Тригонометрические функции. Гиперболические функции sinh(z) tanh(z) csch(z) гиперболический синус гиперболический тангенс гиперболический косеканс

sin(z) csc(z)	синус косеканс
cos(z) sec(z)	косинус секанс
tan(z) cot(z)	тангенс котангенс

Гиперболические функции

sinh(z) tanh(z) csch(z)	гиперболический синус гиперболический тангенс гиперболический косеканс
cosh(z) sech(z) coth(z)	гиперболический косинус гиперболический секанс гиперболический котангенс

Обратные тригонометрические функции

аsin(z) аcos(z) аtan(z)

обратный тригонометрическийсинус обратный тригонометрическийкосинус обратный тригонометрическийтангенс

Показательные и логарифмические функции

exp(z) ln(z) log(z)

экспоненциальная функция (или еz) натуральный логарифм (по основанию е) десятичный логарифм (по основанию 10)

Функции работы с частью числа (округление и пр.)

Re(z) Im(z) arg(z)	выделение действительной части z выделение мнимой части z вычисление аргумента (фазы)
floor(x) ceil(x) mod(x,y) angle(x,y)	наибольшее целое, меньшее или равное х наименьшее целое, большее или равное х остаток от деления х/y со знаком х положительный угол с осью х для точки с координатами (x,y)

Приложение Б

Упражнение 1. Вычислить:

|-10| = 10! =.

Это и все остальные задания снабдить комментариями, используя команду Вставка Þ Текстовая область.

Упражнение 2. Определить переменные: a:= 3.4, b:= 6.22, c º 0.149 (причем переменную с - глобально) и выражения:

.

Вычислить выражения.

С помощью команды ФорматÞРезультатÞФормат чиселÞЧисло знаков изменить точность отображения результатов вычисления глобально.

Упражнение 3. Вывести на экран значение системной константы p и установить максимальный формат ее отображения локально.

Упражнение 4. Выполнить следующие операции с комплексными числами:

Z:= -3 + 2i |Z| = Re(Z) = Im(Z) = arg(Z) =

= = 2 × Z = Z1:= 1 + 2i Z2:= 3 + 4i

Z1 + Z2 = Z1 - Z2 = Z1× Z2 = Z1/Z2 =

Упражнение 5. Выполнить следующие операции:

i:= 1.. 10 = = = = x:= 2 = =

Упражнение 6. Символьно решить системы уравнений:

Упражнение 7. Решить СЛУ, используя функцию Find (Таблица 1):

Таблица 1 – Варианты заданий

№ варианта	Система линейных уравнений	№ варианта	Система линейных уравнений
		9.
		10.
		11.
		12.
		13.
		14.
		15.
		16.

 

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1.1. Изучить способы решения физических задач с помощью математического пакета MathCAD.

1.2. Изучить методы расчёта электрических цепей постоянного тока, однофазных и трехфазных цепей переменного тока.

ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ

2.1. ПЭВМ IBM PC.

2.2. Математический пакет MathCAD.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1. Изучить теоретические сведения.

3.2. Цепи постоянного тока.

Задача 1. Цепь состоит из нескольких ветвей, в каждой из которых находится источник ЭДС и резистор (см. рисунок 1). Необходимо рассчитать цепь, то есть определить токи во всех ее ветвях. Из законов Кирхгофа получаем систему уравнений:

Рисунок 1.

Для решения этой системы уравнений запишем матрицу:

Левую часть матрицы, содержащую коэффициенты при токах I_i, обозначим через A, а правую – через B. Чтобы получить матрицу токов в MathCAD используется оператор:

TOK:=A^-1 · B.

Задача 2. Рассчитайте цепь, состоящую из нескольких источников ЭДС и резисторов, и составьте баланс мощностей.

3.3. Однофазные цепи переменного тока

Задача 1. Цепь состоит из источника переменной ЭДС и трех ветвей, в каждой из которых резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Вторая и третья ветви соединены параллельно между собой, последовательно с ними включена первая ветвь. Рассчитайте все токи и напряжения, полную, активную и реактивную мощности. Определите действующие значения всех токов и напряжений.

Импеданс k-ой ветви, содержащей последовательно соединенные резистор , конденсатор C_k и катушку индуктивности , равен:

Если ветви 2 и 3 соединены параллельно, а ветвь 1 - последовательно с ними, то импеданс цепи:

Неизвестные токи и напряжения найдем из закона Ома:

Это позволяет построить векторную диаграмму цепи, рассчитать комплекс полной мощности.

Задача 2. Добавьте к предыдущей цепи четвертую ветвь параллельно источнику. Величины сопротивления, емкости и индуктивности подберите сами. Рассчитайте цепь.

Задача 3. Решите задачу 1 для случая, когда первая и третья ветви состоят из резистора, конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно.

3.4. Оформите отчет, сделайте выводы о проделанной работе.

4. Содержание отчёта:

4.1. Тема работы.

4.2. Цель работы.

4.3. Приборы и оборудование.

4.4. Выполнение работы.

4.5. Выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

5.1. Что необходимо для решения системы уравнений в пакете MathCAD?

5.2. Опишите структуру блока решения системы уравнений.

5.3. Какие выражения недопустимы внутри блока решения системы уравнений?

Теоретические сведения

Решение уравнений средствами MathCad

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Однако такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного системной переменной TOL).

Численное решение нелинейного уравнения

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в MathCad находится с помощью функции root (Рисунок 2).

root(f(х1, x2, …), х1, a, b)

Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Рисунок 2 – Решение уравнений средствами Mathcad.

Аргументы:

f(х1, x2, …) -функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

х1 – имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. MathCad использует его как начальное приближение при поиске корня.

a, b – необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b.

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть:

- Известны из физического смысла задачи.

- Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных.

- Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f(x) = 0 - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню

Отсутствие сходимости функции root

Если после многих итераций MathCad не находит подходящего приближения, то появится сообщение (отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

- Уравнение не имеет корней.

- Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

- Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

- Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.

- Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f(x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.

Рекомендации по использованию функции root

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Математика Þ Параметры… Þ Переменные Þ Допуск сходимости (TOL).

Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

Если функция f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция root(f(x), x) может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f(x) = 0 на g(x) = 0

.

Для выражения f(x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f(x) эквивалентно поиску корней уравнения h(x) = f(x)/(x ‑ a). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h(x), чем пробовать искать другой корень уравнения f(x) = 0, выбирая различные начальные приближения.

Решение систем уравнений

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

- Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. MathCad решает систему с помощью итерационных методов.

- Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCad, что далее следует система уравнений.

- Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, ³ и £.

- Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х, у).

Find(z1, z2,...)

Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое–либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

- Ограничения со знаком ¹.

- Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

- Неравенства вида a < b < c.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find.

Рисунок 3 – Решение систем уравнений в MathCAD.

Сообщение об ошибке (Решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда:

- Поставленная задача может не иметь решения.

- Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.

- В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения.

- Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL. Пример 1 Рисунка 3 иллюстрирует решение системы уравнений в MathCAD.

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1.1. Ознакомиться с возможностями быстрого построения графиков в MathCAD.

1.2. Изучить способы построения графика функции z=f(x,y) в виде поверхности в декартовой системе координат.

1.3. Научиться форматировать трёхмерные графики.

ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ

2.1. ПЭВМ IBM PC.

2.2. Математический пакет MathCAD.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1. Изучить теоретические сведения.

Задание 1. Построить график функции f(x) (Таблица 1) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x)= 0 с точностью e = 10 ^{– 4} с помощью встроенной функции MathCad root;

Таблица 1 – Варианты заданий

№ варианта	f(x)	№ варианта	f(x)
		9.
		10.	arccos -x х Î [2, 3]
		11.
		12.
		13.
		14.
		15.	х5 – х – 0,2 х Î [1, 2]
		16.	arcsin -x х Î [1, 2]

Упражнение 8. На одном графике построить декартовы (X-Y Зависимость) графики следующих функций:

Для этого необходимо определить a как дискретный аргумент на интервале от 0 до 2×p с шагом p/30.

3.2.

3.3. Оформите отчет, сделайте выводы о проделанной работе.

4. Содержание отчёта:

4.1. Тема работы.

4.2. Цель работы.

4.3. Приборы и оборудование.

4.4. Выполнение работы.

4.5. Выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

5.1. На какие типы делятся графические области?

5.2. Что необходимо для создания декартового графика?

Теоретические сведения

Графические области

Графические области делятся на три основных типа - двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные графики строятся самим MathCAD на основании обработанных данных.

Для создания декартового графика:

- Установить визир в пустом месте рабочего документа.

- Выбрать команду Вставка Þ График Þ Х-У график, или нажать комбинацию клавиш Shift + @, или щелкнуть кнопку панели Графики. Появится шаблон декартового графика.

- Введите в средней метке под осью Х первую независимую переменную, через запятую – вторую и так до 10, например х1, х2, …

- Введите в средней метке слева от вертикальной оси Y первую независимую переменную, через запятую – вторую и т. д., например у1(х1), у2(х2), …, или соответствующие выражения.

- Щелкните за пределами области графика, что бы начать его построение.

Трехмерные, или 3D-графики, отображают функции двух переменных вида Z(X, Y). При построении трехмерных графиков в ранних версиях MathCAD поверхность нужно было определить математически. Теперь применяют функцию MathCAD Create Mesh.

 

 

 

[1] В ОС Windows XP — Общий доступ и безопасность