Обработка экспериментальных данных

И ошибки измерений

 

Цель работы: Измерить время падения тела и ускорение свободного падения.

Вычислить случайную и систематическую ошибки прямых и косвенных измерений.

Аппаратура: измерительная система (ИСМ), фотодатчики, светодиоды, таймер,

линейка.

Введение.

 

1. Измерение физической величины - это сравнение ее с однородной величиной, принятой за единицу. В результате измерения мы узнаем, во сколько раз измеренная величина больше или меньше величины, принятой за единицу.

Измерения классифицируют на прямые и косвенные измерения.

Прямые измерения проводятся с помощью приборов, которые дают значения самой измеряемой величины. Так длина измеряется линейкой, сила тока измеряется амперметром, а время измеряется секундомером – это примеры прямых измерений. К прямым измерениям относятся такие, при которых числовое значение измеряемой величины получается в результате одного наблюдения или одного отсчета по шкале измерительного прибора. Однако, прямые измерения не всегда возможны. В этом случае прибегают к косвенным измерениям.

Косвенные измерения включают вычисления физической величины. При косвенных измерениях искомое значение физической величины вычисляют по известной математической связи между измеряемой величиной и величинами, полученными прямыми измерениями. Таким образом, всякое косвенное измерение опирается на результат одного или нескольких прямых измерений.

2. В процессе измерения получают приближенное значение измеряемой величины. Это объясняется несовершенством методики и приборов, влиянием неучтенных факторов и содержанием, сутью самого процесса измерения. Для уменьшения негативного влияния этих факторов на результат измерения нужно повторить несколько раз. Полученные в результате серии измерений значения являются случайными. В качестве истинного значения измеренной величины принимают среднее арифметическое всех измерений:

На рис. 1 показаны результаты нескольких измерений величины и среднее арифметическое .

Невозможно выполнить измерение «абсолютно точно». Результат измерения всегда содержит погрешность или ошибку. Поэтому в задачу измерения входит не только нахождение самой величины, но и оценка допущенной при измерении ошибки. Ошибкой однократного измерения называют абсолютное значение разности между измеренным x_i и истинным значением. Обозначив ошибку измерения величины символом , можно записать

Величину называют абсолютной ошибкой i-го измерения. Затем находят среднюю абсолютную ошибку всех N измерений

Следует заметить, что величина абсолютной ошибки сама по себе, если не сравнивать её со значением измеряемой величины, даёт мало информации о действительной точности измерения. Например, пусть ошибка измерения линейных размеров равна =0,5см. Если при этом измеряют спичечный коробок, то точность будет плохой, а если с такой же ошибкой измерен периметр высотного здания, то точность измерений высокая.

Поэтому помимо абсолютной ошибки вычисляют относительную ошибку , которая равна отношению средней абсолютной ошибки к истинному значению

Относительную ошибку часто выражают в процентах:

 

 

 

3. Типы ошибок. Ошибки измерений подразделяют на грубые, систематические и случайные ошибки.

Грубые ошибки возникают вследствие невнимательности экспериментатора или неправильности показаний (например, вследствие скачка напряжения) приборов. Результат измерения, полученный с грубой ошибкой, легко устанавливается, так как он значительно отличается от других результатов аналогичных измерений и соответствующее показание х_гр отбрасывается. На рис.1 показаны результаты нескольких измерений величины , среди которых есть измерение , полученное с грубой ошибкой.

Очевидно, грубую ошибку нужно исключить из результатов измерений.

Случайные ошибки обязаны своим появлением многочисленным причинам, влияние которых на результаты измерения не одинаково и не может быть учтено. Например: на измерения температуры может оказать влияние сквозняк в лаборатории; при измерениях времени ручным секундомером важна реакция экспериментатора; хлопанье дверью приводит к искажению показаний прибора со световым «зайчиком»; неточность отсчёта по шкале стрелочного прибора связана со случайным изменением положения глаз относительно прибора и т.д.

Величина и знак случайной ошибки меняются от опыта к опыту. Случайные ошибки неустранимы принципиально, но основным способом уменьшения случайной ошибки является увеличение числа измерений одной и той же величины.

Систематические ошибки возникают из-за неисправности приборов, несовершенства метода измерения или некорректности постановки эксперимента, а, иногда, и злого умысла. Например: перед началом измерений стрелка прибора находится не на нуле; не совсем горизонтально установлен прибор; или, если определяют по измерениям массы и объёма плотность твёрдого тела, внутри которого имеются пустоты в виде пузырьков воздуха, то будет допущена систематическая ошибка – при этом необходимо изменить методику измерений.

Величина и знак систематической ошибки одинаковы от опыта к опыту. Систематическая ошибка может и должна быть полностью исключена.

 

Рис. 2 поясняет различие между случайными и систематическими ошибками. В ситуации, изображенной на рис. 2.а, систематическая ошибка пренебрежимо мала.

 

а) б)

Рис.2

 

Измеренные значения х отличаются от истинного значения в результате случайных ошибок. При этом измеренные значения могут быть как больше, так и меньше истинного, и распределены симметрично относительно .

На рис. 2.б изображены результаты опыта при наличии как случайных, так и систематических ошибок.

Заметим, что минимальная возможная ошибка измерения определяется точностью приборо в, которые используются в эксперименте. Точность электроизмерительных приборов указывается на их шкале. Если точность прибора не указана, то она считается равной половине деления шкалы (миллиметровая линейка имеет точность ) или цене деления шкалы, если стрелка прибора перемещается скачком (секундомер).

 

 

Оценка ошибок измерений и запись результатов.

1. Вычисление случайной ошибки прямых измерений.

Для выявления случайной ошибки измерения необходимо повторить насколько раз.

· Получим N значений величины х: х₁, х₂, х₃ ….. х_N.

· Вычислим среднее значение

· Вычислим абсолютную ошибку каждого измерения

· Вычислим абсолютную случайную ошибку серии измерений как среднее арифметическое

 

Тогда результат измерений представим в виде:

 

При вычислениях часто приходится округлять результаты вычислений. Ошибка, возникающая при округлении результатов вычислений, должна быть согласована с ошибкой самих измерений. При этом нужно придерживаться следующего правила.

Ошибка, получающаяся в результате вычислений, должна быть того же порядка что и ошибка измерений.

Например, при вычислении получены следующие результаты:

Так как абсолютная ошибка показывает, в каком знаке измеренной величины появится ошибка, то значение абсолютной ошибки нужно округлить до первой значащей цифры, следовательно . Видно, что ошибка появляется в единицах, поэтому измеренную величину нужно округлить до единиц и записать . Окончательный результат представим в виде (с указанием размерности величины х):

.

Более подробно вопрос об ошибке вычислений изложен в Приложении.

2. Вычисление случайной ошибки косвенных измерений.

 

Определяемая косвенным измерением величина может быть вычислена по формуле . Величины и получены прямыми измерениями. Таким образом, известно

и ,

надо найти . Наиболее достоверное или истинное значение измеряемой величины равно

 

Расчет абсолютных ошибок косвенных измерений производится с использованием правил вычисления бесконечно малых величин. Бесконечно малое изменение , вызванное бесконечно малыми изменениями переменным и , равно

Частные производные и могут быть как положительными, так и отрицательными. В отношении ошибки наиболее неблагоприятны случаи, когда все члены суммы имеют одинаковый знак. Поэтому возьмем модули частных производных. Поскольку приращения всех величин являются случайными отклонениями от истинных значений, т.е. ошибками измерений, то с точностью до знака можно записать

, ,

Тогда для оценки случайной абсолютной ошибки косвенных измерений получим

Относительная ошибка измерений

Ниже в таблице приведены формулы для расчета ошибки косвенных измерений, полученных по правилам, сформулированным выше, для некоторых часто встречающихся функций.

 

 

Таблица I