Указания по подбору сечения. Подбор сечений сжато-изгибаемых элементов производят методом последовательных приближений (попыток)

 

Подбор сечений сжато-изгибаемых элементов производят методом последовательных приближений (попыток). Назначенное сечение проверяют по условию прочности (4.1). При несоблюдении условия прочности размеры сечения увеличивают с учётом сортамента пиломатериала. Цель расчёта – получение сечения с наименьшей площадью при условии, чтобы суммарные краевые напряжения сжатия были как можно ближе к значению расчётного сопротивления материала. Как правило, рациональной формой сечения будет прямоугольное сечение с высотой в плоскости действия поперечной нагрузки.

 

Задание

Подобрать прямоугольное сечение сжато-изогнутого деревянного элемента. Исходные данные взять по варианту из табл. 4.1 и 2.1.

 

Таблица 4.1

Исходные данные

к заданию по подбору сечения сжато-изгибаемого элемента

 

Номер задания	Длина l, м	Расчётная поперечная нагрузка (нормативная - 70 % от расчётной)*	Расчётная сила сжатия N, кН	Предельная гибкость	Предельный относительный прогиб, [ f / l ]
q, кН/м	Р, кН
	5,0	-	3,61	37,20		1/250
	4,0	5,37	-	81,00		1/200
	3,5	7,26	-	149,57		1/250
	5,5	-	4,00	118,00		1/300
	4,6	5,40	-	95,80		1/250
	4,5	-	15,20	130,00		1/200
	4,3	7,20	-	131,00		1/300
	3,2	10,70	-	228,30		1/250
	4,0	8,40	-	84,37		1/200
	4,5	3,95	-	81,50		1/250
	4,0	-	5,12	37,20		1/300
	3,0	-	18,78	168,75		1/250
	4,5	-	15,20	131,25		1/200
	3,8	-	17,80	95,80		1/250
	4,4	4,96	-	97,00		1/200
	5,0	2,00	-	56,00		1/300
	4,0	-	10,75	149,50		1/300
	4,5	2,70	-	56,00		1/200
	2,9	-	20,40	157,50		1/250
	4,8	-	5,48	107,30		1/200
	5,2	3,00	-	95,60		1/200
	3,5	5,10	-	56,00		1/250
	4,0	7,66	-	196,80		1/300
	4,5	-	8,55	149,50		1/250
	3,5	10,50	-	123,70		1/200
	5,5	-	10,50	59,40		1/300

^* q – равномерно распределённая нагрузка; Р – сосредоточенная сила в середине пролёта

 

4.5. Пример расчёта

 

Исходные данные

Стержень из древесины лиственницы 2-го сорта длиной l = 5,5 м не имеет ослабления, и концы его закреплены шарнирно. На стержень от расчётных нагрузок действует продольная сжимающая сила N = 59,4 кН = 0,0594 МН и сосредоточенная сила в середине пролёта Р = 10,5 кН = 0,0105 МН в направлении большего размера сечения. Нормативная нагрузка составляет 70 % от расчётной. Условия эксплуатации конструкции: класс ответственности здания III; температурно-влажностный режим здания А1; установившаяся температура воздуха < 35^ºС; отношение постоянных и длительных нагрузок к полной > 0,8.

 

Решение

1. Подберём сечения по прочности. Задаёмся размерами сечения по сортаменту 0,15×0,25 м. Расчётное табличное значение сопротивление изгибу древесины сосны 2-го сорта = 15 МПа. Определяем значение расчётного сопротивления с учётом коэффициентов условий работы, породы и коэффициента надёжности по сроку службы.

МПа.

МПа.

Изгибающий момент от расчётной нагрузки

М = Pl / 4 =10,5·5,5 / 4 = 14,43 кН·м = 0,01443 МН·м.

Площадь и момент сопротивления сечения определяются по формулам:

F = bh = 0,15·0,25 = 0,0375 м²;

м³.

Расчётная длина и гибкость элемента в плоскости изгиба

l ₀ = 5,5 м;λ = l ₀/ 0,289 h = 5,5 / 0,289·0,25 = 76,1 < λ _пр = 150.

По формуле (4.3) определяем коэффициент

.

По формуле (4.4) определяем коэффициент

k_α = α_n+ ξ(i - α _n)= 1,22 + 0,788(1 – 1,22) = 1,047.

Момент с учётом деформаций

МН·м.

По формуле (4.1) проверяем условие прочности

МПа.

2. Проверка прочности и устойчивости из плоскости изгиба.

Расчётная длина, гибкость и коэффициент продольного изгиба следующие:

l _{0 y} = 5,5 м; λ _y = l_{0 y} / 0,289b = 5,5 / (0,289·0,15) = 126,8 > 70,

но < λ_пр = 150.

Так как λ _y > 70, то φ определяем по формуле (2.4)

φ _y = 3000 / (λ_y)² = 3000 / 126,8² = 0,187.

Проверяем элемент на устойчивость по формуле (2.2)

МПа.

3. Делаем расчёт на прочность по скалыванию.

Поперечная сила от опоры до места приложения сосредоточенной нагрузки равна Q = Р / 2 = 0,0105 / 2 = 0,00525 МН.

С учётом влияния продольной силы по формуле (4.5)определим Q _д = Q / ξ k _α=0,00525/(0,788·1,047) = 0,00636 МН.

Формула (3.2) для прямоугольного сечения примет вид

t = 1,5Q / (h·b _рас),

тогда

t = 1,5×0,00636 / (0,25×0,15) = 0,254 МПа < R_ск = 1,6 МПа.

4. Проверка прогиба.

Нормативная поперечная нагрузка по заданию равна

Рⁿ = 0,7 Р = 0,7×0,0105 = 0,00735 МН.

Модуль упругости Е = 10⁴ МПа.

Момент инерции I = bh ³ / 12 = 0,15·0,25³ / 12 = 19531·10^-8 м⁴.

Прогиб без учёта деформаций сдвига равен (табл.4, прил. 1):

м.

Прогиб с учётом деформаций сдвига только от поперечной нагрузки по определяем по формуле (3.5), в которой коэффициенты с и k приняты по табл. Е3 прил. Е [1].

м.

Для сжато-изогнутого элемента с учетом дополнительного прогиба от влияния продольной силы по формуле (4.6) получим значение относительного прогиба:

.