Теорема Гаусса для диэлектриков

Электрическое смещение

 

Влияние диэлектрика на электрическое поле сводится к действию поляризационных зарядов. К диэлектрикам также можно применить формулу (13.4), добавив к свободным зарядам Q поляризационные q’:

(15.10)

Подставив сюда значение q’ из (15.8), получим

Введем новый вектор

(15.11)

который называют вектором электрического смещения или электростатической индукции. Тогда

(15.12)

Это и есть теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Как видно, поток вектора через замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами.

Вектор не является силовой характеристикой поля. Это есть вспомогательная величина, с помощью которой определяется , этим и оправдывается введение вектора . Он связан простым соотношением с . Т.к. , то из (15.11) находим

(15.13)

 

Сегнетоэлектрики

 

Существует группа кристаллических диэлектриков ч- «сегнетоэлектрики», поляризуемость которых очень велика ( ~10⁴). Они обладают рядом особенностей. Вектор поляризации в таких диэлектриках определяется не только напряженностью поля, но и предшествующим состоянием образца. В них сохраняется остаточная поляризация.

 

Лекция 23	Электроёмкость. Конденсаторы.
	Энергия заряжённого проводника и конденсатора. Объёмная плотность энергии электрического поля.

 

Электрическое поле заряженного проводника

 

Если к проводнику добавить или отнять у него часть электронов, то он оказывается заряженным отрицательно или положительно. Избыточные заряды могут перемещаться по проводнику только под действием внешнего поля. При равновесии заряда на заряженном проводнике направленное движение их отсутствует. Это означает, что поле внутри проводника равно нулю (Рис.16.1). Отсутствие поля внутри проводника приводит к отсутствию и избыточного заряда внутри него (по теореме Гаусса), а также означает постоянство потенциала внутри проводника. Потенциал на поверхности проводника также постоянен, что следует из непрерывности потенциала как функции координат.

Электрические заряды располагаются лишь вдоль поверхности проводника с некоторой плотностью и создают вне его электрическое поле, напряженность которого пропорциональна плотности поверхностных зарядов.

 

Электроемкость

 

Увеличение заряда на проводнике пропорционально увеличению напряженности поля, что приводит в свою очередь к возрастанию потенциала проводника. Следовательно, потенциал проводника пропорционален его заряду:

(16.1)

Коэффициент пропорциональности между зарядом и потенциалом проводника С называют электроемкостью. Как следует из (16.1), емкость численно равна заряду, который надо сообщить уединенному проводнику, чтобы повысить его потенциал на единицу. Эта величина характеризует способность тел накапливать электрические заряды. Электроемкость проводника не зависит от материала проводника, а зависит от его формы и размеров, а также свойств среды, где находится проводник.

В СИ единица емкости 1 фарада . На практике пользуется долями этой единицы — 1 мкФ, 1 пкФ.

В СГС единица емкости 1СГС_с=

Ее размерность совпадает с единицей длины — см.

 

Емкость проводящей сферы

 

Поле заряженной сферы обладает центральной симметрией, т.е. направление совпадает с направлением радиуса . По теореме Гаусса (r>R), откуда , т.е. поле напряженной сферы совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центр сферы. Вычислим потенциал заряженной сферы. Из формулы (14.7) находим (полагая ) , а если сфера находится в среде с диэлектрической проницаемостью e, то (16.2). Сопоставляя (16.1) c (16.2), находим емкость сферы, находящейся в диэлектрике:

, (16.3)

 

Конденсаторы

 

На практике бывает необходимо иметь большие емкости, способные при небольшом потенциале накапливать значительный заряд. Это можно достигнуть, приблизив к данному проводнику другой. При этом под действием поля заряженного проводника на поднесенном к нему другом проводнике возникают индуцированные заряды противоположного знака, поле которых ослабляет потенциал данного. Такие устройства, основанные на свойстве проводника увеличивать свою емкость в присутствии других проводников, называются конденсаторами. Простейший конденсатор представляет систему из двух проводников, которые называют обкладками. В зависимости от их формы различают плоские, сферические, цилиндрические конденсаторы. Емкость конденсатора вычисляется по формуле

, (16.4)

где - потенциалы обкладок, Q - заряд обкладки.

Вычислим для примера емкость плоского конденсатора с площадью обкладок S, расстояния между ними d, между которыми находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ~. Т.к. разность потенциалов между обкладками равна , то из (16.4) следует

, (16.5)