1 (). 192 . .
2. ABCDA1B1C1D1 . , :
1) DC1 c ();
,
ABCD (A 1B1C1D1) α,
11 (DD1C1C) β,
1D1D (BB1C1C) γ.
: α =45, β=0,γ=45.
2) D1 c ();
(1).
: α =β=γ=arctg 
.
3)A1D 1 1;
.
1. 1 ^ 1 1,
OD A1D 11.
Ð1DO=α .
2. D1DO .
3. 1, A1D .
4. sinα.
: 30.
4) A1 1 1;
1. 1 ^ 1 1, 1^ 1 1,
O1 A1 1 1.
Ð1O = α .
2. D1O .
3. 1, .
4. tg α.
: arctg 
.
5) A1D 1D;
1. 1 ^ 1D, OD A1D
1D;
Ð1DO = α .
2. D1DO .
3. 1D, D .
4. cos α.
: arccos 
.
6) 1D 1D;
1. 1 ^ 1D, ^ 1D,
1 1D;
OD 1D 1D;
ÐDO = α .
2. DDO .
3. D, D . 4. cos α. : arccos 
.
7) 1 1D;
1. 1 ^ 1D, O 1
1D;
Ð = α .
2. DDP .
3. , DC .
4. tg α.
: arctg .
. DP, cos α. α = 
.
3. . φ, :
1) , ;
.
.
1. ^; Ж , ,
Ð=φ.
2. .
3. cos φ.
: .
.
2)
;
.
.
1. ^; , , Ð=φ.
2. .
3. cos φ : 
.
3)
;
.
.
1. F^, F^.
2. , PF ,
ÐF=φ=Ð.
3.
.
4. sin φ. : 
.
4. 20 . 6 4 . .
|
|
|
.
1. D1~D1.
2. .
3. sin ÐAOA1.
: 30.
5. 1 α β, Îα, Îβ. α φ1, β φ2. .
.
1. : 1^ l, B2^ l.
2. 1^β, 2^α.
3. 1 (D1).
4. 2 (D2).
5. 1 (D1), 2 (D2).
6.12.
: 
.
6. 3 , 4 , 5 . , .
.
1. α , 1D
ABCD.
β , 1D
AA1B1B.
γ , 1D
BB1CC1.
2. B1D.
3.sin α. 4. sin β. 5. sin γ.
: 45, 
, 
.
7. , l 30, 45.
.
1. Ð1DB=30, Ð1D=45.
2. 1, BD.
3. D.
4. AB.
5. V 
.
: 
.
8. - 3 ; 30 45. .
.
h.
1. BD D h.
2. h.
3. h
(DAOD).
4. , OD.
5. cos ÐOAD, cosÐODA ( ,
).
6. ÐOAD, ÐODA.
7. ÐAD, ÐDA.
: 3 , 60, 120.
9. и 3:4:12. . .
.
1. :
1 ^ 1 1, 1 ^ 1 1,
DN ^ AC, DN ^ 1 1,
MN B1D 1 1.
Ð j - .
2.
.
1, B1 .
3. sin Ðj (D B1M).
: 
10. 111, , 1 11.
.
1.: 1^11, .
2. 11, 1^ 11.
3. 1.
4. 1.
5. sinj.
: 
.
11. 111 12. - D, =, =18, tgC=0,4. 1 11.
.
1. : ^. ^ 11.
Ðj - .
2. .
3. tg C, AP.
4. C1P.
5.tg j.
: 0,24.
12. ABCD , . .
.
1. ^ABCD, ^: ^.
2. - .
3. Ð .
: Ð.
13. ABC , , ABC. OS . SO SC.
.
1. : ^ASC, SP, SK, AP,
CP, OP,OC.
2. SP SO ASC.
|
|
|
3. SA=SC (
). DASC-.
4. AP=CP ( ).
5. ,
SK ASC.
: SO SC j =ÐOSK.
. , 13 , (, , , ).
14. h φ . .
.
1. ÐOSP=j ( 10).
2. , SP.
3. AD.
4. S .
: 
15. SABCD ABCD. 3:1, , SM . SC , SD α.
.
.
1. MD .
2. SM .
3. .
4.tgÐSCM.
: 
16. SABC : = 
, SC=17. , , SBC.
.
1. .
1.1. SO ^ ABC.
1.2. MF || SO.
1.3. ÐMAF- .
2. AD. 3. OD. 4. DF. 5. AF.
6. OC. 7. SO. 8. MF. 9. tgÐMAF.
: 
.
17. K, S. 3 α. .
.
1. O. (
, = sin α).
2. VAC.
: S×sinα.
18. ABCDA1B1C1D1 . , :
1) 11 .
.
1. Ð1 - .
2. tgφ, Ð1=φ.
: 45.
2) 1D1 .
.
1. ÐD - .
: 90.
3) 1D1 .
.
1. l 1D1
(l 1D1 D).
2. Ð1 - .
3. tgφ, Ð1=φ.
: 
4) 1D1 B1D1.
.
1.1 .
ÐA1O - .
2. tgφ, ÐA1O=φ.
: 
5) D1C1 B11.
.
1. 1 .
ÐB1D -
2. BD, O1D, cosφ (DBO1D), ÐB1D =φ.
: 
. D1D (. 222) 
.
: 
6) C1D 11.
.
1. 11 ^ C1D ( 22, .20)
2. C1D ^ 11.
: 90.
7) 1D 1D.
.
1.: ^ B1D, .
2. =, ^ B1D.
3. Ð .
4. (
AB1D, ).
5. .
6. cosφ, Ð =φ
( ).
: φ=120, 60.
19. . , :
1) ;
.
1. : ;
, ;
2. ,
;
3. cosφ, ÐSKO=φ.
: .
, .
2) ,
;
.
1. : SM, SK ,
SMK .
P - MK, SP ^ MK, NP ^ MK,
ÐSPN .
2. SP, NP, SN
;
3. cosφ,
|
|
|
ÐSPN=φ.
: 
3) ,
, ;
.
1. : SK, S ,
SK .
l SK
ASC, l || AC.
MS ^ l, NS ^ l, ÐMSN .
2. SN, NM, SM
;
3. cosφ,
ÐMSN=φ.
: 
4) , ;
.
1. : MNPK, LNFK (. 228, 229). .
. 230. NK. ^ NK, OF. ÐMOF .
2. MF2 = OM2 + OF2. .
: 90.
20 (). . ?
. , .
α, β ,
τ 1,τ2 .
21 (). . . :
1) (. 232); 2) (. 232); 3) (. 233).
: 1) Ð; 2) Ð; 3) ÐLC.
22 (). D D, . :
1) PAD ; 2) PCD ; 3) PAD PCD.
: 1) Ð ; 2) Ð . 3) Ð .
4) PAD PC.
: Ð .
23. . , , α. . .
.
1. ^ AD, PA ^ AD: Ð= α.
2. Ð= α.
3. B, AB, SDAPB.
4. SDAPB=SDCPB.
5. AP.
6. DAPD . SDAPD.
7. SDAPD= SDCPD.
8. S .
: 
24. , S. , 30 60. .
.
1. = . .
2. = . .
3. S (
, (1) (2)).
4. .
: 
25. . β, α. .
.
1. : ^ AD, SK; BP ^ DC, SP.
2. .
3. S.
4. SDSAB.
5. S, SDSAD.
6. SDSAB= SDSB, SDSAD= SDSD.
7. S .
: 
26. , . , , α , α. .
.
1. :
1.1. P ^ BC, P ^ ABC.
P ;
1.2. ^ , .
2. Ð .
Ð .
|
|
|
Ð =Ð =α=Ð.
3. , , SDAB.
4. ,
Ð.
5. . 6. . 7.VPABC.
: 
27. , , α. , , α. .
.
1. :
1.1. P ^ B, P ^ ABC.
P ;
1.2. ^ , .
1.3. ^ , .
2. Ð .
Ð C .
Ð =Ð =α=ÐABC.
3. , , SDAB.
4. Ð.
5. == . 6. DM~D. 7. .
8. . 9. VPABC.
: 
28. ABCD m 2, BD AD. AB CD 60, AD BC 45. .
(. 242).
.
D (Î).
Ð=Ð, DC.
BD AD BC (. 243) PDB PBD , AD BC.
( ). , BD.
.
1. AD×BD = m 2.
2. BD= 
.
3. AD×PD= 
.
4. DAPD .
5. S DAPD= 
=SDBPC.
6. KM×DC= m 2. 7. KM=PM. 8. PM×DC= m 2. 9. S DPDC= 
m 2=SDAPB.
10. S .
: 
29. . , , α. .
.
1. : 1, Ð1 = α.
2. . 3. . 4. S .
: 
30. , , . j, , , h.
.
1. ND
2. ÐNDC
, ÐNDC=j.
3. DD1=DN.
4. cosj.
: 
31. , D, q. , α.
.
1. : ADP, BP ^ AC, DP.
DPB=Ðβ.
2. SDADC= 
. q =
3. PD .
4.
.
5.V.
: 
32. 4 , 
. 45 . .
.
1. :
1.1. .
1.2. l ,
(l || ).
1.3. 1 .
1 ^ l, ^ l (- ).
1.4. Ð 1 = 45.
2. 11. 3. 1. 4. (
.
5. . 6. 1. 7. S DKBP. 8. .
: 
33. . , , - , α. .
.
1. : ^1, ^1.
ÐC 11
11.
, ÐC
11 11.
ÐC=ÐC=α.
2. . 3. (D). 4. (D). 5.1.
6. S .
: 
34. , S. , , , , α.
.
1. :
1.1. ^ 1, .
^ 1.
|
|
|
1.2. ^ , , Ð=α. .
1.3. 1 ^. 1 Ì 1. .
2. Ð 1 = Ð=α.
3. 1. 4. V. : b Scosα.
35. , α. j .
.
1. (. 251).
1.1
.
1.2. l: Î l, l || , , .
1.3. 1N = DD2.
1.4. MNPD2 .
2. MNPD2
(
).
3. ÐND2B2 =j. . ( n 222D2, ).
4. = , B2D2 = . 5. ND2 . 6. cos j.
: 
3.3.1.
36. , AZ . A ZC.
.
1..
: Î , || AB.
2. Z , ,
.
ÐZCA=α, ÐACK=β, ÐZCK=γ
γ .
3. α. 4. β. 5. cos γ ( ). 6. sinγ, tgγ.
: 
37. , , . .
.
1. :
^τ, Ð .
2. Ð, Ð.
3. ,
, .
cosÐ (
).
: 45.
38. j1 j2. .
.
11, AD1 , 1- , 1 , .
1. 
, 
(
)
2. 
3. 
4. cos γ. 5. γ.
: 
39. h. . , 2j.
.
1. 1
, ,
.
Ð1=α, Ð=β, Ð1=γ
2. Ð1 2j.
3. cos α. 4. sin α. 5. 1.
6. S.
: 
40. . .
.
1. ÐSDE.
2. ÐODE.
3.
ÐSDE=γ, ÐODE=β, ÐSDO=α,
SD
, OD , DE - .
(
).
4. 
.
: 
.
41. h, 2j. .
.
1. ÐPCD.
2. ÐOCD.
3. cosÐPCO ( ):
, , DC .
4. sinÐPCO.
5. PC.
6. SDDPC.
7. S .
: 
