Автоматизированные системы управления научным экспериментом

Теоретические сведения

 

Система управления научным экспериментом описывается с позиций системного подхода. На этапе содержательного описания моделируемого объекта, исходя из цели исследования, устанавливаются совокупность эле­ментов, взаимосвязи между элементами, возможные состояния каждого элемента, существенные характеристики состояний и соотношения между ними. Например, фиксируется, что если зна­чение одного параметра возрастает, то значение другого убы­вает и т.п. Вопросы, связанные с полнотой и единственностью набора характеристик, не рассматриваются. Естественно, в та­ком словесном описании возможны логические противоречия, неопределенности. Для того, чтобы содержательное описание служило хорошей основой для последующей формализации, требуется обстоятельно изучить моделируемый объект. На этом этапе моделирования применяются методы регрессионного анализа модели.

При формализации операций на основе содержательного описания оп­ределяется исходное множество характеристик системы. Для вы­деления существенных характеристик системы необходим хотя бы прибли­женный анализ каждой из них на основе постановки задачи и понимания природы исследуемой системы. После исключения несущественных характеристик нужно вы­делить управляемые и неуправляемые параметры и произвести символизацию. Затем определяется система ограничений на зна­чения управляемых параметров. Если ограничения не носят прин­ципиальный характер, то ими пренебрегают.

В соответствии с системой проведения эксперимента необходимо проводить планирование активного эксперимента. При проведении активного эксперимента задается опреде­ленный план варьирования факторов.

В активном эксперименте факторы могут принимать только фиксированные значения (уровень фактора). Количество принимаемых уровней факторов зависит от выбранной структуры факторной модели и принятого плана эксперимента. Минимальный Х_{j min} и максимальный Х_{j max} уровни всех факторов выделяют в факторном пространстве некоторый гиперпа­раллелепипед, представляющий собой область планирования( , n — число факторов). В области планирования находятся все возможные значения фак­торов, используемые в эксперименте.

Вектор задает точку центра области планирования. Координаты этой точки обычно выбирают из соотношения

. (1)

Точку называют центром эксперимента. Она опреде­ляет основной уровень факторов . Центр эксперимента стремятся выбрать как можно ближе к точке, которая соответствует искомым оптимальным значениям факторов. Для этого используется априорная информация об объекте.

Интервалом (или шагом) варьирования фактора X_j назы­вают величину, вычисляемую по формуле

. (2)

Факторы нормируют, а их уровни кодируют. В кодирован­ном виде верхний уровень обозначают +1, нижний -1, а основной 0. Нормирование факторов осуществляют на основе соотношения

. (3)

Для переменных начало координат совме­щено с центром экспери­мента, а в качестве единиц измерения ис­пользуются интервалы варьирования факторов. В планах активных экспериментов факторы нормированы.

План эксперимента удобно представлять в матричной фор­ме. План эксперимента задается либо матрицей плана, либо мат­рицей спектра плана в совокупности с матрицей дублирования.

Матрица плана представляет собой прямоугольную табли­цу, содержащую информацию о количестве и условиях проведе­ния опытов. Строки матрицы плана соответствуют опытам, а столбцы — факторам. Размерность матрицы плана L*n, где L — число опытов, n — число факторов. При проведении по­вторных (дублирующих) опытов в одних и тех же точках плана матрица плана содержит ряд совпадающих строк.

Матрица спектра плана — это матрица, в которую входят только различающиеся между собой строки матрицы плана. Размерность матрицы спектра плана N*n, где N — число точек плана, различающихся между собой хотя бы одной координатой Х _ij, .

Матрица спектра плана имеет вид:

, (4)

где Х_i — вектор, определяющий нормированные значения коор­динат точки плана в -ом опыте; Х_ij — нормированное значение -го фактора в i -ом опыте.

Матрица дублирования — квадратная диагональная мат­рица М, диагональные элементы которой равны числам парал­лельных опытов в соответствующих точках спектра плана: (5)

Опыты при выполнении экспериментов проводятся в после­довательности, предусмотренной матрицей плана. Эту матрицу предполагается использовать при рандомизации опытов, когда в результатах эксперимента можно ожидать наличие систематических ошибок. Спектр плана полного факторного эксперимента (ПФЭ) со­держит все возможные комбинации значений факторов на всех уровнях их изменения. Число точек N спектра плана опреде­ляется по формуле

N = Uⁿ , (6 )

где U — число уровней варьирования факторов; n — количество факторов.

Рассмотрим особенности и свойства ПФЭ, применяемых при построении линейных регрессий вида

. (7 )

Для получения линейной регрессии достаточно варьировать факторы на двух уровнях, т. е. U =2, тогда число точек спектра плана будет

N = 2ⁿ.(8)

Такой план принято обозначать ПФЭ 2ⁿ. Рассмотрим матрицу спектра плана, полагая, что факторы нормированы и, следовательно, могут при­нимать значения только либо +1, либо -1. Применяя правило чередования знаков, соста­вим матрицы спектров планов для n =3. При n = 3, N =2³ = 8, а матрица X принимает вид: . (9)

Спектры планов можно изобразить в привычной для экспе­риментатора табличной форме. В табл. 8 приведен спектр плана ПФЭ 2³ (буквой iобозначен но­мер точки спектра плана).

Таблица 8

i	Факторы	i	Факторы
x1	x2	x3	x1	x2	x3
	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	-1 -1 -1 -1		-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	+1 +1 +1 +1

 

Точки плана ПФЭ 2ⁿ располагаются в вершинах n — мер­ного гиперкуба. Посредством ПФЭ можно построить как простейшую ли­нейную модель технической системы вида (10), так и нелинейную.

В общем случае в полиномиальную модель могут входить факторы в любой степени и различные комбинации из их произ­ведений. Так как при нормированных факторах их значения равны +1 или -1, а в качестве показателей степеней факторов принимаются целые числа, то при четных показателях степеней вектор-столбец базисной функции состоит только из +1 и совпа­дает с вектором-столбцом функции , а векторы-столбцы всех базисных функций, соответствующих одним и тем же фак­торам x_j, возведенным в любые нечетные степени, будут совпа­дающими. Вместе с тем, любые комбинации произведений факторов x₁,х₂,...,х_n могут быть в числе базис­ных функций.

Так как при использовании всех возможных сочетаний факторов в уравнении регрессии число определяемых коэффици­ентов N _B равно числу точек N спектра плана ПФЭ 2 ⁿ, то такой план является насыщенным. ПФЭ 2ⁿ относятся к классу ортогональных планов. Для линейной модели вида (10) план ПФЭ 2 ⁿ является А- и E -оптимальным и ротатабельным.

Если описание системы планом первого порядка не позволяет создать истинную модель системы, то переходят к построению планов второго порядка, позволяющих сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который содержит большее число членов, чем неполный квадратичный полином, сформированный по планам первого порядка, и поэтому требуют большего числа выполняемых опытов. Полный квадратичный полином при n =2 содержит 6 членов: ,

при n = 3 содержит 11 членов

.

Известно, что для получения квадратичной зависимости каждый фактор должен фиксироваться хотя бы на трех уровнях.

Для планов второго порядка область планирования может быть естественной, то есть включать область планирования планов первого порядка и дополнительные точки (такие планы называются композиционными). Дополнительные точки могут выходить за область плана первого порядка – единичного гиперкуба. В этом случае опыты в них реализуются при установлении факторов за пределами варьирования. Это надо учитывать при определении области совместимости факторов:

- не выходить за пределы единичного гиперкуба, то есть для всех точек плана должно выполняться условие ;

- не выходить за пределы единичного гипершара, определяемого соотношением таких значений факторов в плане, что

План с одной областью планирования можно перестроить в план другой областью планирования. Если уже был ранее сформирован план ПФЭ, но точность его функции отклика не удовлетворяет, то мы можем достроить этот план до плана второго порядка (композиционный план) и сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, без потери информации о ранее сделанных опытах.

Ортогональным планом называется такой план, у которого матрица планирования Х строится так, чтобы матрица С = Х_t Х оказалась диагональной. Используем этот подход и при построении планов второго порядка. План называется центральным, если все точки расположены симметрично относительно центра плана. ОЦКП – центральный симметричный ортогональный композиционный план. В ОЦКП входят ядро - план ПФЭ с N₀ = 2ⁿ точками плана, n₀ (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора При этом в каждой плоскости, содержащей ось Y и координатную ось i -го фактора (проходящей через центр плана), оказываются три значения фактора х_i и три соответствующих значения Y. Общее количество точек в плане ОЦКП составляет причём для ОЦКП n₀ =1.

При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3ⁿ. Число точек в плане показано в таблице 9.

Графическое представление ОЦКП для n =3 приведено на рис. 4.

Для ортогонального плана необходимо, чтобы выполнялось соотношение

. Так как , то для столбцов j =1, 2,…., m +1 должно выполняться условие .

 

Рисунок 4 - ОЦКП при n =3

 

Таблица 9

n
ОЦКП
ПФЭ 32

 

В общем случае ортогональный центрально-композиционный план при трех (n) факторов имеет вид, представленный в таблице 10.

В ОЦКП каждый фактор фиксируется, в общем случае, на пяти уровнях (- , -1, 0, 1, + ).

Для определения неизвестных а и a нужно сформировать и решить систему из двух уравнений. Константа преобразования:

.

Тогда,

,

и плечо звездных точек .

При n =2 ОЦКП совпадает с планом ПФЭ 2³. Звездные точки ОЦКП в этом случае лежат на границах варьирования факторов. Если точки плана ПФЭ 2ⁿ всегда лежат на окружности (поверхности шара, гипершара), то точки плана ОЦКП не лежат на какой-либо одной окружности (поверхности шара, гипершара). План ОЦКП не является насыщенным.

 

 

Таблица 10

Для ОЦКП при числе факторов n =3 план показан в таблице 11.

 

Таблица 11

Очевидно, что план является ортогональным. В отличие от планов ПФЭ для ОЦКП сумма квадратов факторов разных столбцов не является одинаковой.

По результатам опытов плана формируется полином

Оценки параметров где , определяются по формуле , (11)

Оценка параметра b₀: ,

Оценка функции отклика в точке

,

где (12)

Значения параметров ОЦКП при числе факторов n представлены в таблице 12.

Таблица 12

Задание

 

1. Разработать программу по обработке различных планов эксперимента для регрессионных моделей. Программа должна иметь возможность обрабатывать несколько различных планов для одной и той же модели. Обработка заключается в вычислении различных характеристик плана, связанных с тем или иным критерием оптимальности плана. Проранжировать обработанные планы с позиций различных критериев, сделать вывод о предпочтительности того или иного плана. Список планов приведен в табл.13.

Таблица 13

№	X1/P1	X2/P2	X3/P3	X4/P4	X5/P5
	-1 0.2	0 0.6	1 0.2
	-1 0.25	0 0.5	1 0.25
	-1 0.1884	0 0.6233	1 0.1884
	-1 0.333	0 0.333	1 0.333
	-1 0.1273	-0.5 0.3727	0.5 0.3727	1 0.1273
	-1 0.152	-0.468 0.348	0.468 0.348	1 0.152
	-1 0.1799	-0.5279 0.3201	0.5279 0.3201	1 0.1799
	-1 0.25	-0.49 0.25	0.49 0.25	1 0.25
	-1 0.093	-0.707 0.248	0 0.3178	0.707 0.248	1. 0.093
	-1 0.107	-0.683 0.25	0 0.286	0.683 0.25	1 0.107
	-1 0.1092	-0.7379 0.2513	0 0.2785	0.7379 0.2513	1 0.1092
	-1 0.2	-0.7 0.2	0 0.2	0.7 0.2	1 0.2

 

2. Выбрать несколько видов функций, определяющих значения весов точек плана в зависимости от скалярного параметра. Построить графики изменения функционалов качества плана в зависимости от этого скалярного параметра. В качестве спектра плана выбрать один из приведенных в табл.13 для соответствующей модели.

Варианты заданий.

1) Модель квадратичная на отрезке. Планы для анализа 1-4. Для пункта 2 использовать определитель информационной матрицы.

2) Модель квадратичная на отрезке. Планы для анализа 5-8. Для пункта 2 использовать определитель информационной матрицы.

3) Модель квадратичная на отрезке, без линейного члена. Планы для анализа 1-4. Для пункта 2 использовать след дисперсионной матрицы.

4) Модель квадратичная на отрезке, без линейного члена. Планы для анализа 5-8. Для пункта 2 использовать след дисперсионной матрицы.

5) Модель кубическая на отрезке. Планы для анализа 5-8. Для пункта 2 использовать след дисперсионной матрицы.

6) Модель кубическая на отрезке. Планы для анализа 9-12. Для пункта 2 использовать сумму квадратов отклонений собственных чисел дисперсионной матрицы от их среднего.

7) Модель 4-ой степени на отрезке. Планы для анализа 9-12. Для пункта 2 использовать след от квадрата дисперсионной матрицы.

8) Модель 4-ой степени на отрезке без квадратичного члена планы для анализа 9-12. для пункта 2 использовать определитель информационной матрицы.

 

Контрольные вопросы.

1. Информационная матрица и ее свойства.

2. Критерии оптимальности планов эксперимента, связанные с точностью оценивания параметров модели.

3. Критерии оптимальности планов эксперимента, связанные с точностью оценивания математического ожидания функции отклика.

4. Геометрия эллипсоида рассеяния и критерии оптимальности планов эксперимента.

 

Список литературы.

1. Федосеев, В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели / В.В., Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М. Дайитбегов. – М.: ЮНИТИ, 1999.

2. Финаев, В.И. Практическое применение методов математического планирования экспериментов / В.И. Финаев, А.В. Егоров. – Таганрог: ТРТИ, 1993.

 

Приложение 1. Состав и содержание технического задания (ТЗ) на разработку Автоматизированной системы (АС)

ТЗ на АС разрабатывают на основании исходных данных, в том числе содержащихся в итоговой документации стадии «Исследование и обоснование создания АС», установленной ГОСТ 24.601.

В ТЗ на АС включают только те требования, которые дополняют требования к системам данного вида (АСУ, САПР, АСНИ и т. д.), содержащиеся в действующих НТД (научно-технических документах), и определяются спецификой конкретного объекта, для которого создается система.

Изменения к ТЗ на АС оформляют дополнением или подписанным заказчиком и разработчиком протоколом. Дополнение или указанный протокол являются неотъемлемой частью ТЗ на АС. На титульном листе ТЗ на АС должна быть запись «Действует с...».

 

СОСТАВ И СОДЕРЖАНИЕ ТЗ

ТЗ на АС содержит следующие разделы, которые могут быть разделены на подразделы:

1 общие сведения;

2 назначение и цели создания (развития) системы;

3 характеристика объектов автоматизации;

4 требования к системе;

5 состав и содержание работ по созданию системы;

6 порядок контроля и приемки системы;

7 требования к составу и содержанию работ по подготовке объекта автоматизации к вводу системы в действие;

8 требования к документированию;

9 источники разработки.

1 В разделе «Общие сведения» указывают:

1.1 полное наименование системы и ее условное обозначение;

1.2 шифр темы или шифр (номер) договора;

1.3 наименование предприятий (объединений) разработчика и заказчика (пользователя) системы и их реквизиты;

1.4 перечень документов, на основании которых создается система, кем и когда утверждены эти документы;

1.5 плановые сроки начала и окончания работы по созданию системы;

1.6 сведения об источниках и порядке финансирования работ;

1.7 порядок оформления и предъявления заказчику результатов работ по созданию системы (ее частей), по изготовлению и наладке отдельных средств (технических, программных, информационных) и программно-технических (программно-методических) комплексов системы.

2 Раздел «Назначение и цели создания (развития) системы» состоит из подразделов:

2.1 Назначение системы;

2.2 Цели создания системы.

В пункте «Назначение системы» необходимо указать вид автоматизируемой деятельности (управление, проектирование и т. п.) и перечень объектов автоматизации (объектов), на которых предполагается использовать АС. Для АСУ дополнительно указывают перечень автоматизируемых органов (пунктов) управления.

В пункте «Цели создания системы» необходимо привести наименования и требуемые значения технических, технологических, производственно-экономических или других показателей объекта автоматизации, которые должны быть достигнуты в результате создания АС.

3 В разделе «Характеристики объекта автоматизации» приводят:

3.1 краткие сведения об объекте автоматизации или ссылки на документы, содержащие такую информацию;

3.2 сведения об условиях эксплуатации объекта автоматизации и характеристиках окружающей среды.

В данном разделе необходимо максимально подробно охарактеризовать объект автоматизации (ОА), представить функциональную структуру ОА.

4 Раздел «Требования к системе» состоит из следующих подразделов:

4.1 требования к системе в целом;

4.1.1 требования к структуре и функционированию системы;

4.1.2 требования к численности и квалификации персонала системы и режиму его работы;

4.1.3 показатели назначения;

4.1.4 требования к надежности;

4.1.5 требования безопасности;

4.1.6 требования к эргономике и технической эстетике;

4.1.7 требования к транспортабельности для подвижных АС;

4.1.8 требования к эксплуатации, техническому обслуживанию, ремонту и хранению компонентов системы;

4.1.9 требования к защите информации от несанкционированного доступа;

4.1.10 требования по сохранности информации при авариях;

4.1.11 требования к защите от влияния внешних воздействий;

4.1.12 требования к патентной чистоте;

4.1.13 требования по стандартизации и унификации;

4.1.14 дополнительные требования;

4.2 требования к функциям (задачам), выполняемым системой;

4.2.1 перечень подсистем, их назначение и основные характеристики, требования к числу уровней иерархии и степени централизации системы;

4.2.2 требования к способам и средствам связи для информационного обмена между компонентами системы;

4.2.3 требования к характеристикам взаимосвязей создаваемой системы со смежными системами, требования к ее совместимости, в том числе указания о способах обмена информацией (автоматически, пересылкой документов, по телефону и т. п.);

4.2.4 требования к режимам функционирования системы;

4.2.5 требования по диагностированию системы;

4.2.6 перспективы развития, модернизации системы.