На основе моделей кривых роста

Задание: для зависимой переменной Y(t) построить линейную модель, параметры модели оценить с помощью метода наименьших квадратов. Оценить качество построенной модели (провести исследования адекватности и точности модели).

Таблица 15 – Варианты заданий

Номер варианта	Значения Y(t) при t

 

Порядок выполнения работы:

Для отражения тенденции изменения исследуемого показателя воспользуемся простейшей моделью вида:

Y_p(t) = a₀ + a₁ t (t = 1,2,...,N). (4)

Параметры кривой роста оцениваются по методу наименьших квадратов (МНК).

Для линейной модели:

 

a₁ = Σ [ (t - t_ср) (Y(t) - Y_ср) ] / Σ (t - t_ср)²,

(5)

a₀ = Y_ср - a₁ t_ср,

где t_ср - среднее значение фактора времени; Y_ср - среднее значение исследуемого показателя.

Примечание:

В Excel математическое ожидание (среднее значение) определяется с помощью функции СРЗНАЧ (значения чисел) в категории Статистические.

Среднее квадратическое отклонение, обозначаемое σ[x], определяет разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. В Excel эта величина называется стандартное отклонение - СТАНДОТКЛОН (значения чисел) по зависимости:

 

σ [x] = (6)

Пример: по данным о сданных в эксплуатацию жилых домах в регионе (за счет всех источников финансирования), тыс. кв. м общей площади за девять месяцев, построить линейную модель.

 

Таблица 16 - Оценка параметров уравнения прямой

t	Факт Y(t)	(t - tср)	(t - tср)2	Yt - Ycp	(t - tср) (Yt - Ycp)	Расчет Yp(t)	Отклонение E(t)
		-4		-31		27,2	-2,2
		-3		-22		34,4	-0,4
		-2		-14		41,6	0,4
		-1		-5		48,8	2,2
				-1		56,0	-1,0
						63,2	3,8
						70,4	2,6
						77,6	-1,6
						84,8	-3,8

 

Y_cp = 56; t_cp = 5

a₁ = 7,2

a₀ = 20,0

Таким образом линейная модель имеет вид:

Y_p(t) = 20,0 + 7,2 t (t = 1,2,...,9). (7)

Отклонения расчетных значений от фактических наблюдений вычисляются как:

E(t) = Y(t) - Y_p(t), t = 1,2,...,9. (8)

Оценить качество модели, исследовав ее адекватность и точность.

Качество модели определяется ее адекватностью исследуемому процессу, которая характеризуется выполнением определенных статистических свойств, и точностью, т.е. степенью близости к фактическим данным. Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

Модель является адекватной, если ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения и равенства нулю средней ошибки.

Результаты исследования адекватности отражены в таблице 17.

 

Таблица 17 - Оценка адекватности модели

t	Отклонение E(t)	Точки поворота	E(t)2	E(t)-E(t+1)	[ E(t)-E(t+1) ]	E(t)* E(t+1)	[ E(t) ]:Y(t)*100
	-2,2	-	4,84	-1,8	3,24	0,88	8,8
	-0,4		0,16	-0,8	0,64	-0,16	1,2
	0,4		0,16	-1,8	3,24	0,88	1,0
	2,2		4,84	3,2	10,24	-2,20	4,3
	-1,0		1,00	-4,8	23,04	-3,80	1,8
	3,8		14,44	1,2	1,44	9,88	5,7
	2,6		6,76	4,2	17,64	-4,16	3,6
	-1,6		2,56	2,2	4,84	6,08	2,1
	-3,8	-	14,44	-	-	-	4,7
(Σ)			49,2	-	64,32	7,40	33,2

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек “р”. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

 

р > [ 2 (N - 2) /3 - 2 ]. (9)

 

Квадратные скобки здесь означают, что от результата вычислений берется целая часть числа (не путать с процедурой округления!). При N=9 в правой части неравенства имеем: [2,4] = 2. Следовательно, свойство случайности выполняется.

При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d-критерия Дарбина - Уотсона, в соответствии с которым определяется коэффициент d:

d = . (10)

 

Вычисленная величина этого критерия сравнивается с двумя табличными уровнями (нижним d₁ и верхним d₂).

Если 0 < d < d₁ - то уровни остатков сильно автокоррелированы, а модель неадеквата;

d₂ < d < 2 - то уровни ряда являются независимыми;

d > 2 - то это свидетельствует об отрицательной корреляции и перед входом в таблицу необходимо выполнить преобразование: d^’ = 4 - d;

d₁ < d < d₂ - то однозначного вывода сделать нельзя и необходимо применение других критериев, например, первого коэффициента автокорреляции r(1), который вычисляется по формуле:

 

(11)

.

 

Если ε r(1) ε > r (табл.) (при N < 15r (табл) = 0,36), то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается.

В нашем примере d = 1,31.

Для линейной модели при 9-ти наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08и d₂ = 1,36.

Так как рассчитанная величина попала в зону между d₁, d₂, то однозначного вывода сделать нельзя и необходимо применение других критериев.

Воспользуемся первым коэффициентом автокорреляции:

r(1) = 7,40 / 25,56 = 0,29.

Следовательно, по этому критерию также подтверждается выполнение свойства независимости уровней остаточной компоненты.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS- критерия:

RS = (E_max - E_min) / S, (12)

 

где E_max - максимальный уровень ряда остатков; E_{min -} минимальный уровень ряда остатков; S - среднее квадратическое отклонение.

Если значение этого критерия попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. Для N= 10 и 5%-го уровня значимости этот интервал равен (2,7 - 3,7).

В нашем примере: E_max = 3,8 и E_min = -3,8.

S = (13)

RS = 4,17

Расчетное значение не попадает в интервал. Следовательно, свойство нормальности распределения не выполняется, что не позволяет строить доверительный интервал прогноза.

Для характеристики точности воспользуемся среднеквадратическим отклонением и средней относительной ошибкой:

Е_отн = 1/ N  (14)

Ее величина менее 5% свидетельствует об удовлетворительном уровне точности модели (ошибка в 10 и более процентов является очень большой).

Точечный прогноз на k шагов вперед получается путем подстановки в модель параметра t= N+1,..., N+k. При прогнозировании на два шага имеем:

Y_p(10) = 20,0 + 7,2  10 = 92,0 (k=1, t = 10) (15)

Y_p(11) = 20,0 + 7,2 *11 = 99,2 (k=2, t = 11) (16)

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза = Y_p(N+k) + U(k).

Нижняя граница прогноза = Y_p(N+k) - U(k).

Величина U(k) для линейной модели имеет вид:

U(k) = S K_p . (17)

Коэффициент K_p является табличным значением t -статистики Стьюдента. Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равный 70%, то K_p = 1,05.

U(1) = 1,82 1,05 . (18)

U(2) = 1,82 *1,05 . (19)

 

Таблица 18 - Прогнозные оценки по линейной модели

Время t	Шаг k	Прогноз Yp(t)	Нижняя граница	Верхняя граница
		92,0	89,6	94,4
		99,2	96,7	101,7

 

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами. В нашем случае такое утверждение не совсем правомерно из-за неполной адекватности модели.