Преобразование структурных схем

Структурной схемой в теории автоматического управления назы­вается представление САР в виде совокупности динамических звень­ев. В прямоугольных блоках записываются передаточные функции элементарных динамических звеньев системы. Стрелками обозначаются связи между элементами, а также воздействия: выходное – у,задающее – х, возмущающее – f и т.п.

Узлы (разветвления сигналов) обозначаются точками на стрелках, а сумматоры сигналов обозначаются в виде кружка. Например, первый сумматор вычисляет сигнал рассогласования (ошибки): ε = x – z.

На рис. 1 приведена структурная схема системы автоматического управления.

Рис. 1. Структурная схема САР

Структурная схема представляет собой математическую модель САР, состоящую из совокупности типовых динамических звеньев, и яв­ляется очень удобным, информативным и наглядным способом пред­ставления системы. Для анализа и синтеза САУ необходимо знать ма­тематическое описание системы в виде ее общей передаточной функ­ции. Структурные схемы позволяют достаточно просто решить эту про­блему путем сворачивания всей совокупности типовых динамических звеньев в одно динамическое звено. Для этого применяются три пра­вила преобразования структурных схем и правила переноса узла и сум­матора.

Звенья в структурных схемах могут соед

Рис. 2. Виды соединений звеньев

1. Передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев (рис. 2,а) равна произведению их передаточных функций

2. Передаточная функция группы параллельно соединенных звень­ев (рис. 2,б) равна их сумме передаточных функций

3. Передаточная функция группы звенев, соединенных по схеме с обратной связью (рис. 2,в), определяется как отношение передаточ­ной функции прямой цепи к выражению – единица минус (для положи­тельной обратной связи) или плюс (для отрицательной обратной связи) – передаточная функция разомкнутой цепи:

Такая передаточная функция называется передаточной функцией замкнутой системы (замкнутой цепи). Т.е. при положительной обратной связи сигнал обратной связи при­бавляется к задающему воздействию, а при отрицательной – вычитает­ся из него. Прямой цепью называется совокупность звеньев, передаю­щая сигнал от входа к выходу. Передаточная функция замкнутой цепи (системы) состоит из передаточной функции прямой цепи и переда­точной функции обратной связи. Передаточная функция разомкнутой цепи в случае одноконтурной САУ представляет собой произведение передаточных функций всех ее звеньев.

Правила переноса сумматора и узла иллюстрируются на рис. 3 и рис. 4 соответственно. Вариантам а) на этих рисунках соответствуют исходные схемы, а вариантам б) и в) – преобразованные.

Рис. 3.

Рис. 4.

Определим передаточные функции по управлению, по возмуще­нию и по ошибке для одноконтурной линейной САУ (рис. 5).

Рис. 5.

На основе принципа суперпозиции определим поочередно пере­даточные функции системы по двум входам – управляющему х и воз­мущающему f считая при этом действующим только один из входов. Предполагая, что

f = 0, определим передаточную функцию по уп­равлению

Аналогичным образом найдем передаточную функцию по возму­щению, считая х = 0:

Передаточную функцию по ошибке ε получим после преобразова­ния исходной структурной схемы САУ в вид, представленный на рис. 6 (f = 0, х = 0).

Передаточная функция прямой цепи между входным воздействи­ем и сигналом ошибки равна 1, тогда передаточная САУ по ошибке оп­ределится в виде

Анализируя передаточные функции W_УПР (p), W_ВОЗ (p) и W_ОШ (p) для слу­чая, когда на линейную систему одновременно подается несколько воздействий z _i, на основе принципа суперпозиции можно определить следующую зависимость выходного сигнала от совокупности входных

Отсюда для рассматриваемой системы (рис. 5) получаем

Эти уравнения используются при исследовании САУ. Применяя рассмотренные правила преобразования структурных схем, можно лю­бую многоконтурную структурную схему, в том числе и с перекрещива­ющимися контурами, привести к одноконтурному виду и затем свер­нуть в одно динамическое звено, передаточная функция которого бу­дет являться передаточной функцией исходной многоконтурной систе­мы.

 

4. Дослідження систем автоматичного керування у просторі стану.

Состоянием САУ называется та минимальная информация об объекте, которая позволяет спрогнозировать поведение системы в будущем при известных задающих воздействиях.

С точки зрения ТАУ, объект представляет собой черный ящик, характеризующийся рядом координат.

Состояние объекта в любой момент времени определяется тремя векторными пространствами:

1) Векторное пространство входа определяет входные воздействия на объект.

2) Векторное пространство внутреннего состояния определяет реакцию системы на входное воздействие.

3) Векторное пространство выхода определяется выходными переменными.

Совокупность этих векторов определяет состояние системы (пространства состояния).

Для непрерывных линейных систем динамика и статика объекта описываются следующими уравнениями:

где A^* - матрица коэффициентов САУ;

B^* - матрица управления САУ;

C^* - матрица выхода САУ;

D^* - матрица обхода САУ.

Данное описание позволяет представить все стороны САУ:

- Первое уравнение описывает динамику САУ;

- Второе уравнение описывает статику САУ.

На практике бывает удобней объединить вектор входа и внутреннего состояния в один:

- обобщенный вектор состояния.

В итоге получим систему уравнений:

Тогда систему (*) можно представить в виде:

В пространстве состояния в качестве графического изображения системы предлагают схемы переменных состояний.

 

5. Дослідження стійкості систем автоматичного керування за коренями характеристичного рівняння та за алгебраїчним критерієм Гурвіца.

Дифференциальное уравнение свободного движения линейной системы автоматического управления, записанное в операторном виде, для свободной составляющей регулируемой величины j_св(t), имеет вид

. (7.1)

Вынужденная составляющая регулируемой величины, зависящая от вида внешнего возмущения и правой части уравнения системы регулирования, на устойчивость системы не влияет.

Система будет устойчивой, если свободная составляющая j_св(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю:

. (7.2)

Тогда выходная величина с течением времени будет стремиться к вынужденной составляющей. Устойчивость по (7.2) принято называть асимптотической устойчивостью.

Если свободная составляющая с течением времени неограниченно растет, т.е.

, (7.3)

то система неустойчива.

Если свободная составляющая j_св(t) не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Уравнение свободного движения системы

. (7.5)

Решением уравнения (7.5) является сумма экспонент

, (7.6)

где р ₁ и р ₂ – корни характеристического уравнения системы; С ₁ и С ₂ – постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий.

Характеристическое уравнение системы

. (7.7)

Запишем это уравнение в более удобном виде (как при рассмотрении инерционного звена второго порядка):

. (7.8)

Здесь ; .

Уравнение имеет два корня р ₁ и р ₂:

, (7.9)

где ;

Все случаи устойчивости зависят от вида корней характеристического уравнения: они могут быть действительными числами или комплексно-сопряженными числами. Если корни характеристического уравнения –действительные числа, то процесс будет апериодическим, а при комплексных числах – колебательным.

Рассмотрим эти случаи.

1. Корни характеристического уравнения р ₁ и р ₂ – действительные числа.

Они получаются, если в подкоренном выражении, т.е. . При этом соотношения коэффициентов получаем действительные корни. Они в общем случае могут быть положительными или отрицательными: р _1,2 > 0; р _1,2 < 0:

а) при р _1,2 < 0 экспоненты с отрицательными показателями и в уравнении (7.6) с течением времени t стремятся к нулю, следовательно, свободная составляющая j_св(t) стремится к нулю. Система будет устойчивой, процесс регулирования – апериодическим (рис. 7.1);

Рис. 7.1. Процесс апериодический: 1 – статическая система (П-закон); 2 – астатическая система (ПИ-, ПИД-законы). Процессы апериодические (неколебательные). Системы устойчивы.

б) при р _1,2 > 0 экспоненты с положительным показателем с течением времени будут стремиться к бесконечности, следовательно, свободная составляющая регулируемого параметра j_св(t) также стремится к бесконечности. Процесс будет апериодическим, система неустойчива (рис. 7.2).

 

Рис. 7.2. Процесс апериодический. Система неустойчива.

2. Корни характеристического уравнения р₁ и р₂ – комплексные числа (колмплексно-сопряженные).

Они получаются при Т ₁< 2 Т ₂. Тогда подкоренное выражение <0.

, (7.10)

где ; ; .

Решение дифференциального уравнения опять зависит от экспоненты при :

.

Наличие и говорит о том, что процесс регулирования будет колебательным, а е ^{a t} определяет амплитуду колебаний. Следовательно, рост или затухание амплитуды колебаний с течением времени зависит от того, больше или меньше нуля действительная часть a комплексного числа:

а) a<0, . С течением времени колебания затухают. Система устойчива (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Колебательный процесс регулирования: 1 – П, ПД-законы; 2 – ПИ, ПИД-законы Системы устойчивы

б) a>0, . С течением времени амплитуда колебаний растет. Система неустойчива (рис. 7.4).

Если поведение системы описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, то общее решение также представлено в виде суммы экспонент:

 

Рис. 7.4. Колебательный процесс регулирования. Система неустойчива.

Все предыдущие рассуждения имеют силу и в этом случае, только для всех корней р ₁, р ₂, р ₃, р ₄, ….

Общее условие устойчивости по корням характеристического уравнения системы:

Для того, чтобы система автоматического регулирования была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все действительные корни характеристического уравнения системы и все действительные части комплексно-сопряженных корней были отрицательны. Если, хотя бы один из действительных корней или действительная часть одного комплексно-сопряженного корня будут положительны, система будет неустойчивой.

3.Если действительная часть комплексно-сопряженных корней равна нулю (a=0), система находится на границе устойчивости.

Действительно, тогда

.

Система совершает колебания с постоянной амплитудой.

Таким образом, устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость – это внутренне свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних воздействий.

Если система описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, то определить его корни решением уравнения невозможно. В теории автоматического регулирования (управления) разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая характеристического уравнения и не находя числовых значений самих корней. Эти правила называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости могут быть алгебраическими и частотными.

 

Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецкимматематиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может появиться значительная вычислительная ошибка).

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть {\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}} — передаточная функция системы, а {\displaystyle \ U(s)=0} — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином {\displaystyle \ U(s)} в виде

{\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}}

где {\displaystyle s} - оператор Лапласа.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица {\displaystyle \Delta } по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от {\displaystyle \ a_{1}} до {\displaystyle \ a_{n}} ;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше {\displaystyle \ n} ставятся нули.

Тогда согласно критерию Гурвица:

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все {\displaystyle \ n} главных диагональных миноров определителя Гурвица были положительны, при условии a0 > 0. Эти миноры называются определителями Гурвица.

(Пример определителя Гурвица для характеристического уравнения пятой степени.)[показать]

Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара — Шипара. Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.

 

6. Дослідження стійкості систем автоматичного керування за критерієм Михайлова.

Этот критерий был сформулирован и обоснован А.В. Михайловым в 1936 г. и послужил началом широкого применения частотных методов в теории автоматического управления.

Он также основан на анализе характеристического уравнения системы. Левую часть характеристического уравнения системы называют характеристическим полиномом, который имеет вид

. (7.13)

Если в (7.13) подставить вместо переменного р чисто мнимый корень р = j w, то получим функцию комплексного переменного

, (7.14)

которую можно так же, как и амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей (вектор Михайлова):

. (7.15)

Действительная часть А ₁(w) содержит только четные степени переменной частоты ω

, (7.16)

а минимальная часть А ₂(ω) – только нечетные:

. (7.17)

Каждому фиксированному значению частоты соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости.

Если изменять частоту ω от 0 до +∞, то конец вектора Михайлова в комплексной плоскости (А ₁, jA ₂) будет поворачиваться, изменяя свою длину, и опишет кривую, которую называют годографом Михайлова (или годографом вектора характеристической функции). По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.

Формулировка критерия Михайлова: система автоматического регулирования будет устойчивой, если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова обходит последовательно в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки) n квадрантов комплексной плоскости, где n – степень характеристического уравнения системы (рис. 7.5).

 

Рис. 7.5 Годографы Михайлова для систем n=1,2,3,4,5 – порядков. I,II,III,IV и т.д. – номера квадрантов комплексной плос-кости. Системы устойчивы

 

Из выражений (7.16) и (7.17) следует, что годограф Михайлова всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину а ₀.

Характеристические кривые (годограф Михайлова), соответствующие устойчивым системам (рис. 7.5), имеют спиралевидную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку характеристического уравнения.

Рис. 7.6. Годографы Михайлова: 1 – система устойчива; 2 – система неустойчива; 3 – система на границе устойчивости

Если годограф Михайлова проходит n квадрантов не последовательно (последовательность квадрантов нарушается) или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рис. 7.6).

послужил началом широкого применения частотных методов в теории автоматического управления.

Он также основан на анализе характеристического уравнения системы. Левую часть характеристического уравнения системы называют характеристическим полиномом, который имеет вид

. (7.13)

Если в (7.13) подставить вместо переменного р чисто мнимый корень р = j w, то получим функцию комплексного переменного

, (7.14)

которую можно так же, как и амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей (вектор Михайлова):

. (7.15)

Действительная часть А ₁(w) содержит только четные степени переменной частоты ω

, (7.16)

а минимальная часть А ₂(ω) – только нечетные:

. (7.17)

Каждому фиксированному значению частоты соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости.

Если изменять частоту ω от 0 до +∞, то конец вектора Михайлова в комплексной плоскости (А ₁, jA ₂) будет поворачиваться, изменяя свою длину, и опишет кривую, которую называют годографом Михайлова (или годографом вектора характеристической функции). По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.

Формулировка критерия Михайлова: система автоматического регулирования будет устойчивой, если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова обходит последовательно в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки) n квадрантов комплексной плоскости, где n – степень характеристического уравнения системы (рис. 7.5).

 

Рис. 7.5 Годографы Михайлова для систем n=1,2,3,4,5 – порядков. I,II,III,IV и т.д. – номера квадрантов комплексной плос-кости. Системы устойчивы

 

Из выражений (7.16) и (7.17) следует, что годограф Михайлова всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину а ₀.

Характеристические кривые (годограф Михайлова), соответствующие устойчивым системам (рис. 7.5), имеют спиралевидную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку характеристического уравнения.

Рис. 7.6. Годографы Михайлова: 1 – система устойчива; 2 – система неустойчива; 3 – система на границе устойчивости

Если годограф Михайлова проходит n квадрантов не последовательно (последовательность квадрантов нарушается) или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рис. 7.6).

 

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости (рис. 7.6).

В практических расчетах удобно применять следствие из критерия Михайлова: система автоматического регулирования устойчива, если действительная и мнимая части вектора характеристической функции (вектора Михайлова) обращаются в нуль поочередно, т.е., если корни уравнений

А ₁(ω) = 0 и А ₂(ω) = 0 (7.18)

перемежаются.

Это утверждение следует непосредственно из формулировки критерия Михайлова – из условия последовательного прохождения годографа Михайлова (годографа вектора характеристической функции) через n квадрантов.

Критерий Михайлова удобно применять для анализа устойчивости систем высокого порядка (n >5).

 

7. Дослідження стійкості систем автоматичного керування за методом D- розбиття.

Метод D-разбиения

2.1.Пусть система описывается характеристическим уравнением n-ой

степени:

A(p) = an pn +an-1 pn-1 +an-2 pn-2 + … + a0 = 0

При заданных коэффициентах уравнение имеет вполне определённые корни, пусть m – в правой полуплоскости; (n - m) – корни в левой полуплоскости.

При изменении коэффициентов корни перемещаются в плоскости корней. Это перемещение называется корневым годографом. При некотором сочетании коэффициентов корень может попасть в начало координат или на мнимую ось, тогда значения коэффициентов подчиняются характеристическому уравнению (an = 1):

A(jω) = (jω)n +an-1 (jω)n-1 + … + a0 = 0

Это уравнение в (n-1)– мерном пространстве коэффициентов, по осям которого отложены а0 …аn-1 при заданном значенииω соответствует точка, а при измененииω – гиперповерхность.

Если изменять коэффициенты, то при некотором сочетании их произойдет пересечение гиперповерхности А(jω) = 0, следовательно, один или пара мнимых корней перейдет из правой (левой) полуплоскости в левую (правую) полуплоскость. Наиболее простой вариант, когда степень характеристического уравнения не превышает трех (n≤ 3).

2.2. Разбиение по одному комплексному параметру. 3

Для выяснения влияния какого-либопараметра на устойчивость системы, если он входит в характеристическое уравнение линейно, придерживаются следующего алгоритма:

2.2.1.Представить характеристическое уравнение в виде А(р) = Р(р) +

ϑQ(р), где: ϑ - исследуемый параметр.

2.2.2.Определить границы D-разбиения,для этого заменить р на jω:

А(jω) = Р(jω) +ϑ Q(jω)

2.2.3. Выразить параметр ϑ из уравнения границыD-разбиенияи представить его в алгебраической форме комплексного числа

ϑ = -P (jω) = Х + jY

Q (jω)

2.2.4.Изменяя ω от 0 до +∞, построить половину границы.

2.2.5.В силу симметричности относительно действительной оси границыD-разбиенияпостроить вторую половину границы, соответствующую

изменению ω от -∞ до 0.

2.2.6.Провести штриховку полученной границы слева при движении по границе в сторону увеличения частоты.

2.2.7.Определить устойчивость системы в области с внутренней

штриховкой (рис.1), выбирая самое простое значение ϑ, напримерϑ = 0 (по любому критерию).

Рис.1 Пример области D-разбиения:I – область с внутренней штриховкой.

2.2.8.Если система устойчива в области I, то определяют число правых корней в других областях, руководствуясь правилом:

Если пересечение границы происходит по направлению штриховки (направление 1 на рис.1б), то один корень в плоскостиD-разбиенияпереходит из правой полуплоскости в левую; если против штриховки (направление 2), то один корень переходит из левой полуплоскости в правую. Так на рис.1 в области II – один правый корень, в области III – два правых корня.

2.2.9.Для линейных задач определяют вещественный диапазон

изменения параметра (0; ϑ кр)

 

 

8. Дослідження стійкості систем автоматичного керування за критерієм Найквіста.

Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристикеке (АФЧХ) разомкнутой системы (рис. 7.5).

Рассмотрим сначала случай 1, когда известно, что система в разомкнутом состоянии устойчива (рис. 7.5, а). Условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j 0). На рис. 7.5, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшать коэффициент передачи в неустойчивой системе, ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет в конце концов устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика ранее устойчивой системы в конце концов охватит точку (-1, j 0), и система потеряет устойчивость.

Для случая 2, т.е. для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j 0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j 0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k – число правых полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.

На рис. 7.5, в в качестве примера показаны две АФЧХ разомкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии вследствие наличия правых корней, но устойчивой в замкнутом состоянии. Характеристика 1 соответствует k = 1, а характеристика 2 – значению k = 2. (В первом случае имеем «половину» пересечения действительной оси левее точки (-1, j 0)).

 

Таким образом, в общем случае при применении критерия Найквиста необходимо предварительно определить число правых полюсов W (s). Для одноконтурной системы, когда знаменатель W (s) представляет собой произведение знаменателей передаточных функций отдельных звеньев, это число находится легко, поскольку полюсами W (s) являются полюсы передаточных функций отдельных звеньев. У многоконтурных систем, особенно с перекрестными связями, задача определения числа k усложняется, и поэтому в этих случаях целесообразно отказаться от применения критерия Найквиста. В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения.

Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является неохват АФЧХ точки (-1, j 0). Последнее имеет место, если при частоте, на которой А (ω) = 1, абсолютное значение фазы меньше π.

Сказанное непосредственно следует из рис. 7.5, а.

Таким образом, применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть при этом, что значению А = 1 соответствует L = 20 lg A = 0, критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение –π. Или иными словами: на частоте среза ω _с величина фазы должна быть меньше π.

Изложенное иллюстрируется на рис. 7.6.

 

Здесь изображены ЛАХ L (ω) и четыре варианта ЛФХ φ (ω). В случае ЛФХ 1 и 4 замкнутая система устойчива, причем характеристика 4 соответствует АФЧХ 4 на рис. 7.5, а. ЛФХ 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, ЛФХ 3 – неустойчивой замкнутой системе.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, требования к ЛАХ и ЛФХ в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из соответствующих требований к АФЧХ. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее: при положительной ЛАХ число пересечений ЛФХ уровня –π снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.

 

9. Побудування перехідних процесів в системах автоматичного регулювання.

Существуют три группы методов построения переходных процессов: аналитические; графические, использующие частотные и переходные характеристики; построение переходных процессов с помощью ЭВМ. В наиболее сложных случаях используются ЭВМ, которые позволяют кроме моделирования САУ, подключать к машине отдельные части реальной системы, т.е. близки к экспериментальному методу. Первые две группы используются в основном в случае простых систем, а также на этапе предварительного исследования при существенном упрощении системы.
Аналитические методы основаны на решении дифференциальных уравнений системы или определении обратного преобразования Лапласа от передаточной функции системы.
Расчет переходных процессов по частотным характеристикам используют тогда, когда анализ САУ с самого начала ведется частотными методами. В инженерной практике для оценки показателей качества и построения переходных процессов в системах автоматического управления получил распространение метод трапецеидальных частотных характеристик, разработанный В.В.Солодовниковым [2,4,13].
Установлено, что если на систему действует единичное задающее воздействие, т.е. g(t)=1(t), а начальные условия являются нулевыми, то реакцию системы, которая представляет собой переходную характеристику, в этом случае можно определить как

(6.3)
(6.4)

где P(ω) - вещественная частотная характеристика замкнутой системы; Q(ω) - мнимая частотная характеристика замкнутой системы, т.е. Ф_g(jω)=P(ω)+jQ(ω).
Метод построения заключается в том, что построенную вещественную характеристику P(ω) разбивают на ряд трапеций, заменяя приближенно кривые линии прямолинейными отрезками так, чтобы при сложении всех ординат трапеций получилась исходная характеристика рис.6.10.

Рис.6.10. Вещественная характеристика замкнутой системы

где: ω_рi и ω_срi - соответственно частота равномерного пропускания и частота среза каждой трапеции.
Затем для каждой трапеции определяется коэффициент наклона ω_рi/ω_срi и по таблице h-функций строятся переходные процессы от каждой трапеции hi. В таблице h-функций дано безразмерное время τ. Для получения реального времени t_i необходимо τ разделить на частоту среза данной трапеции. Переходный процесс для каждой трапеции необходимо увеличить в P_i(0) раз, т.к. в таблице h-функций даны переходные процессы от единичных трапеций. Переходный процесс САУ получается алгебраическим суммированием построенных h_i процессов от всех трапеций.

 

10. Визначення показників якості систем автоматичного регулюваня за кореневим методом.

1. Качество САУ определяется следующими показателями:

Время достижения установившегося режима,

время переходного процесса, время регулирования – - такое время, по истечении которого для управляемой величины выполняется условие:

,

где у – управляемая величина; d_р – некоторая величина (для САУ 5% от установившегося режима).

2. Перерегулирование - это процентное соотношение разницы максимального перерегулирования и установившегося значения:

.

3. Время достижения первого максимума (t_макс), такое время, при котором выходная величина достигает своего максимального по модулю значения:

.

4. Время нарастания – t_нар

5. Число перерегулирований – это количество раз, когда управляемая величина превышает по модулю значение:

.

6. Частота колебаний

, где Т – период колебаний

7. Ошибка в установившемся режиме (характеризует точность САУ)

.

Помимо этих показателей, могут рассматриваться ещё некоторые другие, например, в качестве показателя может быть взята величина , или рассчитана величина декремента затухания и т.д.

Первые показатели – это показатели качества переходного процесса, а последний – показатель качества в установившемся режиме

1. Решение дифференциального уравнения.

Основывается на решении дифференциального уравнения, описывающего динамику процессов в САУ:

Уравнение (2) сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка и разрешается одним из известных методов. Решение уравнения y(t)=f(t), что и представляет собой переходный процесс.

Операторный метод:

К исходному дифференциальному уравнению (2) применяется преобразование Лапласа с учетом начальных условий.

где K_x – это начальное условие по переменной х, K_y – начальное условие по переменной у (а также их производных).

где K(p)=K_y(p)-K_x(p).

1. Применяем прямое преобразование Лапласа к входной величине x(t) (дает х(р)).

2. Получаем в операторном виде переходный процесс по уравнению (3).

3. Используя таблицы Лапласа, осуществляем обратное преобразование Лапласа переменной у(р).

11. Синтез САК за розташуванням полюсів з використанням формули Аккермана.

Формула Аккермана

Таким образом, для решения задачи модального управления можно перевести модель произвольной структуры в каноническую форму управляемости, после чего с помощью уравнения получить коэффициенты обратной связи. Однако в реальной системе желательно использовать переменные состояния, отражающие физическую сторону протекающих процессов, а не абстрактные переменные состояния канонической формы, которые могут быть недоступны для измерения. Аккерманом была предложена формула, позволяющая с помощью преобразования подобия перевести модель произвольной структуры в каноническую форму управляемости, определить искомые коэффициенты K, а затем пересчитать полученное решение применительно к исходной структуре.

Если задан желаемый характеристический полином замкнутой системы

q (s) = ,

то формула Аккермана имеет вид:

Пример 2.7. Пусть система описывается матрицами

Желаемые полюса заданы вектором

.

Требуется найти коэффициенты обратной связи.

Характеристический полином желаемой замкнутой системы имеет вид:

q (s) = ,

т. е. a ₂=3; a ₁=4.

Формула Аккермана:

Этот результат совпадает с полученным ранее.