Биномиальный и пуассоновский законы распределения

Биномиальное распределение связано с повторными независимыми испытаниями и формулой Бернулли. Оно задается фиксированным числом испытаний n и вероятностью «успеха» в одном испытании p. Отличительные черты биномиального эксперимента:

1. все n испытаний абсолютно одинаковы;

2. результаты разных испытаний не зависят друг от друга;

3. для каждого испытания возможны только два исхода: «успех» и «неудача»; «успех» ‑ когда интересующее нас событие появилось, и «неудача», ‑ когда не появилось;

4. для каждого испытания вероятность появления «успеха» постоянна и равна p.

Число «успехов» в n независимых испытаниях будет случайной величиной X, распределенной по биномиальному закону. Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по биномиальному закону примет значение k, вычисляется по известной формуле Бернулли:

Ряд распределения X принимает вид:

 

Числовые характеристики биномиального распределения.

1. математическое ожидание равно произведению числа испытаний n на вероятность «успеха» в одном испытании p: М(Х)= np;

2. дисперсия равна произведению числа испытаний n на вероятность «успеха» в одном испытании p и на вероятность «неудачи» q: D(X)= npq.

 

Распределение Пуассона.

Приведем примеры, приводящие к случайным величинам, распределенным по закону Пуассона:

· Автоматическая телефонная станция получает в среднем за минуту а вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит ровно m вызовов? Случайное число вызовов за данную минуту распределено по закону Пуассона.

· Автодорожная инспекция регистрирует количество аврий за неделю на определенном участке дороги. Какова вероятность того, что в течение данной недели произойдет ровно m дорожных аварий? Случайное число аварий за неделю распределено по закону Пуассона.

Аналогичные примеры можно привести не только для временных интервалов (минута, неделя), но и при учете дефектов дорожного покрытия на километр пути или опечаток на страницу текста.

Отличительные черты эксперимента, приводящего к распределению Пуассона (на примере временных интервалов):

1. каждый малый интервал времени может рассматриваться как испытание, результатом которого служит либо «успех» - поступление телефонного вызова, либо «неудача». Интервалы столь малы, что может быть только один «успех» в одном интервале, вероятность которого мала и неизменна.

2. Число «успехов» в одном большом интервале не зависит от их числа в другом. То есть попадание «успехов» в неперекрывающиеся интервалы – события независимые, и «успехи» беспорядочно разбросаны по временным промежуткам;

3. среднее число «успехов» в большом интервале для разных интервалов постоянно на протяжении всего времени.

Число «успехов» на заданном интервале будет случайной величиной, распределенной по закону Пуассона. Случайное число аварий за неделю может принимать значения 0, 1, 2, 3, … (верхнего предела нет). Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по закону Пуассона примет значение m, вычисляется по известной формуле Пуассона:

, m = 0, 1, 2, …