Случайное событие. Вероятность

Наблюдая различные явления, можно заметить, что существу­ет два типа связей между условиями S и наступлением или ненас­туплением некоторого события А. В одних случаях осуществление комплекса условий S (испытание) непременно вызывает событие А. Так, например, материальная точка массой т₀ под воздействи­ем силы F (условие S) приобретает ускорение а = F/m₀ (событие А). В других случаях многократное повторение испытания может привести или не привести к появлению события А. Такие события принято называть случайными: к ним можно отнести появление в кабинете врача больного с данной болезнью, выпадение опреде­ленной стороны монеты при ее бросании и др.

Не следует думать о случайных явлениях как о беспричинных, ничем не обусловленных. Известно, что многие явления связаны между собой, отдельное явление представляет следствие како­го-то другого и само служит причиной последующего. Однако проследить количественно эту связь между условиями и событи­ем часто затруднительно или даже невозможно. Так, при броса­нии игральной кости (однородный кубик с пронумерованными шестью гранями: 1, 2, 3, 4, 5 и 6) окончательное положение куби­ка зависит от движения руки в момент бросания, сопротивления воздуха, положения кубика при попадании на поверхность, осо­бенности поверхности, на которую упал кубик, и других факто­ров, которые в отдельности учесть невозможно.

В быту применительно к таким случайным событиям употреб­ляют слова «возможно», «вероятно», «маловероятно», «невероятно». В некоторых случаях такая оценка больше характеризует желание говорящего, чем истинную степень возможности или не­возможности события. Однако и случайные события, если их чис­ло достаточно велико, подчиняются определенным закономернос­тям. Количественная оценка закономерностей, относящихся к случайным событиям, дается в разделе математики, называемом теорией вероятностей.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие мас­совым (статистическим) случайным событиям.

Отдельные исторические факты, «неожиданности», «катастро­фы» являются единичными, как бы неповторимыми, событиями, и количественные вероятностные суждения относительно них сделать невозможно. Исторически теория вероятностей появилась в связи с попытками подсчета возможности различных исхо­дов в азартных играх. В настоящее же время она применяется в науке, в том числе биологии и медицине, для оценки вероятности практически важных событий. От игр остались лишь наглядные примеры, которые удобно использовать для иллюстрации теоре­тических положений.

Статистическое определение вероятности. Вероятность Р(А) в теории вероятностей выступает как числовая характеристика сте пени возможности появления какого-либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.

Допустим, при 1000 бросаний игральной кости цифра 4 выпа дает 160 раз. Отношение 160/1000 = 0,16 показывает относительную частоту выпадания цифры 4 в данной серии испытаний. В более общем случае, когда случайное событие А происходит т раз в серии п независимых испытаний, относительной частотой со­бытия в данной серии испытаний или просто частотой события А называют отношение

При большом числе испытаний частота события примерно по­стоянна: увеличение числа испытаний уменьшает колебание час­тоты события около постоянной величины.

Вероятностью случайного события назовем предел, кко­торому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:

Это статистическое определение вероятности.

Естественно, что никто и никогда не сможет проделать неогра­ниченное число испытаний для того, чтобы определить вероят­ность. В этом нет и надобности. Практически за вероятность [см. (2.2)] можно принять относительную частоту события при боль­шом числе испытаний. Так, например, из статистических законо­мерностей рождения, установленных за много лет наблюдений, вероятность того события, что новорожденный будет мальчиком, оценивают в 0,515.

Классическое определение вероятности. Если при испыта­ниях нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайное событие появлялось бы чаще других (равновозможные собы­тия), можно определить вероятность исходя из теоретических со­ображений. Например, выясним в случае бросания монеты часто­ту выпадания герба (событие А). Разными экспериментаторами при нескольких тысячах испытаний было показано, что относи­тельная частота такого события принимает значения, близкие к 0,5. Учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, ес­ли монета симметрична, суждение Р(А) = Р(В) = 0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе по­нятия «равновозможности» событий формулируется другое опре­деление вероятности.

Допустим, что в результате испытания должно произойти только одно из п равновозможных несовместных событий несов­местными называют события, если их одновременное осуществ­ление невозможно). Пусть рассматриваемое событие А происхо­дит в т случаях, которые называются благоприятствующими А, и не происходит при остальных п- т, неблагоприятствующих А. Тогда вероятностью можно назвать отношение благоприят­ствующих случаев к общему числу равновозможных несов­местных событий:

Это классическое определение вероятности. Рассмотрим не­сколько примеров.

В урне находится 40 шаров: 10 черных и 30 белых. Найти вероят­ность того, что вынутый наугад один шар будет черным.

Число благоприятствующих случаев равно числу черных шаров в урне: т = 10. Общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равно полному числу шаров в урне: n = 40. Эти события несовмест­ны, так как вынимается один и только один шар. По формуле (2.3) имеем

Найти вероятность выпадания четного числа при бросании играль­ной кости.

При бросании кости реализуются шесть равновозможных несов­местных событий: появление одной цифры 1, 2, 3, 4, 5 или 6, т. е. п = 6. Благоприятствующими случаями являются выпадания одной из цифр 2, 4 или 6: т — 3. Искомая вероятность

Как видно из определений вероятности события (2.2) и (2.3), для всех событий 0 <Р(А)< 1.

События, которые при данных испытаниях не могут произойти, называются невозможными их вероятность равна нулю.

Так, например, невозможно из урны с белыми и черными ша­рами вытащить красный шар, невозможно на игральной кости получить цифру 7.

Событие, которое при данном испытании обязательно произойдет, называется достоверным, его вероятность равна 1.

Примером достоверного события является извлечение белого ^ шара из урны, в которой находятся только белые шары. В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых событии. Этой цели служат некоторые теоремы теории вероятноcтей.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. Для двух несовместных событий

Докажем эту теорему. Пусть п — общее число испытаний, т_х — число случаев, благоприятствующих событию А, т₂ — число слу­чаев, благоприятствующих событию В. Число случаев, благопри­ятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно т₁ + т₂. Тогда

Отсюда, учитывая (2.3), имеем

 

Найти вероятность выпадания 1 или 6 при бросании игральной кости. События А (выпадание 1) и Б (выпадание 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому из (2.4) находим

Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.

В урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 си­них. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.

Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) — Р(В) = 20/50 = 2/5 и крас­ного (событие С) — Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения ве­роятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1/5 + 2/5 + + 1/10=7/10.

Если два события единственно возможны и несовместны, то их называют противоположными.

Такие события принято обозначать, например, А и А.

Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна единице:

Проиллюстрируем справедливость (2.5) на предыдущем примере. Пусть вынимание белого, или черного, или красного шара будет событи­ем A₁ P(A₁) = 7/10. Противоположным событием А₁ является доставание синего шара. Так как синих шаров 15, а общее количество шаров 50, то получаем Р(А₁) = 15/50 = 3/10 и P(AJ + Р(А_Х) = 7/10 + 3/10 = 1.

В урне находятся белые, черные и красные шары. Вероятность доставания черного или красного шара равна 0,4. Найти вероятность доставания из урны белого шара.

Обозначим А событие вынимания черного или красного шара, Р(А) = 0,4; противоположным событием А будет изъятие белого ша­ра, тогда на основании (2.5) вероятность этого события Р(А) = 1 - Р(А) = = 1-0,4 = 0,6.

Систему событий (A_t, A₂,... A_k) называют полной, если при испытаниях наступит одно и только одно из этих собы­тий. Сумма вероятностей событий, образующих полную сис­тему, равна единице.

В урне имеется 40 шаров: 20 белых, 15 черных и 5 красных. Вероят­ность появления белого шара (событие А) равна Р(А) = 20/40 = 1/2, для черного шара (событие В) — Р(В) = 15/40 = 3/8 и для красного шара (со­бытие С) — Р(С) = 5/40 = 1/8. В этом случае система событий A_v A₂, А₃ является полной; можно убедиться, что Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1/2 + 3/8 + 1/8 = 1.

Теорема умножения вероятностей: вероятность совместно­го появления независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий

Докажем эту теорему. Так как события А и В независимы, то каждому из т₁ случаев, благоприятствующих А, соответствуют т₂ случаев, благоприятствующих В. Таким образом, общее число случаев, благоприятствующих совместному появлению событий А и В, равно т₁т₂. Аналогично, общее число равновозможных собы­тий равно п₁п₂, где п₁ и п₂ — числа равновозможных событий со­ответственно для А и В. Имеем

В одной урне находится 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся: 1) черными; 2) белыми; 3) в пер-I вой урне будет вынут черный шар, а во второй — белый; 4) в первой урне I будет вынут белый шар, а во второй — черный.

Вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А) равна Р(А) = 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) — Р(В) = 3/20, белого шара из первой урны (событие А') — Р(А') = 10/15 = 2/3 и белого шара из первой урны (событие В') — Р(В') = 17/20. Находим вероятность совместного появления двух независимых событий по формуле (2.6):

1) 1) 1) Р(А и В) = Р(А) • Р(В) = (1/3) (3/20) = 3/60 — оба шара черные;

2) 2) 2) Р(А' и В') = Р(А') • Р(В') = (2/3) (17/20) = 17/30 — оба шара белые;

3) 3) 3) Р(А' и В') = Р{А) • Р(В') = (1/3) (17/20) = 17/60 — в первой урне будет вынут черный шар, а во второй — белый;

4) Р(А' и В) = Р(А') • Р(В) = (2/3) (3/20) = 1/10 — в первой урне будет t вынут белый шар, а во второй — черный.

Все четыре возможных случая Аи В, А' и В', Аи В', А' и В образуют полную систему собтий, поэтому

Найти вероятность того, что в семье с тремя детьми все трое сы­новья. Считать, что вероятность рождения мальчика равна 0,515 и пол каждого последующего ребенка не зависит от пола предыдущих детей.

По теореме умножения вероятностей,

Теорема умножения вероятностей усложняется, если оп­ределяется вероятность события, состоящего из совместно­го появления двух зависимых между собой событий. В том случае, когда событие В выполняется при условии, что собы­тие А имело место, вероятность совместного появления двух этих событий равна

где Р(В/А) — условная вероятность, т. е. вероятность события В при условии, что событие А состоялось.

В урне 5 шаров: 3 белых и 2 черных. Найти вероятность того, что по­следовательно один за другим будут вынуты черный и белый шары.

Вероятность того, что первым будет изъят черный шар (событие А), равна Р(А) = т/п = 2/5. После удаления черного шара в урне остается 4 шара: 3 белых и 1 черный. В этом случае вероятность вынимания белого шара (событие В после выполнения события А) равна Р(В/А) = 3/4. Ис­пользуя (2.8), получаем