Під час гармонічного коливального руху кінетична енергія коливальної системи і потенціальна енергія взаємодії невпинно змінюються

Повна енергія коливального руху:

 

; ,

поскільки .

Кінетична енергія змінюється за гармонічним законом, але з подвоєнною частотою.

кількісно дорівнює роботі квазіпружньої сили ;

;

; .

 

Потенціальна енергія змінюється як і кінетична енергія, з частотою і в тиж же межах від 0 до , але зі зсувом фаз відносно кінетичної енергії на p.

 

 

Представлення коливань у вигляді вектора.

Для цього зобразимо гармонічне коливання графічно методом обертового вектора амплітуди

З точки 0, вибрані на вісі Х, під кутами (початкова фаза першого коливання) і (початкова фаза другого коливання) відкладаємо модуль амплітуд і (Рис.1).

При обертанні векторів амплітуд навколо точки 0 з кутовою швидкістю , проекції векторів будуть переміщуватись по вісі Х в межах числових значень амплітуд, змінюючись згідно з гармонічним законом.

 

 

 

,

.

 

Вільні коливання.

Вільні коливання виникають під дією внутрішніх сил. Умови виникнення вільних коливань

- хоча б одна з сил, що діє на тіло, має бути функцією координат;

- має бути рівноважне положення, при виведенні з якого ненульова рівнодійна всіх сил має бути направлена в бік положення рівноваги;

- сили тертя мають бути достатньо малими (?)

Характеристики коливань:

- період коливань, мінімальний відрізок часу, за який відбувається повторення.

- частота коливань, число коливань за 1 секунду.

- циклічна частота, число коливань за секунд.

Рівняння руху матиме вигляд

	пружинний маятник (сила пружності)
	математичний маятник (вся маса зосереджена в одній точці)

 

- диференційне рівняння вільних коливань, де частота та період

,	пружинний маятник
,	математичний маятник

 

- рівняння вільних гармонічних коливань,

де х – зміщення тіла від положення рівноваги, А – амплітуда коливань (модуль максимального відхилення від положення рівноваги), - циклічна частота, - фаза коливань (визначає значення величини, що змінюється з часом, в конкретний момент часу), - початкова фаза.

- миттєва швидкість. - максимальна швидкість.

- миттєве прискорення. - максимальне прискорення.

Затухаючі коливання.

Розглянемо затухаючі коливання – коливання, амплітуда яких внаслідок втрати енергії реальною коливальною системою з плином часу зменшується. Простим механізмом зменшення енергії коливань з’являється її перетворення в теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат і випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

Диференціальне рівняння затухаючих коливань лінійної системи задається у вигляді:

, де S – коливальна величина, що описує той чи інший фізичний процес,

d - const - коефіцієнт затухання, - циклічна частота вільних незатухаючих коливань тієї ж коливальної системи, тобто при d = 0 (при відсутності втрат енергії).

Рішення рівняння у випадку малих згасань ()

,

де - амплітуда затухаючих коливань, а – початкова амплітуда.

 

Рис.

Проміжок часу , за який час амплітуда затухаючих коливань зменшується в е разів, зветься часом релаксації.

Якщо затухання мале, то можна умовно користуватись поняттям періоду як проміжок часу між двома послідовними максимумами (чи мінімумами) коливальної фізичної величини. Тоді період затухаючих коливань з урахуванням формули

рівняється .

Якщо A(t) і A(t+T) - амплітуди двох послідовних коливань, відповідних моментам часу, що відрізняються на період, то відношення

 

називається декрементом затухання, а його логарифм

- логарифмічним декрементом затухання;

N – число коливань, здійснюваних за час зменшення амплітуди у е разів.

Для характеристики коливальної системи користуються поняттям добротності Q яка при малих значенням логарифмічного декремента дорівнює

, а поскільки згасання невелике () то Т прийнято рівним .

Застосуємо висновки, одержані для вільних затухаючих коливань лінійних систем, для коливань різної фізичної природи, для пружинного маятника масою m, що здійснює малі коливання під дією пружної сили F = -кх, сила тертя пропорційна швидкості, тобто , де r – коефіцієнт опору; знак мінус указує на протилежні напрямки тертя і швидкості.

За даних умов закон руху маятника матеме вигляд:

 

 

Використовуючи формулу і вважаючи, що коефіцієнт затухання , одержимо диференціальне рівняння затухаючих коливань маятника:

 

Маятник коливається по закону з частотою .

Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань заряду в контурі (при R ¹ 0) має вигляд:

.

Коефіцієнт затухання також коливання заряду здійснюються за законом з частотою , добротність коливального контура .

На закінчення відмітимо, що при збільшенні коефіцієнта затухання період затухаючих коливань зростає і при обертається в безкінечність, тобто рух перестає бути періодичним. В даному випадку коливальна величина асимптотично наближається до нуля, коли t ® ¥. Процес не буде коливальним. Він зветься аперіодичним.