Знающий PHP меньше ростом знающего JAVA;

Лабораторная работа

Тема: логические основы компьютера.

Теоретический материал.

Логическое высказывание — это любое повествовательное пpедлoжение, которое может быть только истинно или ложно.

Булева алгебра или алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля.

Отметим, что не всякое предложение является логическим высказыванием. Например, вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным.

Употребляемые в обычной речи словосочетания "не", "и", "или", "если..., то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными (простыми).

Принято назначать имена логическим высказываниям, например, «Идет дождь» - А, «Светит солнце» - В, тогда составное высказывание «Идет дождь и светит солнце» кратко будет А и В, где «и» -логическая связка. А, В — логические переменные, которые могут принимать только два значения — "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

Ø НЕ операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком). Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Ø И операция называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "^. " или &. Высказывание А ^. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Ø ИЛИ называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком Ú или плюсом. Высказывание А Ú В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Ø ЕСЛИ … ТО операция называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком Þ. Высказывание А Þ В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Ø РАВНОСИЛЬНО о перация называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком Û или ~. Высказывание А Û В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Операции импликации и эквиваленции можно выразить через оставшиеся три логические операции: А Þ В = А Ú В и А Û В = (А Ú В)×(В Ú А). Следовательно, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Приоритет выполнения логических операций - действия в скобках, отрицание ("не"), конъюнкция ("и"), дизъюнкция ("или"), импликация, эквиваленция. Порядок выполнения логических операций можно изменять круглыми скобками

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (функцией).

Математический аппарат алгебры логики с двумя значениями логических переменных (1, 0) применяется для описания функционирования аппаратные средства компьютера, в основе которого двоичная система счисления. А также, одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных.

Принято значения логических функций записывать в виде таблиц (таблиц истинности). Число строк в такой таблице - это число возможных наборов значений аргументов (2ⁿ, где n - число переменных). Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Таблица истинности функции одной переменной Y=f(A) содержит всего 2 строки. Существует 4 различные логические функции одной переменной, например, отрицание переменной

A	A

Таблицы истинности функции двух переменных, связанных различными логическими связками:

A	B	A&B	AVB	A=>B	A<=>B

 

При построении таблицы истинности логической функции, содержащей более одной логической связки принято, включать в таблицу и значения промежуточных формул.

Пример. Построить таблицу истинности для логической функции y= (А + В) Ú А & C

Переменные	Промежуточные логические формулы	Функция
A	B	C	B	A+B	(A+B)	A	A&C	(A+B) v A&C

 

В алгебре логики существуют основные законы, используя которые можно выполнять тождественные преобразования логических выражений. Представим некоторые из них.

Закон	ИЛИ	И
Переместительный (Коммутативный)	A v B = B v A.	A & B = B & A;
Сочетательный (Ассоциативный)	A v (BvC) = (AvB) v C = A v B v C.	A&(B&C) = (A&B)&C = A&B&C;
Распределительный (Дистрибутивный)	A v B&C = (A v B)&(A v C).	A&(B v C) = A&B v A&C;

 

Решение логических задач

Наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

· средствами алгебры логики;

· табличный;

· с помощью рассуждений.

В решении логических задач средствами алгебры логики используется следующая схема решения:

1) по условию задачи вводится система обозначений для логических высказываний;

2) конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

3) определяются значения истинности этой логической формулы;

4) из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

Решение логических задач табличным способом заключается в фиксации условий задачи и результатов рассуждений в специально составленных таблицах.

Рассмотрим такое решение на примере. Три программиста некой фирмы Петя, Коля и Вася умеют программировать на 6 языках ((PHP, JAVA, DELPHI, VBA, PASCAL, FORTRAN). Известно, что:

Коля самый высокий;

знающий PHP меньше ростом знающего JAVA;