Питання з дисципліни «теорія автоматичного

КЕРУВАННЯ»

 

1. Визначення диференціальних рівнянь та передатних функцій ланок систем автоматичного керування.

Безинерционным звеном или усилительным звеном называется звено, в котором, как в установившемся, так и в переходных режимах, выходная величина воспроизводит без искажений и запаздываний входную величину. Переходный процесс для этого звена имеет вид:

Xвых(t)=k*Xвх(t)

Примерами Безинерционное звено и Усилительное звено могут служить жёсткий рычаг, механический редуктор и резистор.

Причём АФХ выражается действительным числом, поэтому её графическая интерпретация является точка, расположенная на оси действительных чисел, на расстоянии K от начала координат, т.е. сдвига по фазе между входной и выходной величинами нет.

Апериодическим звеном I-го порядка называется звено в котором при подаче на вход ступенчатого воздействия выходная величина апериодически (т.е. экспоненциальному закону) стремится к новому установившемуся значению. К апериодическим звеньям относят устройства в которых возможно накопление какого-либо вида энергии и её рассеивания. Связь между выходными и входными величинами для этого звена представлена на рис40:

Примером этого звена может служить электрический контур, содержащий электрическое сопротивление R и ёмкость C рис41:

Другим примером апериодического звена I-го порядка может служить напорный бак. При свободном истечении жидкости, если входной величиной считать изменение расхода на притоке, а выходной величиной - изменение уровня в баке.

Связь между выходным и входным звеном определяется дифференциальным уравнением:

T*d(xвых)/d(t) + Xвых =k*xвх

T-постоянная времени; k-коэффициент усиления звена

В операторной форме при нулевых начальных формах дифференциальное уравнение изменяется:

(Tp+1)*Xвых(p)=k*Хвх(p)

W(p)=Xвых(p)/Xвх(p)=k*(Tp+1)

Частотные характеристики для апериодического звена представлены на рис43-45

АФХ представляет собой полу окружность диаметром равным k.

Другим примером инерционное звено2-го порядка является энергетический контур (Рис.47).

Рис 47

В электрический контур входят индуктивность L, емкость С и активное сопротивление R. При подаче на вход контура входного напряжения Uвх в контуре происходит обмен электрической и магнитной энергией. Дифференциальное уравнение динамики для такого звена имеет вид:

Т₁²(d²x_вых/dt²)+ Т₂(dx_вых/dt)+x_вых=кх_вх

На практике может быть использована другая форма записи:

Т₁²(d²x_вых/dt²)+ αρТ(dx_вых/dt)+x_вых=кх_вх

При этом Т - постоянная времени, причем Т=Т2, а переход для определения Т1 осуществляется так

Т1 =2ρТ, при этом ρ выступает как показатель колебательности. В операторной форме последнее дифференциальное уравнение (Д.У) имеет вид:

[Т²р²+αρТр+1]X_вых(Р)=кХ_вх(Р)

передаточная функция будет иметь вид:

W(P)=X_вых/Х_вх=1/[Т²р²+αρТр+1]

При подаче на вход звена единичного ступенчатого воздействия на его выходе мы получим колебательный переходный процесс(Рис 48,49).

Рис 48 Рис.49

В зависимости от вида корней И.З 2-го порядка можно разделить на следующие звенья:

1)апериодическое Зв. 2-го порядка

2)колебательное Зв. 2-го порядка

3)консервативное звено.

В зависимости от этого будут меняться и частотные характеристики звеньев. В этом случае если мы имеем вещественные корни, уравнение будет соответствовать двум экспоненциальным составляющим

(Рис 50)

Рис.50

Как видно из рис.50 переходная характеристика апериодической без колебаний. В случае если мы имеем пару комплексных корней, переходная характеристика будет иметь вид представленный на Рис49, и мы будем иметь колебательное звено.

В том случае, если корни является мнимыми, мы будем иметь, консервативное звено 2-го порядка (Рис.51)

Рис.51

Рассмотрим частотные характеристики этих звеньев, АЧХ представлены на рис.52

На рис 53 представлены ФЧХ.

Рис 53

1-Консервативное звено

2-Колебательное звено 2-го порядка

3- Апериодическое звено 2-го порядка

На рис 54 представлена АФХ:

Из Рис 52 видно что на частоте ώr

АЧХ для консервативного звена имеет разрыв. При этом фаза сдвигается на угол 180° и колебания выходной величины отстают от колебаний входной величины на половину периода. При проектировании САУ в обязательном порядке необходимо учитывать эти обстоятельства.

Интегрирующим называется звено, в котором выходная величина пропорциональна во времени интегралу от входной величины:

Х_вых(t)=k/t∫^t₀ x_вхdt, где к- коэффициент. усиления; Т- время интегрирования.

Подавая на вход ИЗ возмущающее воздействие в виде ступенчатой функции получим уравнение определяющее характер переходного процесса.

х_вых(t)=(k/t) х_вхt, при х_вх=const=1:

Примером ИЗ может служить гидравлический исполнительный двигатель. При этом входной величиной будет количество жидкости подаваемой в цилиндр, а выходной – движение поршня.

ИЗ создает при всех «+» частотах отставание выходной величины на 90 по сравнению с входной. Амплитуда выходной величины тем меньше, чем больше частота. АФХ совпадает с осью мнимых в «-» её части.

ДЗ называется звено, в котором выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины, т.е. пропорциональна ее производной.

Различают реальное и идеальное ДЗ.

Идеальное ДЗ: х_вых=Кdx_вх/dt, где К - коэффициент усиления ДЗ. В операторной форме: Х_вых(Р)=КрХ_вх(Р), W(P)=X_вых(Р)/Х_вх(Р)=Кр.

При подаче на вход звена единичного ступенчатого воздействия на его выходе получим мгновенный выходной импульс, имеющий теоретически ББ амплитуду, соответствующую ББ скорости изменения входной величины в момент подачи единичной ступенчатой функции.

Характерная особенность ДЗ: создает опережение выходящей величины на 90.

АФХ ДЗ совпадает с осью мнимых при увеличении омега от 0 до бесконечности.

На практике мы имеем дело чисто с реальными ДЗ. Для реального ДЗ АФХ:

Примером идеального ДЗ может служить тахометрический генератор. При скачкообразном изменении угла поворота переходный процесс происходит мгновенно в виде импульса напряжения теоретически бесконечной амплитуды(э.д.с. якоря):

Примером реального ДЗ –цепочка из R, C элементов.

Запаздывающим звеном называется звено, в котором выходная величина воспроизводит изменение входной величины без искажений, но с некоторым постоянным запаздыванием: x_вых= x_вх (t-τ),

где τ-время запаздывания. Примером ЗЗ может служить конвейер, который загружается с одного конца, а измерение нагрузки производится конвейерными весами, находящимися на некотором расстоянии от пункта нагрузки.

Выражение связывающее операторное изображение выходных и входных величин имеет вид:

X_вых= X_вх (p)·e^-τ·p; W(p)₌ X_вых (p)/ X_вх (p)=e^-τ·p.

На рис. приведена АФХ ЗЗ: при изменении ω от 0 до ∞ вектор АФХ вращается по часовой стрелке, не меняя своей длины. Т.о. АФХ ЗЗ представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом =1. С помощью ЗЗ могут быть интерпретированы объекты автоматического управления и отдельные элементы САУ.

 

2. Побудова частотних характеристик ланок систем автоматичного керування.

3. Перетворення структурних схем систем автоматичного керування.