Всех жителей некоторой общины можно условно разделить на три равные группы по численности: бедные, средние, богатые. Доход Бедной группы составляет 20% от общего дохода всех жителей данной общины. Доход средней группы составляет 30%. Рассчитайте коэффициент Джини (
).
В общине решили ввести налог на доходы богатой части общества в размере 30% от их дохода. Полученная сумма налога распределяется следующим образом: две трети полученной суммы идет бедным, одна треть - средней группе. Рассчитайте новое значение коэффициенты Джини(
).
Решение: После введения налога доход "богатых" составит: 
от общего дохода всех жителей, то есть распределиться между оставшимися группами 
общего дохода, следовательно доходы "бедных" составят: 
; доходы "средних" составят 
, что равно доходам "богатых", то есть теперь общество делиться на 2 группы: "бедные" (
населения и 
от общего дохода) и "средние-богатые"(
населения и 
от общего дохода).
Коэффициент Джини можно рассчитать, используя лемму о ломаной кривой Лоренца, имеющей два линейных участка (доказательство леммы в задаче, которая называется "В некоторой стране", введите в поиске по сайту, ссылку вставить не получилось), отсюда 
Вычислите коэффициент Джини, примерно отражающий общемировое неравенство доходов, если ВВП развивающихся стран, в которых проживает 80 % населения Земли, в сумме составляют только 20 % общемирового продукта (заметим, что это соотношение держится уже много лет по данным Всемирного банка).
Решение и ответ
j=1-(0,8+(0,2+1))*0.2=1-2*0.2=0.6
Ответ:
0,6
В некоторой стране
В некоторой стране общество состоит из двух неравных по численности и уровню доходов групп: богатых и бедных. Допустим, бедные получают 40% совокупного дохода. Значение коэффициента Джини составляет 0,3. Рассчитайте долю бедных и долю богатых от общей численности населен
, где 
-доля беднейшего населения, 
- доля дохода беднейшего населения. Теперь для полноправного использования выведем эту формулу: 
Ну или можно просто стандартно рассчитать коэффициент Джини, что в конечном итоге даст аналогичный результат результат)) 
·
Сложение кривых Лоренца
В двух странах с одинаковым ВВП на душу населения коэффициенты Джини отличаются на единицу. Государство с менее равномерным распределением доходов – тоталитарное и милитаризованное – решило развязать войну со своим более демократичным соседом. Однако, несмотря на значительные расходы (на кампанию было потрачено около 
ВВП), агрессор потерпел явную неудачу. В ходе кровопролитных боев погибло 
населения нападающей страны. Для сравнения, демократическое государство потратило на оборону только 
ВВП, пожертвовав жизнями 
населения. В итоге страны решили заключить мирный договор и образовать союзное государство. Оказалось, что коэффициент Джини в объединенном государстве равен 
. Каков был бы коэффициент Джини, если бы страны решили объединиться до войны?
Решение и ответ
Коэффициенты Джини отличаются на 
один из них равен 
(в демократической стране), а другой – 
(в тоталитарной).
Обозначим демократическую страну «D», а тоталитарную – «T», 
– ВВП, 
– численность населения, момент до войны – «0», момент после войны – «1».
Тогда
; 
.
; 
.
Отсюда
; 
.
Но в силу равенства ВВП на душу населения до войны 
.
Значит, 
.
Обозначим 
. Тогда 
.
Поймем, как будет выглядеть кривая Лоренца объединенного государства. Самые бедные в новом государстве – это жители бывшего тоталитарного государства, имеющие нулевые доходы. Их доля в населении нового государства равна 
, поэтому на отрезке 
кривая Лоренца нового государства будет совпадать с осью абсцисс. «Средний класс» в новом государстве будут составлять бывшие жители демократического государства. Вместе с бедными они будут составлять почти все население нового государства, а суммарная доля доходов этих групп населения в общем ВВП равна 
. Кроме того, внутри среднего класса распределение доходов абсолютно равномерно, поэтому следующий участок общей кривой Лоренца будет отрезком прямой с концами в точках 
и 
. И, наконец, соединяя точку 
с точкой 
, получаем отрезок общей кривой Лоренца, «ответственный» за богатых, то есть за ту самую крайне малочисленную группу населения тоталитарной страны, располагавшую всем ее ВВП. В итоге общая кривая Лоренца имеет вид:
Тогда коэффициент Джини равен 
.
Учитывая то, что , имеем:
Значит, 
.
Получается, что до войны страны имели одинаковый ВВП и одинаковую численность населения!
Если бы страны объединились до войны, то общая кривая Лоренца имела бы качественно такой же вид, как и в случае объединения после войны. Следуя описанной выше логике построения этой кривой, нетрудно установить, что совокупная кривая Лоренца до войны проходила бы через точки 
, и совокупный коэффициент Джини был бы равен 
.
Ответ:
.
