Переходя к анализу модели межотраслевого баланса, необходимо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица Ав целом может быть названа неотрицательной: А > 0. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы Аменьше единицы: 
<1.
Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков; таким образом, вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов и называется неотрицательным: X 
0. Встает вопрос, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.
Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X 0, что
Х>АХ. (3.11)
Очевидно, что условие (3.11) означает существование положительного вектора конечной продукции У>0 для модели межотраслевого баланса (3.6).
Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат Абыла продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:
1) матрица (Е -А)неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица
(Е - А) 
0;
2) матричный ряд 
сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А) ;
3) наибольшее по модулю собственное значение 
матрицы А,то есть решение характеристического уравнения 
, строго меньше единицы;
4) все главные миноры матрицы (Е - А),т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.
Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы Аявляется ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы Ав каждом столбце. Если норма матрицы Астрого меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица Аможет оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.
Наибольший по модулю корень характеристического уравнения,
приведенного в условии 3) продуктивности матрицы А (обозначим его через 
), может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а следовательно, величина 1- характеризует остаток после затрат, т.е. продуктивность. Чем больше 1 - , тем больше возможности достижения других целей, кроме текущего производственного потребления. Другими словами, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А,тем больше наибольшее по модулю собственное значение и ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов
матрицы А,тем меньше наибольшее по модулю собственное значение и выше продуктивность.
Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных материальных затрат, т.е. матрицы В=(Е - А) . Согласно определению 2 из предыдущего параграфа коэффициент этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Дадим другое определение коэффициента полных материальных затрат исходя из того, что кроме прямых затрат существуют косвенные затраты той или иной продукции при производстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой «руда-чугун-сталь-прокат». Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т. д. В связи со сказанным выше имеет место следующее определение.
Определение 3. Коэффициентом полных материальных затрат 
называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если коэффициент косвенных материальных затрат k-гo порядка обозначить через 
то имеет место формула
, (3.12)
а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов полных материальных затрат С= и матрицы коэффициентов косвенных материальных затрат различных порядков 
=(), то поэлементную формулу (3.12) можно записать в более общем матричном виде: 
(3.13)
Исходя из содержательного смысла коэффициентов косвенных материальных затрат можно записать ряд матричных соотношений:
; 
;
,
с использованием которых матричная формула (3.13) может быть переписана в следующем виде:
(3.14)
Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А является продуктивной, то из условия 2) продуктивности существует матрица В=(Е - А) , являющаяся суммой сходящегося матричного ряда:
В=(Е - А) = . (3.15)
Из сопоставления соотношений (3.14) и (3.15) устанавливается следующая связь между двумя матрицами коэффициентов полных материальных затрат:
В=Е+С,
или, в поэлементной записи:
Данная связь определяет экономический смысл различия между коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэффициентов матрицы С, учитывающих только затраты на
производство продукции, коэффициенты матрицы Ввключают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.
Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной объем расчетов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат Азадана и является продуктивной, то матрицу Вможно находить либо по формулам обращения матриц, рассматриваемым в курсе матричной алгебры, либо приближенным способом, используя разложение в матричный ряд (3.15).
Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В. Находят матрицу (Е - А),а затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют матрицу (Е - А) . Одним из наиболее употребительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении формулы матричной алгебры
В=(Е - А) = 
, (3.16)
где в числителе матрица, присоединенная к матрице (Е-А),элементы которой представляют собой алгебраические дополнениядля элементов транспонированной матрицы (Е-A)', a в знаменателе — определитель матрицы (Е-А).Алгебраическиедополнения в свою очередь для элемента с индексами i и j получаются умножением множителя 
на минор,получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и
j-го столбца.
При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется формула (3.15). Обязательным условием корректности этих расчетов является условие продуктивности матрицы А,и при расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков. В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).
Пример 1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:
; 
.
Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, заполнить схему межотраслевого материального баланса.
1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму (приближенному) способу, учитывая косвенные материальные затраты до 2-го порядка включительно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:
,
матрицу коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка:
.
Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна
.
2. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц (первый способ).
а) Находим матрицу (Е-A):
(E-A)= 
- 
= 
;
б) Вычисляем определитель этой матрицы:
;
в) Транспонируем матрицу (Е-А):
(Е-А)'= 
;
г) Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы ( Е-А)':
, 
,
, 
,
, 
, 
, 
, 
.
Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А)матрица имеет вид:
.
д) Используя формулу (3.16), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
В=(Е - А) = 
.
Как отмечено выше, элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов матрицы, рассчитанной по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.
3. Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор X), используя формулу (3.8'):
Х=ВУ= * 
= 
.
4. Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы (3.4): 
. Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину 
=775,3; элементы второго столбца матрицы Аумножить на 
=510,1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на 
=729,6.
Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (3.1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.
Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчета представлены в таблице 3.2.
Таблица 3.2
