она закипает, а также известно, что вода не закипела, значит, её не нагрели до 100 градусов по Цельсию», получим рассуждение вероятностное: «поскольку воду не нагрели до 100 градусов по Цельсию при нормальном атмосферном давлении, то, вероятно, что когда при нормальном атмосферном давлении воду нагревают до 100 градусов по Цельсию, то она закипает, хотя вода не закипала». Последнее рассуждение получено с использованием принципа обратной дедукции из исходной (соответствующей modus tollens, или «отрицающему способу рассуждения») формулы ((аÉb)ÙØb)ÉØa)) и имеет логическую форму ((ØaÉ((аÉb)ÙØb)) со следующим набором истинностных значений:

а	b	((а É b)	Ù	Øb)	Øа
и	и		и	л	л	л
и	л		л	л	и	л
л	и		и	л	л	и
л	л		и	и	и	и

Рис. 34

Согласно построенной таблице имеем: P((аÉb)ÙØb))=¹/₄ и P(Øа)=¹/₂.

Определяя P((аÉb)ÙØb)/(Øа):

а	b	((а É b)	Ù	Øb)	Øа
л	и		и	л	л	и
л	л		и	и	и	и

Рис. 35

получаем, что P((аÉb)ÙØb)/(Øа)=¹/₂. Очевидно, что ¹/₂>¹/₄, т. е. действительно имеет место правдоподобное следование.

Тема одиннадцатая

РАЗНОВИДНОСТИ ИНДУКЦИИ