Глава 3. Эквивалентность процентных ставок

В третьей главе рассмотрено понятие эквивалентности процентных ставок Основная цель данной главы – дать представление об эквивалентности процентных ставок и показать возможности использования процентных ставок разного вида в финансовых расчетах.

В главе излагаются следующие вопросы:

1. Эквивалентность простых процентных ставок.

2. Эквивалентность простых и сложных ставок.

3. Эквивалентность сложных ставок.

Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при равных начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Замена одной ставки на другую при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых последствий операции. Формулы эквивалентности выводятся из равенства множителей наращения.

 

Эквивалентность простых процентных ставок

Если временные базы для учетной и процентной ставок одинаковы, то из равенства (1 + iT) = получаются соответствующие формулы:

i = ; d = .

Если срок операции Т выражается в днях, то формулы имеют вид:

а) К = 360 дней

i = ; d = .

б) если при начислении процентов принята временная база К = 365, для учетной ставки К = 360, то

i = ; d = .

Пример 11.

Банк использует при выдаче кредитов ставку 12% годовых. Определите значение учетной ставки, обеспечивающей равную доходность при учете векселя, до срока погашения которого осталось 50 дней, если расчетное количество дней в году при начислении процентов по кредитам равно 365, а при учете векселей – 360.

Решение:

По формуле для простой учетной ставки находим

d = (11,64%).

 

Эквивалентность простых и сложных ставок

 

Из равенства множителей наращения (1 + iT) = (1 + i_сл.)^T выводятся формулы для простой и сложной учетных ставок:

i = ; i_сл. = (1 - Td) ^1/T – 1.

Для простой учетной ставки и сложной процентной ставки из равенства соответствующих множителей наращения имеем формулы:

i = ; i_сл. = (1 - Td) ^-1/T – 1.

Пример 12.

Ссуда выдана под 20 сложных годовых процентов. Каков должен быть уровень простой ставки (К = 365) при сроке 6 месяцев.

Решение:

Определяем простую ставку процентов по формуле

i = (19%).

 

3.3. Эквивалентность сложных ставок

 

Для сложной и учетной ставок соответствующие формулы имеют вид:

i_сл. = ; d_сл. = .

Пример 13.

Какова должна быть сложная учетная ставка d, чтобы сумма 10 000 руб., вложенная в эту ставку на 2 года, достигла той же величины, что и сумма 15 000 руб., вложенная под сложную ставку ссудного процента 10 % на 3 года.

Решение:

Поскольку финансовые результаты (наращенные суммы) в обоих случаях должны быть равны, можно записать

15000 (1 + 0,1)³ = 10000

Из этого уравнения найдем d

d = 1 - = 29,2 %

Принцип эквивалентности широко используется в практических задачах и облегчает расчеты. Рассмотрим следующий пример.

 

Пример 14.

Определить, под какую процентную ставку процентов выгоднее поместить капитал 20 000 руб. на 3 года:

а) под простую ставку процентов 20 % годовых

б) под сложную ставку процентов 10 % годовых с ежеквартальным начислением процентов?

Решение:

В данной задаче можно рассчитать наращенные суммы в обоих случаях:

а) S(3) = 20 000 × (1 + 0,2 × 3) = 32 000 (руб.)

б) S(3) = 20 000 × (1 + )¹² = 26 889 (руб.)

Более выгодно использовать ставку простых процентов 20 % годовых. Данный пример можно упростить с помощью использования формул эквивалентности. Найдем простую ставку процентов, которая является эквивалентной для номинальной ставки:

i = [(1 + )¹² – 1] / 3 = 11,48 %

Как видно, данная ставка значительно ниже 20 % и, следовательно, обеспечивает меньшую доходность. Необходимо выбрать простую процентную ставку 20 % годовых.

Найдем номинальную процентную ставку с ежеквартальным начислением, которая бы обеспечила равную доходность, что и простая ставка 20 % годовых. Для этого рассчитаем номинальную ставку сложных процентов с ежеквартальным начислением по соответствующей формуле эквивалентности:

i_H = [(1 + 0,2 × 3)^1/12 – 1] × 4 = 16 %

Таким образом, для обеспечения равной доходности необходимо использовать номинальную ставку 16 % с ежеквартальным начислением процентов. Использование номинальной ставки 10 % с ежеквартальным начислением процентов, как мы видели, дает меньший эффект.

Понятие финансовой эквивалентности и эквивалентных процентных ставок имеют большое практическое применение в финансовых расчетах. Например, оценка доходности различных финансовых операций проводится с помощью годовой процентной ставки.

Рассмотрим два примера по оценке доходности финансовых операций.

 

Пример 15.

По вкладу А проценты начисляются четыре раза в год исходя из 5% в квартал. По вкладу Б начисление процентов осуществляется по полугодиям исходя из процентной ставки 22% годовых. Необходимо сравнить доходности размещения средств.

Решение:

По вкладу А начисление процентов идет по номинальной ставке 20%, а по вкладу Б – по номинальной ставке 22% годовых. Однако число начислений процентов в году по варианту А и Б различно. Оценим доходность с помощью годовой ставки сложных процентов.

Вклад А: i= (1+0,05)⁴-1=0,216

Вклад Б: i=(1+0,11)²-1=0,232

Как видно эффективная процентная ставка по варианту Б выше (23,2%), чем по варианту А (21,6%), следовательно, более выгодным является размещение денежных средств по вкладу Б.

 

Пример 16.

Что выгоднее:

а) приобрести дисконтный вексель со сроком обращения 180 дней при использовании учетной ставки 40% годовых;

б) предоставить ссуду на тот же срок под 30% годовых с начислением процентов по полугодиям.

Решение:

Оценим доходность финансовых операций по двум вариантам. Для этого рассчитаем с помощью формулы эквивалентности ставку простых процентов:

 

а)

 

б) i = (1+0,15)²-1=32,25%

Как видно из расчетов доходность, выраженная в виде годовой ставки простых процентов выше по варианту а), следовательно, вариант а) является более выгодным.

Контрольные вопросы

1. Какие процентные ставки называются эквивалентными?

2. Как выводятся формулы эквивалентности?

3. В каких случаях возможна замена одной процентной ставки на другую.

4. Выведите формулы эквивалентности для простой процентной ставки и номинальной процентной ставки.

5. Выведите формулы эквивалентности для сложной годовой учетной ставки и номинальной учетной ставки.