Обробка результатів вимірювань

 

А.1 Основні положення теорії похибок

Якими б точними не були прибори, досконалими методи вимірювань, під час вимірювання фізичної величини x (часу, довжини тощо) неможливо отримати точне, “істинне значення” величини _.

Якщо позначити результат деякого і -го вимірювання величини x, то величину

(А.1)

 

називають абсолютною похибкою даного вимірювання. Для характеристики точності вимірювання вводять також поняття відносної похибки

 

. (А.2)

 

Завдання, яке постає перед теорією похибок, – це визначення похибок вимірювання фізичних величин.

Вимірювання поділяються на прямі та непрямі. Прямим називають вимірювання, завдяки якому значення величини знаходять безпосередньо з показань прибору. Прикладами прямих вимірювань є: вимірювання температури за допомогою термометра; довжини – штангенциркулем тощо.

При непрямих вимірюваннях значення фізичної величини знаходять завдяки відомій залежності цієї величини від величин, які можуть бути виміряні шляхом прямих вимірювань. Наприклад, густину тіла – за його масою та розмірами тощо.

Найважливіший клас похибок – випадкові похибки. Ці похибки обумовлені недосконалістю наших органів чуття, а тому не можуть бути усунуті.

 

А.2 Розрахунок випадкових похибок для прямих вимірювань

 

Припустимо, вимірюючи багато разів деяку фізичну величину, наприклад, час, за який тіло проходить одну й ту саму відстань S отримали ряд значень , , ... , тоді за приймають середнє арифметичне

 

, (А.3)

 

яке при має співпадати з .

Найважливіше завдання теорії похибок – знаходження інтервалу значень фізичної величини, в середині якого з деякою ймовірністю (яку називають довірчою ймовірністю) знаходиться величина

 

. (А.4)

 

Цей інтервал значень величини x називають довірчим інтервалом. Якщо, наприклад, ми гарантуємо, що вимірюючи один раз величину x за даною методикою, отримуємо результат, який знаходиться в межах даного інтервалу (А.4) з імовірністю 95%, то довірча ймовірність дорівнюватиме .

Для обґрунтування методу обчислення похибок треба встановити закон, якому підпорядковуються випадкові відхилення величини, яка вимірюється. Ми тільки вкажемо основну ідею, яка полягає в припущенні (що є виправданим): невеликі відхилення від є більш ймовірними, ніж великі. На цій ідеї базується нормальний закон розподілу – закон Гаусса. Але цей закон справедливий для великої кількості вимірювань n.

В інженерній практиці базуються на розподілі Стьюдента. Для кожної довірчої ймовірності Р можна обчислити таке число (коефіцієнт Стьюдента), для якого випадкова величина x, яка підпорядковується розподілу Стьюдента, знаходитиметься в межах

 

, (А.5)

 

де величина – середньоквадратичне відхилення результату вимірювань

 

, (А.6)

 

дe n – кількість вимірювань.

Отже . Коефіцієнти Стьюдента для різної кількості вимірювань наведено в табл. А.1.

 

Таблиця А.1 – Залежність коефіцієнта Стьюдента від кількості вимірювань

 

n
	12,7	4,3	3,2	2,8	2,0	2,0

 

А.3 Розрахунок випадкових похибок для непрямих вимірювань

 

При непрямих вимірюваннях значення фізичної величини F визначається за формулою

 

, (А.7)

 

де – фізичні величини, які вимірюються прямо.

Абсолютна похибка непрямих вимірювань визначається за формулою

 

, (А.8)

 

де – частинна похідна функції F за змінною (при її обчисленні інші змінні вважаються сталими величинами); – абсолютна похибка вимірювання величини _.

Результат непрямого вимірювання (кінцевий результат у звіті) подається у вигляді

 

, (А.9)

 

де – значення функції F від середніх значень змінних .

Приклад. Обчислення випадкової похибки під час розрахунку густини ρ твердого тіла циліндричної форми

 

,

 

де m – маса тіла; d – діаметр циліндра; h – висота циліндра.

В даному випадку . Згідно з (А.8)

 

,

де

;

;

.

 

А.4 Правила заокруглювання результатів обчислень

 

1. В результаті обчислень абсолютної похибки вимірювань фізичної величини треба залишати лише першу значущу цифру.

2. В середньому значенні величини остання значуща цифра має бути одного й того порядку, що й перша значуща цифра похибки.

 

Приклад. Під час обчислення прискорення земного тяжіння g були отримані результати:

 

м/с²; м/с².

 

Відповідно до формули (А.9) та правил (1) і (2) відповідь має такий вигляд:

 

м/с².

Додаток Б