Работа 4. Измерение скорости полета пули с помощью баллистического маятника

 

Цель работы - определить скорость полета пули с помощью крутильных колебаний баллистического маятника.

 

 

Теоретические основы лабораторной работы

 

Скорость полета пули может достигать значительной величины в зависимости от стреляющего устройства. Ее прямое измерение, то есть определение времени, за которое пуля проходит известное расстояние, в учебной лаборатории не представляется возможным.

Для лабораторной работы разработана методика косвенного измерения скорости полета пули с помощью баллистического маятника.

В основе эксперимента лежит явление неупругого соударения тел, в результате которого баллистический маятник совершает крутильные колебания.

Если летящая пуля испытывает неупругий удар с неподвижным телом большей массы, то скорость тела после удара будет существенно меньше первоначальной скорости пули и ее можно будет измерить достаточно простыми методами.

Баллистический маятник представляет собой два стержня 1, подвешенных на вертикально натянутой проволоке 3 (рис.1). На стержнях закреплены мисочки с пластилином 2 и перемещаемые грузы 4. При попадании пули в мисочку с пластилином, маятник начинает поворачиваться вокруг своей вертикальной оси, совершая крутильные колебания.

При выводе расчётных формул использованы формулы для момента инерции и периода крутильных колебаний физического маятника, а также законы сохранения момента импульса и полной механической энергии. Принято допущение при этом о малости неконсервативных сил.

На основании закона сохранения момента импульса можно написать

, (1)

где m - масса пули; u - величина скорости пули; l - расстояние от оси вращения маятника до точки удара пули; w - величина угловой скорости маятника; J - момент инерции маятника.

Согласно закону сохранения полной механической энергии при повороте маятника кинетическая энергия маятника переходит в потенциальную энергию закручивающейся проволоки

, (2)

где - наибольший угол поворота маятника; D - модуль кручения проволоки.

Учитывая, что момент инерции пули существенно меньше момента инерции маятника J, из уравнений (1) и (2) получим

. (3)

Модуль кручения проволоки D можно определить, измерив период крутильных колебаний маятника Т.

При малых углах отклонения период крутильных колебаний маятника определяется по формуле

(4)

Модуль кручения проволоки

(5)

Подставив выражение (5) в уравнение (3), выразим величину скорости пули

= (6)

Чтобы исключить измерения момента инерции J, запишем периоды колебаний маятника Т ₁ и Т ₂ при различных положениях грузов R ₁ и R ₂:

(7)

отсюда

(8)

В силу того, что момент инерции величина аддитивная, момент инерции баллистического маятника с грузами выразим в виде суммы

(9)

где М - масса двух неподвижных грузов; R - расстояние от центра масс груза до оси вращения; J ₀ - момент инерции маятника без грузов.

Для различных положений грузов на расстояниях R₁ и R₂:

в первом положении ; во втором положении

Разность моментов инерции

(10)

Решая уравнение (8) и (10) относительно J₁ найдем

(11)

Подставив в формулу (6) период T₁ и момент инерции J₁ для положения грузов на расстоянии R₁, получим окончательную формулу для расчета величины скорости пули

. (12)

 

 

Описание установки

Общий вид установки показан на рис.2. В основании 1, снабженном регулирующими ножками 2, позволяющими выравнивать прибор, закреплена колонка 3 с тремя кронштейнами: верхним 8, средним 4 и нижним 14. К кронштейну 4 прикреплено стреляющее устройство 9, прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой 10 и фотоэлектрический датчик 12. Кронштейны 4 и 8 имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки 13, на которой подвешен маятник, состоящий из двух мисочек 6, наполненных пластилином, двух перемещаемых грузов 7, двух стержней 5 и «водилки» 11. Фотоэлектрический датчик соединен разъёмом с привинченным к основанию секундомером.

Порядок выполнения работы

1. Установить максимальное расстояние между грузами R₁ и измерить его.
2. Установить маятник в рабочее положение, т.е. черточка на мисочке должна быть на 0° (α = 0°).
3. Зарядить пулей стреляющее устройство и опустить защитный кожух.
4. Произвести выстрел, нажав на спусковой крючок (кнопка «спуск»).
5. Измерить максимальный угол отклонения маятника α_max для данной пули.
6. Повторить 3 раза п.п. 2,3.
7. Включить установку (проверить светится ли фотоэлектрический датчик?)
8. Отклонить на угол α_max и отпустить маятник.
9. Измерить время 10 колебаний t₁ и записать в таблицу 1.
10. Повторить измерения времени 5 раз.
11. Установить минимальное расстояние между грузами R₂ и измерить его.
12. Отклонить на угол α_max и отпустить маятник.
13. Измерить время 10 колебаний t₁ и записать в таблицу 1.
14. Повторить измерения времени 5 раз.
15. Измерить массы грузов М и массу пули m с помощью цифровых весов.

 

Таблица 1.

Величины	R1	t1	T 1	R2	t2	T 2	αmax	M	m	l	v
Единицы измерений   № опыта
. . .
n

Обработка результатов измерений

 

1. Определить среднее значение по результатам измерения α_max.
2. Вычислить периоды Т₁ и Т₂ по результатам измерения времени t₁ и t₂ и используя формулу T = t/10.
3. Вычислить средние значения периодов Т₁ и Т₂.
4. Рассчитать величину скорости полета пули по формуле (12). В формуле использовать величину a, измеренную в радианах.
5. Результаты вычислений занести в таблицу 1.
6. Записать погрешности прямых измерений.
7. Вывести формулу максимальной абсолютной погрешности косвенных измерений величины скорости пули, используя выражение (12).
8. Записать результат для величины скорости пули в виде v = .

 

Контрольные вопросы

1. Что такое баллистический маятник?

2. От каких параметров установки зависит период колебаний баллистического маятника?

3. От чего зависит амплитуда колебаний баллистического маятника?

4. Что называется периодом колебаний?

5. Что характеризует вектор скорости?

6. Что характеризует модуль скорости?

7.При каких допущениях получена формула для величины скорости?

8. Какие законы и соотношения использованы при выводе расчётной формулы для вычисления величины скорости?

9. Какой удар называется неупругим?

10. Можно ли пользоваться формулой (12), если удар пули о мишень происходит под углом, отличным от прямого угла?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Справочные таблицы

Таблица 1.

Основные физические постоянные.

Физическая величина	Численное значение
Атомная единица массы (унифицированная)	1 у.а.е.м. = 1,660531(111)10-27 кг = 931,481(52) МэВ.
Заряд элементарный	е = 1,6021917(70)10-19 Кл.
Заряд удельный электрона	= 1,7588028(54)1011 Кл∙кг -1.
Масса покоя нейтрона	тп= 1,674920(11)10-27 кг, Мп = 1,00866520(10)а.е.м.
Масса покоя протона	тр= 1,672614(11)10-27 кг, Mр = 1,00727661(8) а.е.м.
Масса покоя электрона	те = 9,109558(54) 10-31 кг, Ме = 5,485930(34) 10-4 а.е.м.
Постоянная Планка	h = 6,626196(50)10-84 Дж∙с, h = 1,0545919(80)10-34 Дж∙с.
Постоянная Ридберга	R ' = 1,09737312(11) 107 м -1.
Скорость света в вакууме	с = 2,9979250(10) 108 м∙с -1.
Электрическая постоянная	e0 = 8,85∙10-12 Ф∙м -1.
Магнитная постоянная	μ0 = 4π∙10 - 7 Гн∙м -1.

 

Таблица 2

Множители, приставки для образования десятичных и кратных единиц

Множи-тель	Приставка	Множи-тель	Приставка
Наимено-вание	Обозна-чение	Наимено-вание	Обозна-чение
1012	Тера	Т	10-2	Санти	с
109	Гига	Г	10-3	Милли	м
106	Мега	М	10-6	Микро	мк
103	Кило	к	10-9	Нано	н
10-1	Деци	д	10-12	Пико	п

 

Таблица 3

Основные величины, их обозначения и единицы величин в СИ

 

Величина	Единица
Наименование	Размер­ность	Наименование	Обозначение
Междуна-род­ное	русское
Длина	L	метр	m	м
Время	Т	секунда	s	с
Масса	М	килограмм	kg	кг
Сила электрического тока	I	Ампер	А	А
Термодинамичес-кая температура	Θ	Кельвин	К	К
Количество вещества	N	моль	mol	моль
Сила света	J	канделла	cd	кд

 

 

Таблица 4

Производные единицы СИ, имеющие наименование

 

Величина	Единица
наименование	Обозначение	Выражение через основные единицы СИ
Частота	Герц	Гц	c -1
Сила	Ньютон	Н	м∙кг∙с-2
Давление	Паскаль	Па	м -1 кг∙с -2
Энергия, работа, количество теплоты	Джоуль	Дж	м 2 кг∙с -2
Мощность, поток энергии	Ватт	Вт	м 2 кг∙с - 3

 

Таблица 5

Моменты инерций однородных твердых тел правильной геометрической формы

Тело	Положения оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходят через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходят через центр шара

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Метод наименьших квадратов

 

Суть метода заключается в поиске такой функциональной зависимости у = j(х, с ₁, с ₂,..., с_m) с коэффициентами с_j (j = 1,2,..., m), при которой сумма

(1)

будет минимальна. Здесь у_i - совокупность экспериментальных значений функции.

В соответствии с необходимым условием экстремума функций нескольких переменных, нужно приравнять к нулю частные производные суммы (1) по каждому из коэффициентов, т.е.

(2)

Полученные уравнения (2) для нахождения коэффициентов с_j называются нормальными уравнениями для выбора наилучшего приближения к экспериментальным данным.

Если аппроксимирующая функция может быть представлена в виде линейной комбинации функций

(здесь j _j (x) - известные функции), то аппроксимация называется линейной.

Рассмотрим использование метода на примере наиболее простой, линейной зависимости. Если две переменные у и х связаны зависимостью типа у = А + Вх, то график такой функции, как известно, представляет собой прямую, наклон которой к оси абсцисс определяется коэффициентом В = tga, а точка пересечения ординаты .

На практике каждое измерение х_i и у_i сопровождается погрешностью. На рис. показаны экспериментальные точки с учетом погрешности при наличии линейной зависимости.

Можно провести множество прямых, которые близко проходят около этих точек. Метод наименьших квадратов позволяет подобрать такие коэффициенты А и В, что аппроксимация экспериментальных точек прямой у = f (х, А, В) будет наилучшей с точки зрения выполнения условия (1). Это условие предполагает в качестве критерия наилучших значений А и В такие, при которых вероятность получения всего данного набора результатов измерений у_i (i = 1,2,..., N) максимальна.

Предположим, что результат измерения каждого значения у_i подчиняется распределению Гаусса и средняя квадратическая погрешность s _у одинакова для всех измерений. Согласно теории вероятности, вероятность получения значения у_i

, (3)

где y_i = A + Bx_i - истинное значение измеряемой величины при значении аргумента x_i.

Вероятность получения всего набора результатов измерений у ₁, у ₂,..., у_N равна произведению соответствующих вероятностей:

… ~ (4)

где

Из формулы (4) следует, что вероятность максимальна, когда значение минимально. Причем, если постоянно для всех y_i, то минимальной должна быть сумма

Итак, мы вернулись к условию (14), введенному в общем виде для любой функциональной зависимости.

Расчет величин А и В. В соответствии с уравнениями (2) приравняем производные по коэффициентам А и В к нулю:

Тогда

(5)

 

(6)

 

В результате решения системы нормальных уравнений (5) и (6) получим наилучшие оценки постоянных А и В для прямой у = А + Вх, основанные на измеренных точках x_i, y_i:

(7)

где

Погрешность в измерениях у. Не вдаваясь в довольно сложные теоретические рассуждения, приведем формулу для расчета погрешности s _у при наличии линейной аппроксимации у = А +Вх:

(8)

где А и В определяются по формуле (7).

Если в опыте произведено только два измерения, то s _у = ¥. Это означает, что при обработке данных опыта методом наименьших квадратов необходимо, чтобы число опытов было по крайней мере больше двух.

Погрешность постоянных А и В. Величины А и В рассчитывают на основании экспериментальных данных x_i и y_i. Так как каждое измерение x_i и y_i сопровождается погрешностью, то и величины А и В имеют погрешности s _А и s _В. Их рассчитывают по формулам

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.

Штангенциркуль

Штангенциркуль предназначен для измерения длины до 150-500 мм, с точностью до 0.1 или 0.05 мм.

Штангенциркуль состоит из масштабной линейки – М с выступом А, называемым губкой, и подвижной рамки К, с другой губкой В. Рамка передвигается вдоль масштабной линейки, часть рамки снабжена нониусом.

Измеряемый объект зажимается между губками масштабной линейки и рамки.

Нуль масштабной линейки смещен на некоторое расстояние от плоскости губки А, на такое же расстояние смещен и нуль нониуса относительно плоскости губки В на рамке К. Таким образом, измеряемая длина предмета равна расстоянию между нулем масштабной линейки и нулем нониуса.

Снятие отсчета.

 

Микрометр.

Микрометр используется для измерения небольших значений длины до 25-50 мм и более с точностью до 0.01 мм.

Микрометр состоит из микрометрического винта А, ввинченного в скобу Е.

Измеряемое тело помещается между плоскостями торца А и упора А', укрепленного в скобе.

 

 

 

Шаг винта А равен 0,5 мм. На барабане С имеется лимб, разбитый на 50 равных делений. При вращении барабана он переме-щается вдоль шкалы Д, цена деления которой равна 0,5 мм, т.е. шагу винта А. Таким образом, цена деления лимба барабана 0,01 мм.

 

 

Измерение микрометром производят следующим образом: вращая винт А за головку В, прижимают измеряемый предмет к упору А' затем берут отсчет по неподвижной шкале Д с точностью до 0,5 мм и прибавляют сотые доли миллиметра, которые отсчитывают по делениям лимба барабана С.

Число сотых отсчитывают по штриху лимба, находящемуся против продольного штриха шкалы Д.