Разбор решений типового зачетного задания

Материалы для подготовки к зачету по логике

Внимание! Если вы скачиваете материалы из Интернета, то при распечатке некоторые символы могут быть неправильно воспроизведены (знаки конъюнкции, дизъюнкции, кванторов и т.д.) Помните об этом.

Содержание

1. Пример типового зачетного задания по логике для факультетов ПК, СП, ЮП

2. Дополнительные вопросы (4-е зачетное задание)

3. Законы логики и условно-категорические схемы умозаключения

4. Разбор некоторых решений типового зачетного задания

5. Типичные ошибки

6. Тренировочные упражнения зачетного типа – где находятся

7. Литература

Пример типового зачетного задания по логике для студентов фак-тов ПК, СП, ЮП

(на зачете вы получите, разумеется, не в точности такое задание: будут другие формулы, рассуждения, понятия и т.д.)

 

1. Для следующих предложений с точки зрения ЯКЛВ (т.е. сопоставьте данным предложениям формулы ЯКЛВ, которые отображают их структуру).	Ответы к заданиям
Из следующих городов: Екатеринбург, Новосибирск, Одесса, Житомир, - по меньшей мере один расположен в Европе.	Ответы к этому заданию (с разбором решения) см. в Пособии для логики Гл.3, тема 2, пояснения и примеры
Если моя бабушка слушает Эминем, то дедушка предпочитает музыку П.Чайковского.
Если завтра суббота или воскресенье, то я высплюсь, если сосед сверху не будет петь, а снизу – продолжать ремонт.
Сегодня тринадцатое число, и если сегодня (к тому же) пятница, то мне не везет.
Если сегодня тринадцатое число и пятница, то мне не везет.
Если монета станет ребром, я пойду на занятия, если, кроме того, погода будет хорошей и у меня не будет плохих предчувствий, в противном случае [т.е. если все-таки выпадет орел или решка] я пойду на ипподром или же останусь дома и предамся размышлениям о смысле жизни.
Если я пью кофе, я бодр и радостен, разве что кто-то нахамил или подложил свинью.
Неверно, что две чашки эспрессо утром являются достаточным условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.
Радостная новость – достаточное, но необходимое условие для того, чтобы Пал Палыч напился.
Если верно, что если ты наблюдаешь за состязанием англичан (с какой-то национальной командой), ты болеешь за их противников, значит ты шотландец.
2. Установите табличным методом, является ли данное рассуждение логически правильным. «– А когда ты в первый раз заметил, Веничка, что ты дурак? – А вот когда. Когда я услышал одновременно сразу два полярных упрёка: и в скучности, и в легкомыслии. Потому что если человек умён и скучен, он не опустится до легкомыслия. А если он легкомыслен да умён – он скучным быть себе не позволит. А вот я, рохля, как-то умел сочетать.» (Вен. Ерофеев. Москва–Петушки).	разбор решения см. в разделе Материалы к зачету по логике в Интернете, там же, где Пособие по логике
3. Покажите, что следующие языковые структуры могут превратиться как в истинные, так и в ложные предложения, подобрав для них модели и контрмодели: 1. ∀у(Р(у) É (Q(у,а) Ú Q(у,b))) 2. Q(a) Ú Q(b)Ú Q(c) 3. ∀х∃уР(х,у)⊃∃у∀хР(х,у)	Ответы к этому заданию (с разбором решения) см. Пособии для логики Гл.4, тема 3, пояснения и примеры
4. Дайте определения следующих понятий, ответьте на следующие вопросы …	полный список понятий и вопросов, которые могут встретиться в этом задании, смотри ниже в разделе «Дополнительные вопросы»

 

Дополнительные вопросы к зачету по логике (5-е зачетное задание) для ПК, СП, ЮП

 

В задании 4 вы получите какие-то вопросы из следующего списка.

 

(Обратите внимание на вопросы, помеченные восклицательным знаком.)

 

Дайте определения следующих понятий, ответьте на вопросы, приведите примеры

 

· логика

· предложение (как оно понимается в пройденном курсе логики)

· истинностное значение

· рассуждение

· умозаключение

· контрпример к схеме умозаключения

· синтаксис (= синтаксический аспект изучения языка)

· семантика (= семантический аспект изучения языка)

· &, Ú, É, º, Ø, ^, Т – табличные определения этих связок (а также какие выражения им соответствуют в естественном языке)

· А необходимое условие для В; А достаточное условие для В

· закон КЛВ = закон логики в КЛВ = тождественно-истинная формула = общезначимая формула

· логическое противоречие в КЛВ = тождественно-ложная формула

· логически недетерминированная формула в КЛВ

· выполнимая формула в КЛВ

· отношение логического следования в КЛВ

· другие логические отношения между структурами высказываний:

- эквивалентность;

- логическое подчинение (А логически слабее, чем В);

- несравнимость по силе;

· свойство монотонности отношения логического следования (уметь пояснить формальную запись!)

· свойство транзитивности отношения логического следования

·! приведите пример двух высказываний, из которых одно логически сильнее другого

·! приведите пример логически эквивалентных высказываний

·! приведите пример высказываний, которые не сравнимы по силе

·! если из логически правильного умозаключения убрать какую-то посылку, оно все равно останется правильным, или обязательно станет неправильным, или может стать неправильным, а может остаться правильным? Принимается только ответ с обоснованием!

·! если из логически неправильного умозаключения убрать какую-то посылку, оно все равно останется неправильным, или обязательно станет правильным, или может стать правильным, а может остаться неправильным? Принимается только ответ с обоснованием!

· приведите пример логически истинного предложения (не формулы!)

· приведите пример логически ложного предложения

· приведите пример логически недетерминированного предложения

·! покажите на примере конкретных предложений, что импликация не коммутативна

· если к неправильному умозаключению добавить посылки, оно а) останется неправильным; б) станет правильным; в) может остаться неправильным и может стать правильным? Ответ пояснить.

· если к правильному умозаключению добавить посылки, оно а) останется неправильным; б) станет правильным; в) может остаться неправильным и может стать правильным? Ответ пояснить.

· Какие среди следующих схем рассуждения являются правильными, а какие нет?

(а) AÉB, A⊨B; (б) AÉB, ØB⊨ØA; (в) AÉB, В ⊨А; (г) AÉB, ØА⊨ØВ (для неправильных уметь привести контрпримеры!)

· какие из следующих умозаключений правильные (if any) (решите, опираясь на знание правильных (modus ponens, modus tollens) и неправильных условно-категорических схем умозаключения)

1) Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но ты не умнее. Значит, я не император.[1]

2) Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но я не император. Значит, ты не умнее.

3) Если сегодня четверг, у нас есть математика. Математика есть. Значит, четверг.

4) Если сегодня четверг, у нас есть математика. Сегодня четверг. Значит, математика сегодня есть.

5) Только если сегодня четверг, у нас есть математика. Сегодня четверг. Следовательно, математика сегодня есть.

· Чему эквивалентно данное высказывание по закону де Моргана

Неверно, что я посещал и лекции, и семинары по логике [2]

Варианты:

а) Я не посещал лекции по логике, и семинары не посещал.

б) Я не посещал лекции по логике, и семинары не посещал, и не жалею об этом.

в) Я не посещал лекции по логике, и семинары не посещал, и был не прав, прошу дать возможность загладить, искупить.

г) Меня не было на лекциях или на семинарах.

д) То, что меня не было на лекциях эквивалентно тому, что меня не было на семинарах.

· Чему эквивалентно данное высказывание по закону де Моргана

Неверно, что Маша знает французский или немецкий.

а) Маша не знает ни один из этих языков.

б) Маша не знает французский или немецкий.

в) То, что Маша не знает французский равносильно тому, что она не знает немецкий.

г) Неверно, что то, что Маша знает французский равносильно тому, что она знает немецкий.

д) У Маши нет способностей к языкам.

· Чему эквивалентно данное высказывание по закону де Моргана

По меньшей мере одно из следующих утверждений неверно: завтра у нас есть логика; завтра у нас есть физкультура.

а) Завтра нет ни логики, ни физкультуры.

б) Неверно, что завтра есть и логика, и физкультура.

в) Неверно, что завтра есть логика или физкультура.

г) Занятия спортом полезны.

· Допустим, о рассуждении известно, что все его посылки являются фактически ложными, а заключение фактически истинно. Что можно сказать о логической корректности такого рассуждения?

· Является ли рассуждение, в котором и посылки, и заключение логически ложны, логически корректным? Логически некорректным? Или предоставленной информации не хватает для того, чтобы решить этот вопрос?

· Пусть в рассуждении все посылки фактически истинны, а заключение фактически ложно. Можно ли что-то сказать о его логической правильности или информации не достаточно?

· Пусть о рассуждении известно только то, что и его посылки, и заключение фактически истинны. Можно ли что-то сказать о его логической правильности или информации не достаточно?

· Известно, что в рассуждении одна из посылок оказалась логически ложной. Можно ли что-то сказать о логической корректности этого рассуждения или предоставленной информации недостаточно?

 

· n-местный предикат (естественного языка) (привести примеры 1-местного, 2-местного, 3-местного предиката)

· n-местный функтор (естественного языка) (привести примеры 1-местного, 2-местного функтора)

· логическое имя (привести несколько примеров)

· модель для замкнутой формулы (уметь привести пример)

· контрмодель для замкнутой формулы (уметь привести пример)

· закон КЛП = закон логики в КЛП = общезначимая формула

· логическое противоречие в КЛП

· логически недетерминированная формула в КЛП

· выполнимая формула в КЛП

· понятие

· объем и содержание понятия (привести пример)

· сравнимые и несравнимые понятии (привести пример)

· Операции:

-ограничения понятий;

- обобщения;

- деления.

· Условия правильности деления понятий (в каком случае деление осуществлено правильно – перечислить по пунктам)

·! закон обратного отношения между объемом и содержанием понятия (привести пример – как этот закон работает для какого-нибудь понятия)

· обобщите и ограничьте понятие столичный город

является ли правильным деление учащиеся учебных заведений делятся на учащихся средних учебных заведений, средних специальных, высших, учащихся очной, вечерней, заочной форм обучения, а также бюджетников и платников. Ответ пояснить.

· закон исключенного третьего · закон (не)противоречия · законы коммутативности · законы де Моргана (отрицание & и отрицание Ú) · закон отрицания импликации · закон пронесения квантора общности через конъюнкцию

· закон пронесения квантора существования через дизъюнкцию · закон пронесения квантора общности через дизъюнкцию · закон пронесения квантора существования через конъюнкцию · условно-категорические схемы умозаключения: правильные (modus ponens и modus tollens) и неправильные

 

Законы

(А, В далее – любые формулы языков КЛВ и КЛП)

· AÚØA (закон исключенного третьего)

· Ø(A&ØA) (закон (не)противоречия)

· (A&B)º(B&A) (закон коммутативности &)

· (AÚB)º(BÚA) (закон коммутативности Ú)[3]

· Ø(A&B)º(ØAÚØB) (закон де Моргана)

· Ø(AÚB)º(ØA&ØB) (закон де Моргана)

· Ø(A₁& A_{2 ….} & A_n)º(ØA₁Ú ØA_{2 ….} ÚØA_n) (обобщенный закон де Моргана)

· Ø(A₁ÚA_{2 ….} ÚA_n)º(ØA₁&ØA_{2 ….} & ØA_n) (обобщенный закон де Моргана)

· Ø(AÉB)º(A&ØB) (закон отрицания импликации)

А, В – любые формулы языка КЛП, a, b - любая переменная (x, y, z и т.д.).

· "a(A&B)º("aA&"aB) (закон пронесения квантора общности через конъюнкцию)

· $a(AÚB)º($aAÚ$aB) (закон пронесения квантора существования через дизъюнкцию)

· ("aAÚ"aB)É "a(AÚB) (закон пронесения квантора общности через дизъюнкцию)

· $a(A&B)É($aA&$aB) (закон пронесения квантора существования через конъюнкцию)

 

Условно-категорические схемы умозаключения:

AÉB, A⊨B (modus ponens)

AÉB, ØB⊨ØA (modus tollens)

Следующие условно-категорические схемы неправильны (и это тоже надо знать!):

AÉB, В ⊨А

AÉB, ØА⊨ØВ

Внимание! Выше даны не конкретные формулы, а схемы формул. Запись Ø(A&B)º(ØAÚØB) предполагает, что вместо А и В можно подставить любую формулу КЛВ и КЛП, тогда получим конкретный вариант закона де Моргана, например, Ø(p&q)º(ØpÚØq), Ø((r&q)&p)º(Ø(r&q)ÚØp) и т.п.

Для схемы закона $a(A&B)É($aA&$aB) ее конкретным вариантом будет, например, формула

$х(Р(х)&Q(x))É($xР(х)&$xQ(x)) (на лекции был именно этот вариант).

На зачете можно записывать конкретные формулы: вместо А и В ставить элементарные формулы КЛВ (т.е. переменные – p, q, r, s), а – для законов логики предикатов – элементарные формулы КЛП с одноместным предикатным символом, т.е. формулы вида Р(х), Q(y) и т.п.

Разбор решений типового зачетного задания

Внимание! Ниже решение задачи 2 разбирается очень подробно с тем расчетом, чтобы даже совсем не умеющий ее решать студент получил достаточно информации. На зачете не требуется так подробно разбирать задачи; достаточно, например, построить таблицу и составить ее анализ (как на семинаре или на лекции) и т.п. для других заданий.

Разбор решения задачи 2

 

Для решения задачи необходимо понимать значения символов: p, q, r, &, Ø, º, а также какая запись является формулой и какая запись задает структуру умозаключения. Так что если не понимаете, разбирайтесь (по лекциям, учебнику или с помощью однокурсников).

*

Решение разбивается на 2 этапа:

(А) находим структуру данного умозаключения;

(В) строим совместную таблицу истинности для полученной схемы умозаключения и проверяем по ней, является ли она (схема) – а вместе с ней и исходное рассуждение – логически корректной.

(А) определение структуры умозаключения (с точки зрения КЛВ) разбивается на следующие этапы:

1. определяем, где в данном рассуждении посылки и где заключение;

2. определяем, сколько простых, различных по смыслу высказываний входит в состав данного умозаключения (высказывание простое, если в его составе нет пропозициональных связок – отрицания, конъюнкции («и», «а», «но»), дизъюнкции («или») и т.д.);

3. вводим символизацию для каждого из выделенных в 2 простых предложений: каждое предложение заменяем какой-то пропозициональной переменной (p, q, r, s);

4. находим структуру каждой посылки и структуру заключения с учетом введенной в пункте 3 символизации;

5. представляем структуру умозаключения стандартным образом: посылки записываем через запятую затем ставим знак шага вывода (отношения логического следования) - ⊨ и после него записываем формулу, соответствующую структуре заключения.

А. 1. Найдем посылки и заключение данного рассуждения.

В нем, между прочим, вывод предшествует посылкам (допущениям), а именно: вывод этого умозаключения: «Я дурак», после этого в тексте идет обоснование этого утверждения («а вот когда я догадался»), т.е. вводятся посылки. Если забыть о всех красотах стиля, то, унифицируя терминологию посылок и заключения, получаем следующее умозаключение:

Я скучен и легкомыслен. (1-ая посылка)

Если я умен и скучен, я не легкомыслен. (2-ая посылка)

Если я легкомыслен и умен, я не скучен. (3-я посылка)

Следовательно, (шаг вывода)

я не умен [=я дурак] (заключение, вывод).

2. Определяем, сколько простых, различных по смыслу высказываний входит в состав данного умозаключения. В данном случае имеем:

1. я скучен;

2. я легкомыслен;

3. я умен.

3. Введем (какую-нибудь) символизацию этих простых предложений. [4] Например, такую:

1. я скучен – p;

2. я легкомыслен – q;

3. я умен – r.

4. Находим структуру каждой посылки и структуру заключения с учетом введенной в пункте 3 символизации.

1-ая посылка: «Я скучен и легкомыслен».

Соединительному союзу русского языка «и» соответствует конъюнкция КЛВ - &. Поэтому

структура первой посылки: p&q.

2-ая посылка: «Если я умен и скучен, я не легкомыслен».

Во второй посылке опять присутствует конъюнкция, отрицание «не» (Ø), а также условный способ связи: «если… то», которому в языке нашей теории соответствует связка импликация - É, поэтому

структура второй посылки: (r&p)ÉØq.

Обратите внимание: предложение, которое стоит между словами «если… то», ставится перед импликацией, предложение, которое стоит после «то», ставится после импликации. Неверно (как это часто делают) передавать структуру второй посылки так: É(r&p) Øq, или É(p&q)ÉØq, - это вообще не формулы, т.е. это неосмысленные записи.

Третья посылка:

«Если я легкомыслен и умен, я не скучен».

Структура третьей посылки: (q&r)ÉØp.

Заключение: «Я не умен».

Cтуктура заключения: Ør.

5. Представляем структуру умозаключения стандартным образом:

p&q, (r&p)ÉØq, (q&r)ÉØp ⊨Ør.

(В) Строим совместную таблицу истинности для полученной схемы умозаключения и проверяем по ней, является ли она (схема) – а вместе с ней и исходное рассуждение – логически корректной.

Построение совместной таблицы истинности для нескольких формул аналогично построению таблицы истинности для одной формулы. Принципиальная разница заключается в анализе этих таблиц, что определяется разницей в задачах: ради ответа на какой вопрос строим таблицы.

 

1. Вычисляем количество различных переменных, входящих в состав этой схемы умозаключения: = 3 (p, q, r)

2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул каждой формулы. В данной случае имеем (значения для каждой формулы вычисляем независимо, т.е. в принципе неважно с какой из этих четырех формул начинать работать):

1 3 2 1 3 4

p&q, (r&p) É Øq, (q&r)É Øp ⊨Ør.

Над формулами p&q и Ør не стоит нумерация, поскольку в них надо вычислить только дно действие.

Важно понимать, где главный знак каждой формулы, т.к. наличие отношения логического следования будем определять, рассматривая столбцы именно под главными знаками формул (итоговыми столбцами).

3. Вычисляем количество строк в таблице для данной формулы. Если формула содержит n различных переменных, то количество строк в таблице для данной формулы = 2ⁿ. (Таким образом, если в состав формулы входят 2 различных переменных, то число строк в таблице истинности для такой формулы = 2²=4; если в состав формулы входят 3 различных переменных, то число строк в таблице истинности для такой формулы = 2³=8; если в состав формулы входят 4 различных переменных, то число строк в таблице истинности для такой формулы = 2⁴=16 и т.д.) В нашем случае в таблице будет 2³=8 строк.

4. Строим таблицу.

 

Последовательность вычислений для составных формулÞ

Функции оценки переменныхß

p

q

r

p&q

(r&p)

É

Øq

(q&r)

É

Øp

⊨

Ør

j1

и

и

и

и

и

л

л

и

л

л

л

j2

и

и

л

и

л

и

л

л

и

л

+

и

j3

и

л

и

л

и

и

и

л

и

л

л

j4

и

л

л

л

л

и

и

л

и

л

и

j5

л

и

и

л

л

и

л

и

и

и

л

j6

л

и

л

л

л

и

л

л

и

и

и

j7

л

л

и

л

л

и

и

л

и

и

л

j8

л

л

л

л

л

и

и

л

и

и

и

 

5. Таблица построена. Проанализируем ее. Нас интересуют только одно: допускает ли данная структура рассуждения логически неприемлемый переход от всех истинных посылок к ложному заключению или нет. Для этого рассматриваем столбцы под главными знаками формул (эти столбцы набраны жирным шрифтом). Смотрим, есть ли «плохая» строка (оценка переменных p, q, r), в которой все посылки истинны, а заключение ложно (и и и л), - если такая «плохая» строка (оценка) есть, то схема рассуждения логически некорректна, если такой плохой строки нет, то схема рассуждения логически правильна.

Рассмотрим первую строку таблицы – оценку j₁. В ней первая посылка истинна, но вторая – ложна (см. столбец под импликацией), значит первая оценка уже не есть интересующий нас случай: (и и и л), где первые три «и» - значения посылок, а «л» - значение заключения. Если бы в схеме умозаключения было 4 посылки, то интересующий нас случай был бы (и и и и л), первые четыре «и» - оценки посылок, а последнее «л» - значение заключения.

При оценке j₂ все посылки истинны. Заключение тоже истинно. Значит все нормально.

При всех других оценках первая посылка принимает значение «л» и, значит, «плохой» случай при этих оценках заведомо не реализуется (например, при j₃ распределение зачений посылок и заключения такое: (л и и л), - повторю – единственныйлогически неприемлемый случай есть распределение значений (и и и л)).

Таким образом, совместная таблица показывает, что не существует такой оценки переменных p, q, r, при которой все посылки истинны, а заключение ложно.

Следовательно, данная схема умозаключения логически корректна, а вместе с ней и исходное рассуждение, по которому была получена эта схема.

 

 

5. Типичные ошибки

К 1-му заданию

соответствия между записями с параметрами в естественном языке и формулами

 

В 1-м задании проверяется (главным образом) ваше умение показать различие между следующими типами информации

 

запись с параметрами в естественном языке	формульное соответствие
(1) Если А, то В	А É В
(1) В, если А
(1) А достаточное условие для В
(2) Только если А, (верно) В	ВÉА или ØА É ØВ
(2) В, только если А
(2) А необходимое условие для В
(3) А, если и только если В (3) А, тогда и только тогда, когда В	А º В
(3) А необходимое и достаточное условие для В
(4) А недостаточное условие для В	Ø(А É В)
(5) А не необходимое условие для В	Ø(В É А)
(6) А достаточное, но не необходимое условие для В	(А É В) & Ø (В É А)
(7) А необходимое, но недостаточное условие для В	(В É А) & Ø (А É В)
(8) А, разве что В	Ø В É А

 

Резюмируем

наиболее часто встречающиеся ошибки при определении структуры высказываний.

Криминал:«вообще не формула» LLLLLL
Тип структуры	Неправильный вариант(ы), вообще не формула	Правильный вариант
И А, и В	&A&B	A&B
Или А, или В	ÚАÚВ	АÚВ
Если А, то В	É (АВ); É АВ	АÉВ

 

Для сравнения представьте, что вам предложили поработать со следующими записями:

(х+²)-у=+ или ´6´у=12. Вы поймете, что кто-то совсем плохой, поскольку эти записи вообще не имеют смысла, они не являются правильно построенными арифметическими выражениями. (Ну, так не будьте такими же «совсем плохими».)

 

Ошибка: формула, но «не та»
Тип структуры	Неправильный вариант	Правильный вариант
А, если В	А É В	В É А
А, только если В	А º В	А É В
А, только если В	В É А	А É В
Если А, то В, если С.	А É (В É С) или (А & В) É С	А É (С É В) или (А & С) É В
А, разве что В	А É В; А É ØВ;	Ø В É А
А недостаточное условие для В	А É ØВ; ØА É В; ØА É ØВ; В É ØА (и прочие фантазии)	Ø (А É В)
А не необходимое условие для В	В É ØА А É ØВ; ØА É В; ØА É ØВ; (и прочие фантазии)	Ø (В É А) или Ø (ØА É ØВ)
А достаточное, но не необходимое условие для В	А º В; Ø(А º В) (и прочие фантазии)	(А É В) & Ø (В É А)

 

 

Другие примеры

Тип структуры	Примеры неправильных вариантов	Правильный вариант
А или D, если В, С или Е	(А Ú D) É (В Ú С Ú Е); (В&С Ú Е) É (АÚ D) (в подчеркнутой части не хватает скобок, но даже если вы их поставите, будет ошибка: нужна не конъюнкция – &, а дизъюнкция – Ú)	(ВÚ СÚ Е) É (АÚ D)
А или D, если В и С, но в любом случае верно Е.	((А Ú D) É (В&С))&Е	((В&С) É (АÚ D))&Е
А1 и А2 и А3, если В1или В2, разве что С.	(А1&А2&А3)É((В1Ú В2)&С); (А1&А2&А3&C)É(В1Ú В2); (В1ÚВ2)É(А1&А2&А3&C); (В1ÚВ2&ØС)É(А1&А2&А3) (не хватает скобок в подчеркнутой части); ((В1ÚВ2)&С)É(А1&А2&А3)	((В1ÚВ2)& ØС)É(А1&А2&А3)
А или D, только если В и С	(В&С) É (АÚ D)	(А Ú D) É (В&С)
Если А, то В и С, если Е.	А É ((В&С) É Е); (А &В&С) É Е (А É Е) É (В&С)	А É (Е É (В&С))
Если А, то В, но не С, если D или Е.	А É ((В&ØС) É(DÚ Е)); (А&В&ØС) É(DÚ Е)	А É ((DÚ Е) É (В&ØС))

Ко 2-му заданию

Ошибки в терминологии

Студенты любят говорить о посылках в формулах вида А&В, AvB, A, A≡B. В формулах такого вида нет посылок (гипотез, допущений). В них ничего не допускается, не рассматривается на правах гипотез. О посылках можно говорить, только если формула имеет вид А⊃В (т.е. главный знак в формуле – импликация), либо если мы имеем дело не с отдельной формулой, а со схемой рассуждения. В последнем случае посылки записываются через запятую до знака следования (шага вывода) – |=.

Поэтому, в таких, например, формулах, как (p&r), (rvs), ((p&r)⊃q)&(rvs), – нет посылок.

Определить, является ли следующая схема рассуждения логически корректной: (qvr)vp, r, p |= q (с точки зрения КЛВ).

Допустим, вы решаете этот вопрос табличным методом и, допустим, что вы правильно построили соответствующую таблицу истинности. В таком случае в вашей таблице не будет оценки переменных p, q и r, при которой все посылки ((qvr)vp, r, p) истинны, а заключение (q) ложно и, значит, схема рассуждения логически корректна, между посылками и заключением имеет место отношение логического следования.

Как показывает история сдачи зачета по логике, студенты проявляют большую фантазию по части анализа таблицы истинности для схемы рассуждения. Вот несколько таких образчиков:

«схема рассуждения логически противоречива» – схема рассуждения не может быть ни логически противоречивой, ни тождественно-ложной, ни тождественно-истинной, ни логическим законом, ни логически недетерминированной – все эти понятия относятся к характеристикам ровно одной формулы, а не схемы рассуждения;

«схема рассуждения правильная, потому что при всех логических выражениях она истинна» – во-первых, рассуждения характеризуются не как истинные или ложные (это характеризация предложений), а как правильные или неправильные; во-вторых, словосочетание «логические выражения» в данном случае бессмысленно (при каких это «логических выражениях» что-то может быть истинным или ложным???);

«схема рассуждения правильная, потому что существует оценка, при которой все посылки истинны и заключение тоже истинно» – в отличие от двух предыдущих примеров, это выражение осмысленно, но тем не менее, ложно: в теории КЛВ недостаточно найти строчку в таблице, где все посылки истинны и заключение тоже истинно, для того, чтобы сделать вывод, что с логикой в схеме рассуждения все в порядке. Ведь наличие такой строки не исключает наличия другой, в которой все посылки истинны, а заключение ложно (именно такая строка в таблице показывает, что схема рассуждения логически некорректна). В КЛВ схема рассуждения логически корректна, е.т.е. не существует оценки переменных, при которой все посылки истинны, а заключение ложно.

К 3-му заданию

· В 3-м задании не пишите предложение русского языка, задавайте интерпретацию следующим образом: 1) выберите какое-то непустое множество (натуральных чисел, людей, студентов МГППУ и т.д.); 2) укажите, как вы понимаете нелогические константы, входящие в состав формулы (т.е. символы Р, Q, R, S, a, b, c, f, g, h и т.д.: x, y, z - не константы, а переменные, им не приписываете значения!). Таким образом, ответ к 3-му заданию оформляется приблизительно так:

I: 1) U – …

2) |a|_I – …

|b|_I – …

|P|_I – …

…

• В формуле $x(P(x,а) & P(x,с)), например, надо придать значения в интерпретации символам Р, а и с.

Причем символам а и с нужно сопоставить конкретные объекты из носителя интерпретации U. Т.е., если U – множество людей, тогда символу а можно приписать значение А.С.Пушкин или Александр Македонский или себя любимую/любимого и т.д., но нельзя приписать значение, скажем, Москва или МГППУ, или Волга, или Россия. Таких объектов в выбранном нами множестве – среди людей – мы не найдем. Также нельзя символам а и с сопоставить, например, значение студент. Выражение студент не задает ровно один конкретный объект!

Символу Р нужно будет сопоставить какой-то двухместный предикат на множестве людей (запись Р(х,а), как и запись Р(х,с), показывает, что Р – двухместный предикат); поэтому не годится Р сопоставлять значение студент (это одноместный предикат), ³ - это отношение задается на числах, а не на людях, и уж полным идиотизмом (который, тем не менее, самые продвинутые студенты демонстрируют на зачете) сопоставить этому символу, например, значение А.С.Пушкин или Наполеон.

 

К 4-му заданию

ТЕМА «ПОНЯТИЕ»

1. Не путайте элементы объема понятия с частью его объема.

Пример. Объем понятия "человек" есть множество всех людей (когда-либо живших). (Объем понятия – некоторое множество.)

Элементом множества всех людей является какой-то конкретный человек.

Частью этого множества является любое его собственное[5] подмножество.

Примеры элементов объема понятия человек:

Первый президент США

Гай Юлий Цезарь

Нынешний ректор МГППУ

Примеры частей объема понятия "человек":

множество всех людей, которые на данный момент занимают должность ректора в каком-либо вузе;

голубоглазые люди;

люди, страдающие маниакально-деприссивным психозом;

люди с очень низким IQ;

люди, страдающие маниакально-депрессивным психозом и интересующиеся психоанализом;

бихевиористы;

президент США (хотя существительное в выражении стоит в ед.ч., с логической точки зрения под ним понимается множество всех людей, которые являлись когда-либо президентами США).

Неверно сказать, что частью объема понятия "человек" является, например, "рука" или "нога", поскольку это означает, что среди всех людей, помимо первого президента США, Гая Юлия Цезаря, нынешнего ректора МГППУ, наконец, себя любимого, вы найдете еще какую-то руку (или ногу).[6]

Аналогичным образом неверно, что "ветка" или "ствол" являются частью объема понятия "дерево": частью объема этого понятия будет какое-то множество деревьев; неверно, что "окно" есть часть объема понятия "здание" - частью объема этого понятия будет какое-то множество зданий (а элементами – конкретные здания: главное здание МГУ, собор Василия Блаженного и т.д.).

Действительно, можно сказать, что корень, ствол, ветки – это части дерева, и в этом смысле ветка есть часть дерева, и, аналогично, окно есть часть здания. Но в теории понятия слово часть (в выражении "часть объема понятия") употребляется по-другому, на основании других принципов. Здесь часть объема понятия есть подмножество объема этого понятия.

2. Не пытайтесь сравнивать понятия, род которых не одинаков. Так, понятия «математик» и «математика» некоторым образом, конечно, связаны, но их логическая сравнимость означала бы, что существует некая область рассуждения, объектами которой являются и все математики и научная дисциплина математика. Аналогично несравнимы понятия «математик» и «натуральное число», первое понятие предполагает рассмотрение множества людей, второе – множество натуральных чисел. Если – как, может быть, вам очень хочется – эти понятия были бы сравнимы, то в логической теории понятия это означало бы, что существует некое общее свойство у объектов обоих множеств, т.е. свойство, присущее и всякому математику, и всякому натуральному числу.

Другие примеры несравнимых понятий:

· студент – факультет вуза;

· столица – география – географ;

· политика – политик – конституция.

3. Ограничить понятие – значит перейти к понятию с меньшим объемом, а обобщить понятие – значит перейти к понятию с большим объемом.

Хорошо, если вы поймете, что при переходе от понятия вида хА(х) (читается: объект х такой, что для него выполнено – некое – условие А(х)) к понятию вида х(А(х)&B(x)) (где хB(x) – непустое понятие) происходит ограничение понятия хА(х), т.е. что объектов х(А(х)&B(x)) меньше, чем объектов хА(х). Двойственным образом объектов х(А(х)ÚB(x)) больше, чем объектов хА(х), поэтому при переходе от понятия хА(х) к понятию вида х(А(х)ÚB(x)) происходит обобщение понятия хА(х).

Естественно, существуют и другие способы обобщения и ограничения понятий (вообще их бесконечно много), для решения зачетного задания от вас требуется знание указанных способов обобщения и ограничения понятий полюс, как минимум, минимум сообразительности (это не тавтология) и/или здравого смысла.