РГР - 5 Силовий аналіз плоского важільного механізму

Умова завдання. В таблиці 5 представлені кінематичні схеми механізмів з позначеним навантаженням ланок. Сила Р _i прикладена в точці D i -тої ланки. На ланку 3 діє момент сил М₃ і сила ваги G₃, прикладена в центрі ваги S₃ цієї ланки.

Задані величини: Р₂ = Р₃ = 100 Н, М₃ = 15 Н·м, G₃ = 80 Н,

Розміри ланок: .

 

Визначити. 1) Реакції в кінематичних парах і урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом планів сил. 2) Урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом Жуковського.

 

Таблиця 5

Таблиця 5 (продовження)

Таблиця 5 (продовження)

Таблиця 5 (продовження)

Приклад розв’язання РГР - 5

 

Задано кінематичну схему плоского важільного механізму з позначеним навантаженням ланок (рис.5.1).

 

 

Рис.5.1

Дано: Р2 = 100 Н, М3 = 15 Н·м, G3 = 80 Н.   Визначити: 1) Реакції в кінематичних парах і урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом планів сил. 2) Урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом М.Є.Жуковського.

 

Розв'язок

1. Побудуємо кінематичну схему механізму в умовному масштабі (рис.5.2,а). На схемі покажемо задані сили , а також момент

М₃ , що діє на ланку 3. Урівноважуючий момент, який визначається, прикладемо (згідно умови) до ведучої ланки ОА, спрямувавши його у довільному напрямі. Силовий розрахунок механізму виконаємо без урахування сил і моментів сил інерції Даламбера.[1]

 

Обидва запропоновані в умові методи розв’язку завдання потребують певних дій з силами. Тому при розгляданні рівноваги механізму або його окремих частин моменти сил, що прикладені до ланок, треба заміняти відповідними парами сил.

 

2. Визначення реакцій в кінематичних парах механізму і урівноважуючого моменту методом планів сил.

 

При розв’язку задачі методом планів сил, механізм умовно роз’єд-нують на структурні групи Ассура і механізм I-го класу. У нашому випадку маємо формулу будови механізму: I (0,1) → II (2,3).

Силовий розрахунок починають з кінця механізму. Для нашого механізму це означає, що спочатку треба розглянути рівновагу структурної групи (2,3), а за цим – рівновагу ведучої ланки 1. Зробимо ці кроки послідовно.

Рівновага структурної групи (2,3).

 

Побудуємо групу Ассура (2,3) в довільному масштабі (рис.5.2,б). Прикладемо до неї сили і . Момент М₃ заміняємо парою сил . Ці сили прикладемо на кінцях ланки 3 (в точках В і С), перпендикулярно до ланки 3 і у напрямі дії моменту М₃. Модулі сил пари дорівнюють:

Н (5.1)

 

В кінцевих шарнірах А і С прикладемо сили реакцій, що діють на ланки 2 і 3 з боку інших ланок механізму. В шарнірі А силу (сила, що діє на ланку 2 з боку ланки 1) розкладемо на складові: нормальну і тангенціальну . В шарнірі С силу (сила, що діє на ланку 3 з боку ланки 0) також зобразимо у вигляді суми нормальної і тангенціальної складових. Напрямок складових невідомих реакцій приймаємо довільно.

Система сил, що діє на групу (2,3), є плоскою урівноваженою.

 

Для визначення невідомих сил застосуємо умови рівноваги плоскої системи сил у вигляді рівнянь:

 

(5.2)

 

де - головний вектор системи сил в площині дії сил;

- алгебраїчне значення головного моменту системи сил в площині їх дії, відносно будь-якого центру О.

 

З першої умови в (5.2) маємо рівняння рівноваги сил, прикладених до групи (2,3):

 

(5.3)

 

В цьому рівнянні двома рисками позначені вектори, в яких напрямок і величина є відомими. Вектори, в яких відомий тільки напрямок, позначені однією рискою. Отже рівняння (5.3) має 4 невідомих параметри, що свідчить про неможливість його розв’язання шляхом графічних побудов. Цієї проблеми можна уникнути, якщо величини складових і знайти аналітично, використовуючи рівняння моментів в умові (5.2).

Для визначення складаємо рівняння рівноваги моментів сил, що діють на ланку 2, відносно внутрішнього шарніру В:

 

(5.4)

 

Тоді Н.

Складову визначимо з рівняння рівноваги моментів сил, що діють на ланку 3, відносно того ж внутрішнього шарніру В:

 

(5.5)

 

З цього маємо Н.

Тепер складові і можуть бути знайдені графічним шляхом за допомогою побудови плану сил групи (2,3) (рис.5.2,в). Для цього, у відповідності до рівняння (5.3), побудуємо векторний многокутник сил. Приймаємо масштабний коефіцієнт побудов на плані - Н/мм.

Довжину відрізків, що зображують сили, визначимо за формулами:

(5.6)

 

 

Побудову силового многокутника проводимо в такій послідовності.

З довільної точки а відкладаємо відрізок ав, який зображує в масштабі реакцію . Далі послідовно відкладаємо сили (відрізок вс), (відрізок сd) і (відрізок de). Нормальні складові реакцій (відрізок fa) і (відрізок ef) отримаємо графічно, на перетині прямих, проведених з точок а і е у напрямку векторів і . Величини цих сил знайдемо після вимірювання відрізків fa і ef і подальшого помноження їх довжин на масштаб .

(5.7)

 

Повні реакції в кінематичних парах А і С знайдемо за формулами:

 

Н; (5.8)

Н (5.9)

Для визначення реакції запишемо рівняння рівноваги сил, прикладених до ланки 2:

(5.10)

 

З плану сил (рис.5.2, в) видно, що відрізок сf відповідає реакції . Величина цієї реакції дорівнює:

Н (5.11)

Цю ж силу можна було визначити інакше, а саме, розглянувши рівновагу ланки 3. Тоді з рівняння рівноваги і плану сил для ланки 3 отримали би Н, причому .

 

 

Зауваження 1.

 

Слід зазначити, що нормальні складові реакцій в шарнірах А і С можна знайти не лише графічним способом. Прийнятними для цього можуть бути також графоаналітичний або аналітичний методи. Для прикладу, розглянемо визначення і за допомогою аналітичних рівнянь рівноваги моментів.

 

Складову визначимо з рівняння моментів сил, що діють на групу відносно точки С.

(5.12)

 

Складову визначимо з рівняння моментів сил, що діють на групу відносно точки А.

(5.13)

 

 

Як бачимо, результати, отримані аналітично, збігаються з попередніми результатами, що визначені за методом планів сил.

Рівновага ведучої ланки ОА.

 

Побудуємо кінематичну схему ведучої ланки ОА при заданому положенні механізму (рис.5.2,г). Покажемо сили, що діють на неї. В точці А з боку ланки 2 діє сила , величина и напрямок якої є відомими. (Іноді, замість сили можна зображати її складові, величина і напрямок котрих теж відомі.) Урівноважуючий момент М_УР заміняємо парою сил , прикладеною до точок О і А, перпендикулярно до ланки ОА і у напрямку М_УР. В шарнірі О зображуємо силу реакції , розклавши її на відповідні складові: нормальну і тангенціальну . Прикладена до ланки ОА система сил є плоскою урівноваженою.

 

З урахуванням (5.2) складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до ланки ОА.

 

(5.14)

 

Невідомі величини і знайдемо с плану сил (рис.5.2,д), побудованому в масштабі Н/мм. Для цього визначаємо довжину відрізків, що зображують відомі сили.

(5.15)

Побудову плану сил проводимо в такій послідовності. З довільної точки а відкладаємо відрізок ав, який зображає в масштабі силу . Далі відкладаємо силу (відрізок вс). Невідомі за величиною сили (відрізок сd) і (відрізок da) знаходимо графічно, на перетині прямих, проведених з точок а і с у напряму відповідних зусиль. Далі, складові реакції в шарнірі О знаходимо після вимірювання відрізків сd і da і помноження їх довжин на масштаб .

 

(5.16)

Тоді повна реакція :

 

Н (5.17)

 

Реакції в кінематичних парах знайдені.

 

 

Урівноважуючий момент М_УР можна визначити, якщо знайти хоча б одну з сил, що складають пару (рис.5.2,г). Для цього розглянемо рівняння рівноваги моментів сил, прикладених до ланки ОА, відносно точки А.

(5.18)

З цього рівняння маємо:

Н

Тоді Нм

 

Зауваження 2.

 

Урівноважуючий момент можна знайти значно простіше, якщо розглянути рівновагу моментів сил, прикладених до ланки ОА, відносно точки О.

(5.19)

Н∙м

 

Складову можна визначити аналітично з рівняння моментів сил, що діють на ланку відносно точки Е.

(5.20)

Звідки Н ≈ 18 Н.

Результати розрахунків збігаються з отриманими раніше.

 

3. Визначення урівноважуючого моменту методом М.Є.Жуковського.

 

 

Визначимо урівноважуючий момент за методом важеля Жуковського. Для цього будуємо в довільному масштабі повернутий на 90° план швидкостей (рис.5.2,е). На ньому, використовуючи теорему подібності, знаходимо положення точок а, в, с, d, S₃,, що є точками прикладання сил на плані механізму.

Переносимо всі сили паралельно до самих себе від механізму до плану швидкостей, прикладаючи їх у відповідних точках.

Складаємо рівняння моментів сил відносно полюса плану швидкостей.

. (5.21)

З плану швидкостей видно, що

 

 

Тоді

 

 

Цей результат збігається із значенням Р_УР, визначеним методом моментів.

Н·м. (5.22)

Рис.5.2