Тематика заданий текущего контроля

1.Вычисление вероятности случайного события.

2. Вычисление вероятности попадания СВ в интервал, нахождение числовых характеристик СВ.

3.Исследование независимости и некоррелированности компонент случайного вектора.

4. Нахождение частных распределений компонент случайного вектора.

5. Нахождение условных распределений компонент вектора.

6. Вычисление условного математического ожидания и условной ковариационной матрицы подвектора гауссовского вектора.

7. Вычисление вероятности попадания многомерной СВ в заданную область.

8. Нахождение распределения случайной величины, являющейся функциональным преобразованием заданной СВ.

9. Выявление случайных последовательностей, удовлетворяющих закону больших чисел, усиленному закону больших чисел.

10. Применение центральной предельной теоремы.

11. Построение точечных оценок параметров.

12. Исследование свойств статистических оценок.

13. Построение гистограммы, эмпирической функции распределения.

14. Построение интервальных оценок параметров.

15. Проверка гипотезы о виде распределения СВ.

16. Проверка равенства средних двух гауссовских СВ.

17.Проверка равенства дисперсий двух гауссовских СВ.

18. Проверка гипотезы о некоррелированности двух СВ.

19. Проверка гипотезы о независимости двух СВ.

20. Построение МНК-оценок параметров линей регрессии.

21. Вычисление моментных характеристик случайных процессов.

22. Исследование стационарности случайного процесса.

 

Вариант домашнего задания

ЗАДАЧА 1. На 2-м этаже в лифт вошли 6 человек. От 3-го до 11-го этажа лифт может остановиться на любом этаже. Какова вероятность того, что все пассажиры вышли на разных этажах, если всевозможные варианты выхода пассажиров равновероятны?

 

ЗАДАЧА 2. На склад поступает продукция трех заводов, причем от первого завода поступает 20%, от второго - 46%, от третьего - 34% всей продукции. Известно, что нестандартная продукция на каждом заводе составляет в среднем 3%, 2%, 1%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие, оказавшееся нестандартным, изготовлено на первом заводе.

ЗАДАЧА 3. Случайная величина Х подчиняется распределению Релея:

 

Найти плотность распределения вероятностей случайной величины Y= .

 

ЗАДАЧА 4. Математическое ожидание числа солнечных дней в году для определенной местности равно 150 дням. Найти вероятность того, что в данном году здесь будет не менее 200 солнечных дней. Как изменится искомая вероятность, если будет известно, что среднее квадратичное отклонение числа солнечных дней равно 10?

 

ЗАДАЧА 5. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и ковариационной матрицей: .

Найти: . ; ; .

ЗАДАЧА 6. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка измерения которого равна 0, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратичным отклонением 10м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с абсолютной погрешностью не более 5м при доверительной вероятности 90%?

 

ЗАДАЧА 7. Давление в камере контролируется по двум манометрам. Для сравнения точности этих приборов одновременно фиксируются их показания. По результатам 10 замеров выборочные оценки (в единицах шкалы приборов) оказались следующими: =1573; =1671; =0,72; =0,15. Используя односторонний критерий, проверить на уровне значимости =0,1 гипотезу о равенстве дисперсий. Распределение контролируемого признака является гауссовским.

 

ЗАДАЧА 8. Для заданной выборки:

1) постройте вариационный ряд и эмпирическую функцию распределения;

2) найдите значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии;

3) постройте гистограмму на 10-ти интервалах;

4) на основе анализа результатов наблюдений выдвинете гипотезу о виде закона распределения генеральной совокупности;

5) проверьте гипотезу о виде распределения совокупности с помощью критерия Пирсона.

При производстве ЧИПов их выводы устанавливаются автоматически; изогнутость выводов является важным показателем при сборке готовой продукции.

Данные измерения изогнутости выводов ЧИПов, мм.

								II

 

 

ЗАДАЧА 9. Средняя стоимость лечения одного пациента-льготника с диагнозом «дуоденит» составляет (в рублях на ноябрь 2007 года):

 

Дальневосточный федеральный округ	Приволжский федеральный округ
Амурская обл. 245,61	Кировская обл. 196,27
Еврейская АО 101,45	Оренбургская обл. 309,79
Камчатская обл. 202,84	Пензенская обл. 271,76
Корякский АО 327,63	Пермская обл. 329,58
Магаданская обл. 144,5	Башкортостан 233,49
Приморский край 458,81	Марий-Эл 298,24
	Мордовия 311,6
	Татарстан 284,03
	Чувашия 405,5

 

Одинакова ли средняя стоимость лечения льготников в Дальневосточном и Приволжском федеральных округах? Проверьте гипотезу о равенстве средних, считая, что: а) выборки имеют гауссовское распределение, б) распределение выборок неизвестно.

 

ЗАДАЧА 10. Проведен социологический опрос 655 человек. Каждый из опрошенных отвечал на два вопроса. Вопрос А: «Удовлетворены ли Вы своим образом жизни?» (варианты ответов: да, нет). Вопрос В: «Каково Ваше материальное положение?» (варианты ответов: плохое, ниже среднего, среднее, выше среднего, хорошее. Результаты опроса сведены в следующую таблицу:

 

B A	плохое	ниже среднего	среднее	выше среднего	хорошее
Нет
Да

 

Имеется ли зависимость между материальным положением (признак В) и удовлетворенностью образом жизни (признак А)?

 

ЗАДАЧА 11. В таблице представлены данные за 1997 год показателей X (индекс человеческого развития) и Y (суточная калорийность питания населения, ккал на душу) для следующих стран: Австрия, Аргентина, Великобритания, Германия, Египет, Норвегия, Украина, Республика Корея, ЮАР, США.

X	0.904	0.827	0.918	0.906	0.616	0.927	0.721	0.852	0.695	0.927
Y

Оцените коэффициент корреляции между показателями X и Y.

Являются ли показатели X и Y зависимыми?

 

ЗАДАЧА 12. Используя данные предыдущей задачи, оцените по методу наименьших квадратов коэффициенты линейной регрессии вида .

 

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Раздел 1.

1.Дайте классическое и аксиоматическое определение вероятности.

2. Что такое алгебра событий?

3. Какие случайные события называются независимыми?

4. Сформулируйте теорему сложения и теорему умножения вероятностей.

5. Что такое полная группа событий?

6. Сформулируйте теорему Байеса.

7. Чему равно наиболее вероятное число «успехов» в схеме испытаний Бернулли?

Раздел 2.

1. Что такое случайная величина?

2. Определите функцию распределения случайной величины (СВ).

3. Какие типы распределений случайных величин вы знаете?

4. Что такое математическое ожидание случайной величины (СВ)?

5. Какие свойства математического ожидания вы знаете?

6. Приведите пример СВ, у которой нет математического ожидания.

7. Что такое дисперсия?

8. Докажите основные свойства дисперсии.

9. Сформулируйте характеристическое свойство экспоненциальной СВ.

10. Как вычислять вероятность попадания СВ в заданный интервал?

Раздел 3.

1. Дайте определение функции распределения многомерной СВ.

2. Как зная распределение многомерной СВ, найти распределения её компонент?

3. Каковы основные числовые характеристики случайного вектора?

4. Что такое ковариация двух СВ? Какова её размерность?

5. Что такое коэффициент корреляции? Каковы его основные свойства?

6. Что характеризует коэффициент корреляции?

7. Дайте определение независимых СВ.

8. Верно ли утверждение о том, что из некоррелированности СВ следует их независимость?

9. Какое распределение имеет СВ, которая является суммой двух гауссовских СВ?

Раздел 4.

1. Определите различные типы сходимости СВ.

2. Верно ли, что из сходимости в среднем квадратическом следует сходимость по вероятности?

3. Приведите пример случайной последовательности, которая сходится почти наверное, но не сходится в среднем квадратическом.

4. Докажите неравенство Чебышёва.

5. Сформулируйте ЦПТ.

6. Какое распределение будет иметь количество успешных опытов в схеме испытаний Бернулли, если количество испытаний очень велико?

7. К какой величине будет сходиться по вероятности частота случайного события?

Раздел 5.

1.Что такое оценка параметра?

2. Какие свойства параметрических оценок вы знаете?

3. Верно ли, что эффективная по Рао- Крамеру оценка является несмещённой?

4. К какой функции будет сходиться эмпирическая функция распределения при увеличении объёма выборки?

5. Дана реализация выборки: 5; 2; 4; 1;8; 4. Какой ранг имеет третий элемент этой выборки?

6.Эмпирическим аналогом какой функции является гистограмма?

7. Опишите различные методы точечного оценивания параметров.

8. Каким свойством обладают ОМП?

9. Определите интервальную оценку параметра.

10. Какую функцию называют центральной статистикой?

11. Опишите связь распределений хи-квадрат, Стьюдента и Фишера с гауссовским распределением.

Раздел 6.

1. Что такое статистическая гипотеза?

2. В чем состоят ошибки I и II рода?

3. Дайте определение функции мощности статистического критерия.

4. Дайте определение квантили. Чему равна 0,05-квантиль стандартного гауссовского распределения, если 0,95-квантиль этого распределения равна 1,65?

5.Каков порядок проверки параметрических статистических гипотез?

6. Опишите условия применимости классических и ранговых критериев для проверки гипотезы об однородности.

7. Какие преимущества и какие недостатки имеют ранговые критерии по сравнению с классическими?

8. Как проверить гипотезу о некоррелированности признаков?

9. В каком случае проверка некоррелированности наблюдений эквивалентна проверке независимости?

10. Как проверить гипотезу о независимости двух СВ?

Раздел 7.

1. В чем состоит задача линейной регрессии?

2. В чем состоит идея метода наименьших квадратов (МНК)?

3. Какие методы оценивания параметров регрессии вам известны?

4. Какими свойствами обладает МНК-оценка параметров регрессии?

5. Какие критерии проверки адекватности регрессионной модели вы знаете?

 

9.3 Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

Вариант билета контрольной работы №1

1. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюёт с вероятностью 0.8; на втором месте – с вероятностью 0.7; на третьем – с вероятностью 0.6. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

2. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Какова вероятность того, что все они выйдут на разных этажах?

3. Для поражения объекта достаточно одного попадания бомбы. Для бомбометания вылетели 4 самолёта, каждый из них несёт по одной бомбе. Вероятности попадания в цель этими самолётами равны соответственно 0,9, 0,8, 0,7, 0,6. Найти вероятность поражения объекта.

4. В семье пять детей. Какова вероятность того, что среди них не менее двух девочек, если известно, что вероятность рождения девочки равна 0,48?

5. а) События А и В совместны. Совместны ли события и А+В?

б) В колоде 36 карт. Из неё вытаскивают наугад одну карту и с ней связывают два события: А={эта карта - дама}, В= {эта карта – бубновой масти}. Являются ли события А и В зависимыми? Являются ли события А и В совместными? Ответ обосновать.

 

 

Вариант билета контрольной работы №2

1. Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2. Случайная величина имеет плотность распределения

Найти константу с, функцию распределения случайной величины , математическое ожидание и дисперсию случайной величины , вычислить вероятность .

3. Случайная величина имеет распределение . Найти плотность распределения случайной величины .

4. Станок-автомат изготавливает валики. Контролируется диаметр валика , удовлетворительно описываемый гауссовским законом распределения со средним значением 10 мм. Чему равно среднеквадратическое отклонение диаметра валика, если с вероятностью 0.99 диаметр заключён в интервале (9,7; 10,3). Найдите 0.99- квантиль СВ .

5. Найти квантиль уровня 0.45 для СВ , имеющей распределение .

 

 

Вариант билета экзаменационной работы второго модуля.

 

1 (2 балла). Случайный вектор имеет функцию распределения

Найти математическое ожидание и ковариационную матрицу вектора , исследовать случайные величины и на независимость и некоррелированность. Найти вероятность попадания в область .

2 (2 балла).. Случайная величина имеет распределение , а случайная величина - распределение . СВ и независимы. Найти плотность распределения СВ .

 

3. (2 балла). Плотность распределения случайного вектора имеет вид

Найти , . Вычислить , если .

4. (3 балла) Случайный вектор распределен равномерно внутри треугольника

Найти условную плотность случайной величины при условии и построить её график. Вычислить , . Исследовать и на независимость и некоррелированность.

5. (1 балл). Случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром p. Найти характеристическую функцию СВ .

 

Вариант билета контрольной работы в модуле №3.

1. В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах с вероятностью 0,99 будет находиться количество деталей отличного качества, если взять 10000 деталей? Построить оценку с помощью неравенства Чебышёва и по теореме Муавра- Лапласа.

2. Пусть элементы последовательности при каждом имеют плотность распределения вероятностей . Докажите, что при сходится по вероятности к нулю, но не сходится к нулю в среднем квадратическом.

3. Пусть имеется выборка . Является ли оценка несмещённой оценкой дисперсии? Является ли эта оценка состоятельной оценкой дисперсии? Докажите.

4. Интеграл вычисляется методом Монте-Карло. Сколько независимых опытов надо произвести, чтобы с вероятностью 0.98 абсолютная погрешность вычисления не превысила 0.01?

5. Выборка соответствует распределению Релея, плотность которого имеет вид

Найдите оценку максимального правдоподобия параметра . Докажите несмещённость и состоятельность этой оценки.

 

Вариант экзаменационного билета

1. Получена реализация 2,3; 1,96; 2.05; 2,15; 1,98; 1,96 нормально распределённой случайной величины. Постройте центральный доверительный интервал для математического ожидания этой величины уровня надёжности 0,95.

2. Произведена выборка 10 изделий, изготовленных станком А. Выборочное среднее контролируемого размера изделия оказалось равным 142,3 см, несмещённая выборочная дисперсия 2,7. Из продукции станка В, производящего такие же изделия, случайным образом выбрали 8 изделий. В этой выборке выборочное среднее равно 145,3 см, а несмещённая выборочная дисперсия 3,2. Можно ли считать, опираясь на эти данные, что изделия, производимые станком В, имеют в среднем больший размер, чем изделия, производимые станком А. Уровень значимости принять равным 0.1. Предполагается, что все наблюдения имеют гауссовское распределение.

3. В результате проведенного исследования было установлено, что у 309 светлоглазых мужчин жены также имеют светлые глаза, а у 214 светлоглазых мужчин жены темноглазые. У 119 темноглазых мужчин жены также темноглазые, а у 132 темноглазых мужчин жены светлоглазые. Имеется ли зависимость между цветом глаз мужей и их жен?

4. Выборка соответствует биномиальному распределению Bi(5;θ). Доказать, что является эффективной оценкой параметра θ.

5. Анализируется прибыль Y (млн. $) в зависимости от расходов X (млн. $) на рекламу. Данные наблюдений за 4 года приведены в таблице.

X	0,8	2,5	4,0	5,7
Y

Предполагается, что , где имеет нормальное распределение N(0; 2.25). Оценить по методу наименьших квадратов коэффициенты линейной регрессии и найти распределение МНК-оценки параметра .