Другие законы распределения непрерывных случайных величин

 

Кроме нормального закона есть и другие случайные величины, часто встречающиеся в приложениях. Приведем некоторые из них.

Для равномерного закона плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

, ,

а числовые характеристики М(Х)= , D(X)= .

 

Для показательного закона плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

, ,

а числовые характеристики М(Х)= 1/a, D(X)= 1/a².

Эти формулы можно использовать при решении задач.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ № 5

Математическая статиcтика изучает массовые явления и процессы, ставя целью получение выводов по данным наблюдений за ними. В результате появляются утверждения об общих характеристиках таких явлений в предположении постоянства начальных условий явления. Теоретической основой математической статистики является теория вероятностей.

Поскольку число наблюдений конечно, их результаты можно записать в таблицу аналогично дискретной случайной величине, только в нижней строке не вероятности, а частоты тех или иных значений, а чаще – диапазонов. При этом при анализе такой таблицы нередко возникает предположение, что данная величина распределена по одному из известных непрерывных законов (см. комментарии к задаче № 4), чаще всего – нормальному (гауссовскому).

 

Типовой пример

 

Получены статистические данные (N=500) зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см.

 

Таблица 1

Статистические данные типового примера

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
X
Y

…………..

 

N	489	490	491	492	493	494	495	496	497	498	499	500
X
Y

 

Требуется:

1 часть.

1) произвести выборку из 200 значений;

2) построить эмпирическую функцию распределения, полигон, гистограмму для случайной величины Х;

3) построить точечные и интервальные оценки для мат. ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;

4) сделать статистическую проверку гипотезы о законе распределения случайной величины Х;

часть 2.

1) нанести на координатную плоскость данные выборки (x;y) и по виду корреляционного облака подобрать вид функции регрессии;

2) составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;

3) вычислить коэффициент корреляции;

4) получить уравнение регрессии;

 

Решение.

1) Произведём из генеральной совокупности N =500 выборку n =200 значений. Для этого воспользуемся таблицей случайных чисел (Приложение А). Выберите столбец, номер которого соответствует месяцу Вашего рождения. В этом столбце отсчитайте порядковый номер даты дня рождения. В полученном случайном числе определите номера ещё трёх столбцов. Для данного примера выбрана дата 31 декабря. В 12 столбце определили 31 номер случайного числа. Это число 0436. Значит выбранными будут столбцы №12;4;13;16. (№12 – месяц Вашего рождения, №4 – первая или вторая цифра в случайном числе, которая не использовалась, №13 – третья цифра в случайном числе +10, №16 – четвёртая цифра в случайном числе +10). Если цифры повторяются, то нужно взять со3седние номера. Например, случайное число во втором столбце - 4422. Нужно выбрать номера 2,4,12,13.

Для осуществления выборки берутся последние три цифры в случайном числе, которые определяют порядковый номер выборочного значения. Если в выборке встретился номер, которого нет в генеральной совокупности, то необходимо вычислить разность между этим числом и 500. Если полученный номер уже выбрали, то необходимо выбрать следующий за ним номер.

Для представленного примера получилась выборка:

 

Таблица 2

Выборочные данные X и Y

 

N	106	493	66	201	274	158	223	336	362	162	96	20
X
Y

 

N	288	251	257	152	279	478	86	439	368	203	271	395
X
Y

 

N	396	94	305	341	12	128	492	407	172	87	441	29
X
Y

 

N	140	59	70	453	487	447	105	232	95	456	80	225
X
Y

 

N	147	101	373	51	343	355	195	463	260	183	326	282
X
Y

 

N	139	483	399	467	266	372	356	290	241	273	450	329
X
Y

 

Продолжение таблицы 2

 

N	469	423	242	475	168	365	107	428	367	457	224	199
X
Y

 

N	404	363	192	109	429	60	13	291	400	337	100	187
X
Y

 

N	88	292	283	52	45	358	252	62	130	286	361	184
X
Y

 

N	79	371	378	419	307	56	374	169	43	298	239	145
X
Y

 

N	325	65	153	375	9	340	142	193	261	116	26	253
X
Y

 

N	61	202	440	21	200	221	332	275	287	108	468	103
X
Y

 

N	240	110	424	414	296	284	83	435	81	54	397	134
X
Y

 

N	303	430	34	144	277	451	179	472	342	293	327	448
X
Y

 

N	154	438	297	219	196	204	230	258	262	213	89	357
X
Y

 

N

X

Y

 

N	98	126	265	443	82	110	432	479
X
Y

Составим ранжированный (по увеличению) ряд для случайной величины Х.

Таблица 3

Ранжированный ряд случайной величины Х

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

 

Окончание таблицы 3

 

X

Y

 

X

Y

 

X
Y

Cоставим новую таблицу, в которой отразим частоты появления случайных величин и относительные частоты .

Таблица 4