Переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d1 в іншу з основою d2 необхідно послідовно ділити це число і одержувані

Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d₁ в іншу з основою d₂ необхідно послідовно ділити це число і одержувані частки на основу d₂ нової системи до тих пір, поки не вийде частка, менша за основу d₂. Остання основа – старша цифра числа в новій системі числення з основою d₂, а наступні за нею цифри – це залишки від ділення, записувані в послідовності, зворотній їх отриманню.

Примітка: При виконанні переведення чисел з однієї системи числення в іншу всі необхідні арифметичні дії виконуються в тій системі числення, в якій записано число, що переводиться.

Приклад 1.1 Перевести число 25₁₀ у двійкову та вісімкову систему числення:

 

а)						б)
напрям читання
напрям читання

 

Шукані числа пишуться у вигляді (25)₁₀=(11001)₂=(31)₈.

Зробимо перевірку переведення зворотнім переведенням шуканих чисел у десяткову систему числення:

а) (11001)₂=1 2⁴+1 2³+0 2²+0 1¹+1 2⁰=16+8+0+0=1=(25)₁₀.

б) (31)₈=3·8¹+1·8⁰=24+1=(25)₁₀.

Переведення правильних дробів. Для того щоб перевести правильній дріб з системи числення d₁ у систему з основою d₂, необхідно послідовно множити вихідний дріб і дробові частини отриманих добутків на основу d₂ нової системи числення. Правильний дріб у новій системі числення з основою d₂ формується у вигляді цілих частин отриманих добутків починаючи з першого.

При переведенні правильних дробів з однієї системи числення у другу можна отримати дріб у вигляді нескінченного ряду. Процес переведення можна закінчити, якщо з’явиться дробова частина, яка має у всіх розрядах нулі, або буде досягнута задана точність переведення, тобто отримана потрібна кількість розрядів результату.

Якщо точність переведення дорівнює d₂^-q, то після q множень на d₂ записують усі знайдені цілі частини у порядку їх знаходження. Знайдений запис буде подавати дробову частину числа у новій системі числення.

Приклад 2. Десятковий дріб 0,3126 перевести у двійкову систему числення з точністю до 2^-4.

 

0,3126		0,6252		0,2504		0,5008
x 2		x 2		x 2		x 2
напрям читання 0,6252		1,2504		0,5008		1,0016

 

Тобто шукане число запишеться у вигляді: (0,3126)₁₀=(0,0101)₂, а найбільша помилка буде 2^-4.

Перевірку проведемо переведенням знайденого двійкового числа у десяткове:

(0,0101)₂=0 2^-1+1 2^-2+0 2^-3+1 2^-4=1/4+1/16=6/16=(0,3125)₁₀.

Приклад 3. Десятковий дріб 0,6 перевести у вісімкову систему числення з точністю 8^-5.

 

 

0,6		0,8		0,4		0,2		0,6
x 8		x 8		x 8		x 8		x 8
4,8		6,4		3,2		1,6		4,8

напрям

 

При переведенні обмежуємося п’ятьма розрядами (q=5). Тоді шукане число запишеться у такому вигляді: (0,6)₁₀=(0,46314)₈, а найбільша помилка буде (≤8^-5).

Переведення змішаних чисел. При переведенні змішаних чисел з одної системи числення у другу, необхідно у нову систему перекласти окремо його цілу та дробову частини по правилам переведення цілих чисел та правильних дробів, а потім два результати об’єднати в одне змішане число нової системи числення.

Приклад 4. Перекласти десяткове мішане число 159,75 у двійкову систему числення з точністю 2^-3.

(159)₁₀=(10011111)₂;

(0,75)₁₀=(0,11)₂,

(159,75)₁₀=(10011111,11)₂.