Временные параметры сетевых графиков

 

В таблице приведены основные временные параметры сетевых графиков.

1.2

 

Таблица

Элемент сети, характеризуемый параметром	Наименование параметра	Условное обозначение параметра
Событие i	Ранний срок свершения события   Поздний срок свершения события   Резерв времени события
Работа (i, j)	Продолжительность работы   Ранний срок начала работы   Ранний срок окончания работы   Поздний срок начала работы   Поздний срок окончания работы Полный резерв времени работы   Частный резерв времени работы первого вида   Частный резерв времени работы второго вида   или свободный резерв времени работы Независимые резерв времени работы
Путь L	Продолжительность пути   Продолжительность критического пути   Резерв времени пути

 

Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.

Начнем с параметров событий. Как уже отмечалось, событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок свершения i-го события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

где - любой путь, предшествующий i-му событию, т.е. путь от исходного до i-го события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срок свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.

Поэтому поздний (или предельный) срок свершения i-го события равен

где - любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле

Резерв времени i-го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, т.е. вызывая при этом увеличение срока выполнения комплекса работ. Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

Из этого следует, что для того чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Ø Определить временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рисунке.

Решение. Найденные параметры сведем в таблице.

При определении ранних сроков свершения событий двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы.

Для i = 0 (нулевого события), очевидно, что Для i = 1 (суток), так как для события 1 существует только один предшествующий путь Для i = 2 (суток), так как для события 2 существует только один предшествующий путь Для i = 3 (суток), так как для события 3 существуют два предшествующих пути и и два предшествующих события 0 и 1.

 

1.3.1Номер события	Сроки свершения события, сутки	Резерв времени , сутки
	ранний	поздний

 

Аналогично:

(суткам);

(суткам);

(суткам) и т.д.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11 (см.табл.):

(суткам).

При определении поздних сроков свершения событий двигаемся по сети в обратном направлении, т.е. справа налево, и используем формулы.

Для i=11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути: (сутки).

Для i = 10 (суток), так как для события 10 существует только один последующий путь : .

Для i = 9: (суткам), так как для события 9 существуют два последующих пути : и .

Аналогично:

(суток);

(суткам);

(суткам) и т.д.

По формуле определяем резервы времени i-го события:

R(0) = 0; R(1) = 9-8 = 1; R(2) = 40-17 = 23 и т.д.

Резерв времени, например, события 2 – R(2) = 23 – означает, что время свершения события 2 может быть задержано на 23 суток без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя таблицу, видим, что не имеют резервов времени события 0, 3, 5, 6, 9, 11. Эти события и образуют критический путь (на рисунке он выделен жирным шрифтом).

Теперь перейдем к параметрам работ.

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i, т.е.

Тогда ранний срок окончания работы (i,j) определяется по формуле

Ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события j. Поэтому поздний срок окончания работы (i,j) определяется соотношением

а поздний срок начала этой работы – соотношением

Таким образом, в рамках сетевой модели моменты начала и окончания работы тесно связаны с соседними событиями ограничениями.

Прежде чем рассматривать резервы времени работ, обратимся к резерву времени пути. Такие резервы времени работ имеют все некритические пути. Резерв времени пути R(L) определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее чем R(L), то критический путь переместится на путь L.

Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени работ выделяют четыре разновидности.

Полный резерв времени определяется по формуле

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение конечного события в его самый поздний срок (см.рис.).

Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, лежащих на других (немаксимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва.

Остальные резервы времени работы являются частями ее полного резерва.

Частный резерв времени первого вида R₁ работы (i,j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки (см.рис.8).

R₁ находится по формуле

Частные резерв времени второго вида, или свободный резерв времени R_c работы (i,j) представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки (см.рис.). R_c находится по формуле

Свободным резервом времени можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Независимый резерв времени R_н работы (i,j) – часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки (см.рис.)

или

Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая по формуле, равна нулю или положительная, то такая возможность есть. Если же величина отрицательна, то этой возможности нет, так как предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. Поэтому отрицательное значение не имеет реального смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Следует отметить, что резервы времени работы (i,j), показанные на рисунке, могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работы t(i,j) занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями, изображенными на графиках.

Таким образом, если частный резерв времени первого вида может быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, а свободный резерв времени – на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.

Если на критическом пути лежит начальное событие i, то

 

Если на критическом пути лежат начальное и конечное события i и j, но сама работа не принадлежит этому пути, то

Рассмотренные соотношения можно использовать при проверке правильности расчетов резервов времени отдельных работ.

1.3.1.1

Сетевое планирование в условиях неопределенности

 

При определении временных параметров сетевого графика до сих пор предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. Такое предположение в действительности выполняется редко: напомним, система СПУ обычно применяется для планирования сложных разработок, не имевших в прошлом никаких аналогов. Чаще всего продолжительность работы по сетевому графику заранее не известна и может принимать лишь одно из ряда возможных значений. Другими словами, продолжительность работы t(i,j) является случайной величиной, характеризующейся своим законом распределения, а значит, своими числовыми характеристиками – средним значением, или математическим ожиданием и дисперсией

Практически во всех системах СПУ априори принимается, что распределение продолжительности работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью; б) унимодальностью, т.е. наличием единственного максимума у кривой распределения; в) двумя точками пересечения кривой распределения с осью Ох, имеющими неотрицательные абсциссы.

Кроме того, установлено, что распределение продолжительности работ обладает п оложительной ассиметрией, т.е. максимум кривой смещен влево относительно медианы (линии, делящей площадь под кривой на две равные части). Распределение, как правило, более круто поднимается при удалении от минимального значения t и полого опускается при приближении к максимальному значению t (см.рис9.).

 

 

Определяют:

а) оптимистическую оценку т.е. продолжительность работы (i,j) при самых благоприятных условиях;

б) пессимистическую оценку т.е. продолжительность работы (i,j) при самых неблагоприятных условиях;

в) наиболее вероятную оценку т.е. продолжительность работы (i,j) при нормальных условиях.

Предположение о - распределении продолжительности работы (i,j) позволяет получить следующие оценки ее числовых характеристик:

Следует отметить, что обычно специалистам сложно оценить наиболее вероятное время выполнения работы Поэтому в реальных проектах используется упрощенная (и менее точная) оценка средней продолжительности работы (i,j) на основании лишь двух задаваемых временных оценок и :

Зная и , можно определять временные параметры сетевого графика и оценивать их надежность.

Так, при достаточно большом количестве работ, принадлежащих пути L, и выполнении некоторых весьма общих условий можно применить центральную предельную теорему Ляпунова, на основании которой можно утверждать, что общая продолжительность пути L имеет нормальный закон распределения со средним значением , равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ и дисперсией равной сумме соответствующих дисперсий :

Предположим, что сетевой график на рисунке представляет сеть не с детерминированными (фиксированными), а со случайными продолжительностями работ и цифры над работами-стрелками указывают средние значения продолжительности соответствующих операций, найденные по формуле, и известны все дисперсии , вычисленные по формуле.

Необходимо учесть, что параметры, представленные в таблице, теперь будут являться средними значениями соответствующих случайных величин: средней длиной критического пути , средним значением раннего срока наступления события , средним значением полного резерва времени работы и т.п.

Так, будет означать, что длина критического пути лишь в среднем составляет 61 сутки, а в каждом конкретном проекте возможны заметные отклонения длины критического пути от ее среднего значения (причем, чем больше суммарная дисперсия продолжительности работ критического пути, тем более вероятны значительные по абсолютной величине отклонения).

Поэтому предварительный анализ сетей со случайными продолжительностями работ, как правило, не ограничивается расчетами временных параметров сети. Весьма важным моментом анализа становится оценка вероятности того, что срок выполнения проекта не превзойдет заданного директивного срока T.

Полагая случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения, получим

 

 

Ø Пусть, например, для сети (см.рис.) дисперсии продолжительности работ критического пути равны: Оценить вероятность выполнения проекта в срок T = 63 суткам.

Решение. Найдем , используя формулы:

Теперь искомая вероятность

т.е. можно с известным риском предполагать выполнение проекта в срок.

Рассмотрим и пример решения обратной задачи: оценить максимально возможный срок Т выполнения проекта с надежностью

По формуле[1] т.е. с надежностью 0,95 срок выполнения проекта не превысит 69 суток.

 

Следует отметить, что для данной сети мы можем найти лишь весьма приближенные оценки и Т, ибо на основании теоремы Ляпунова вывод о нормальном законе распределения случайной величины правомерен лишь для достаточно большого числа критических работ, а в рассматриваемой сети их всего 6.

Однако приведенный метод расчета имеет принципиальные недостатки оценки параметров даже сложных сетей с большим количеством работ. Дело в том, что на практике нередки случаи, когда дисперсии длин некритических (но близких к критическому) путей существенно больше, чем. Поэтому при изменении ряда условий в данном конкретном комплексе работ возможен переход к новым критическим путям, которые в расчете не учитываются.

Различия между событиями с детерминированными случайными продолжительностями работ не следует путать с различием детерминированных и стохастических сетей. Последнее различие связано со структурой самой сети.

Рассмотренные до сих пор сети являлись детерминированными, хотя работы в них могли характеризоваться не только детерминированными, но и случайными продолжительностями. Вместе с тем встречаются проекты, когда на некоторых этапах тот или иной комплекс последующих работ зависит от неизвестного заранее результата. Какой из этих комплексов работ будет фактически выполняться, заранее не известно, а может быть предсказано лишь с некоторой вероятностью. Например, может быть предусмотрено несколько вариантов продолжения исследования в зависимости от полученных опытных данных или несколько вариантов строительства предприятий различной мощности по обработке сырья в зависимости от результатов разведки запасов этого сырья. Такие сети называются стохастическими.

В свою очередь стохастические сети, так же как и детерминированные, могут характеризоваться детерминированными либо случайными продолжительностями.

 

Коэффициент напряженности работы. Анализ и оптимизация сетевого графика

 

После нахождения критического пути и резервов времени работ и оценки вероятности выполнения проекта в заданный срок должен быть проведен всесторонний анализ сетевого графика и приняты меры по его оптимизации. Этот весьма важный этап в разработке сетевых графиков раскрывает основную идею СПУ. Он заключается в приведении сетевого графика в соответствие с заданными сроками и возможностями организации, разрабатывающей проект.

Вначале рассмотрим анализ и оптимизацию календарных сетей, в которых заданы только оценки продолжительности работ.

Анализ сетевого графика начинается с анализа топологии сети, включающего контроль построения сетевого графика, установление целесообразности выбора работ, степени их расчленения.

Затем проводятся классификация и группировка работ по величинам резервов. Следует отметить, что величина полного резерва времени далеко не всегда может достаточно точно характеризовать, насколько напряженным является выполнение той или иной работы некритического пути. Все зависит от того, на какую последовательность работ распространяется вычисленный резерв, какова продолжительность этой последовательности.

Определить степень трудности выполнения в срок каждой группы работ некритического пути можно с помощью коэффициента напряженности работ.

Коэффициентом напряженности К_н работы (i,j) называется отношение продолжительности несовпадающих (заключенных между одними и теми же событиями) отрезков пути, одним из которых является путь максимальной продолжительности, проходящий через данную работу, а другим – критический путь:

 

где - продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i,j);

- продолжительность (длина) критического пути;

- продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.

Формулу можно легко привести к виду

 

где - полный резерв времени работы (i,j).

Коэффициент напряженности может изменяться в пределах от 0 (для работ, у которых отрезки максимального из путей, не совпадающие с критическим путем, состоят из фиктивных работ нулевой продолжительности) до 1 (для работ критического пути).

Ø Найти коэффициент напряженности работы (1, 4) для сетевого графика.

Решение. Мы установили, что длина критического пути (сутки), а максимальный путь, проходящий через работу (1, 4) – путь - имеет продолжительность (суток). Максимальный путь L₄ совпадает с критическим (см.рис.) на отрезке продолжительностью (сутки). Используя формулу, найдем

Или иначе: зная полный резерв работы (см.рис.6), по формуле находим

Чем ближе к 1 коэффициент напряженности , тем сложнее выполнить данную работу в установленные сроки. Чем ближе к нулю, тем большим относительным резервом обладает максимальный путь, проходящий через данную работу.

Работы могут обладать одинаковыми полными резервами, но степень напряженности сроков их выполнения, выражаемая коэффициентом напряженности , может быть различна. И наоборот, различным полным резервам могут соответствовать одинаковые коэффициенты напряженности.

Так, полные резервы работ (3, 6) и (6, 7) для сетевого графика равны: (суток) – см.табл., а их коэффициенты напряженности различны:

Обратим внимание на то, что больший полный резерв одной работы (по сравнению с другой) не обязательно свидетельствует о меньшей степени напряженности ее выполнения. Так, в рассматриваемой сети (см.рис.), хотя работа (2, 7) обладает большим полным резервом по сравнению с работой (6, 10): , но имеет вдвое больший коэффициент напряженности: против Это объясняется разным удельным весом полных резервов работ в продолжительности отрезков максимальных путей, не совпадающих с критическим путем.

Вычисленные коэффициенты напряженности позволяют дополнительно классифицировать работы по зонам. В зависимости от величины выделяют три зоны: критическую (); подкритическую (); резервную ().

Оптимизация сетевого графика представляет процесс улучшения организации выполнения комплекса работ с учетом срока его выполнения. Оптимизация проводится с целью сокращения длины критического пути, выравнивания коэффициентов напряженности работ, рационального использования ресурсов.

В первую очередь принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Это достигается:

· перераспределением всех видов ресурсов, как временных (использование резервов времени некритических путей), так и трудовых, материальных, энергетических (например, перевод части исполнителей, оборудования с некритических путей на работы критического пути); при этом перераспределение ресурсов должно идти, как правило, из зон, менее напряженных, в зоны, объединяющие наиболее напряженные работы;

· сокращением трудоемкости критических работ за счет передачи части работ на другие пути, имеющие резервы времени;

· параллельным выполнением работ критического пути;

· пересмотром топологии сети, изменением состава работ и структуры сети.

В процессе сокращения продолжительности работ критический путь может измениться, в дальнейшем процесс оптимизации будет направлен на сокращение продолжительности работ нового критического пути и так будет продолжаться до получения удовлетворительного результата. В идеале длина любого из полных путей может стать равной длине критического пути или по крайней мере пути критической зоны. Тогда все работы будут вестись с равным напряжением, а срок завершения проекта существенно сократится.

Весьма эффективным является использование метода статистического моделирования, основанного на многократных последовательных изменениях продолжительности работ (в заданных пределах) и «проигрывании» на компьютере различных вариантов сетевого графика с расчетами всех его временных параметров и коэффициентов напряженности работ. Процесс «проигрывания» продолжается до тех пор, пока не будет получен приемлемый вариант плана или пока не будет установлено, что все имеющиеся возможности улучшения плана исчерпаны и поставленные перед разработчиком проекта условия невыполнимы.

До сих пор мы говорили лишь о соблюдении директивных сроков выполнения комплекса работ и не затрагивали непосредственно вопросов стоимости разработки проектов. Однако на практике при попытках эффективного улучшения составленного плана неизбежно введение дополнительно к оценкам сроков фактора стоимости работ.

 

Оптимизация сетевого графика методом «время – стоимость»

 

Оптимизация сетевого трафика в зависимости от полноты решаемых задач может быть условно разделена на частную и комплексную. Видами частной оптимизации сетевого графика являются: минимизация времени выполнения комплекса работ при заданной его стоимости; минимизация стоимости комплекса работ при заданном времени выполнения проекта.

Комплексная оптимизация представляет собой нахождение оптимального соотношения величин стоимости и сроков выполнения проекта в зависимости от конкретных целей, ставящихся при его реализации.

При использовании метода «время – стоимость» предполагают, что уменьшение продолжительности работы пропорционально возрастанию ее стоимости. Каждая работа (i,j) характеризуется продолжительностью t(i,j), которая может находиться в пределах

где - минимально возможная (экстренная) продолжительность работы (i,j), которую только можно осуществить в условиях разработки;

- нормальная продолжительность выполнения работы (i,j).

При этом стоимость с (i,j) работы (i,j) заключена в границах от (при нормальной продолжительности работы) до (при экстренной продолжительности работы).

Используя аппроксимацию по прямой (см.рис.), можно легко найти изменение стоимости работы при сокращении ее продолжительности на величину

Величина , равная тангенсу угла наклона аппроксимирующей прямой (см.рис.10), показывает затраты на ускорение

работы (i,j) (по сравнению с нормальной продолжительностью) на единицу времени:

Самый очевидный вариант частной оптимизации сетевого графика с учетом стоимости предполагает использование резервов времени работ. Продолжительность каждой работы, имеющей резерв времени, увеличивают до тех пор, пока не будет исчерпан этот резерв или пока не будет достигнуто верхнее значение продолжительности . При этом стоимость выполнения проекта, равная до оптимизации

уменьшится на величину

Для проведения частной оптимизации сетевого графика кроме продолжительности работ , необходимо знать их граничные значения и , а также показатели затрат на ускорение работ , вычисляемые по формуле. Продолжительность каждой работы целесообразно увеличить на величину такого резерва, чтобы не изменить ранние (ожидаемые) сроки наступления всех событий сети, т.е. на величину свободного резерва времени .

 

[1] определяем по таблице значений функции Лапласа.