Применение матриц и систем линейных уравнений

Типовой расчет № 4

Решение линейных систем

Фундаментальная система решений

Задание 1

Исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместимость и найти решение, если она совместна, методом Гаусса. Выполнить проверку.

 

 

Задание 2

Заданы затраты трех видов сырья на производство каждого из трех видов продукции и количество каждого вида сырья.

 

				Запасы сырья

 

Требуется определить план производства, который бы обеспечил полное использование сырья.

 

	Вариант
	0,6				0,5	1,5	0,2		0,9		0,4	0,1		0,3	0,7

 

Вариант

0,8

Задание 3

На базе находится товар трех видов А, В, С, которым она снабжает ларьки, магазины и универмаги. За определенный период торговые организации могут реализовать товар в количестве, указанном в таблице. Сколько ларьков, магазинов и универмагов может обеспечить база, чтобы полностью продать товар. Решение найти методом Жордана – Гаусса.

 

Товар	Ларек	Магазин	Универмаг	Количество товара на базе
А	m–2	m–1	m+4	n–2
В	m+1	m	m+7	n+9
С	m	m+2	m+1	n+5

 

	Вариант
mn
m	3,6			3,2			4,2			4,6			2,4
n

 

	Вариант
mn
m	4,4			3,4			2,8			3,6			2,6
n

 

Задание 4

Решить системы методом Жордана – Гаусса

 

Задание 5

Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).

 

3x1+x2-4x3+2x4+x5=0 2x1-2x2-3x3-7x4+2x5=0 x1+11x2+34x4-5x5=0	x1+2x2-2x3-3x4=4 2x1+5x2-x3-4x4=9 x1+3x2+x3-x4=5
7x1+2x2-x3-2x4+2x5=0 x1-3x2+x3-x4-x5=0 2x1+3x2+2x3+x4+x5=0	x1-4x2+2x3+3x4=5 2x1-7x2+4x3+x4=9 x1-3x2+2x3+x4-3x5=4
x1+x2+10x3+x4-x5=0 5x1-x2+8x3-2x4+2x5=0 3x1-3x2-12x3-4x4+4x5=0	x1+2x2-3x3-4x4=1 3x1+7x2-2x3-x4=4 2x1+5x2+x3+3x4=3
6x1-9x2+21x3-3x4-12x5=0 -4x1+6x2-14x3+2x4+8x5=0 2x1-3x2+7x3-x4-4x5=0	x1-5x2+3x3+4x4=4 2x1-9x2+2x3+x5=7 x1-4x2-x3-4x4+x5=3
2x1-2x2+2x3-x4+x5=0 x1+10x2-3x3-2x 4 -x5=0 4x1+19x2-4x3-5x4-x5=0	x1+3x2-x3-2x4=1 2x1+7x2-4x3-3x4=3 x1+4x2-3x3-x4=2
5x1-2x2+9x3-4x4-x5=0 x1+4x2+2x3+2x4-5x5=0 6x1+2x2+11x3-2x4-6x5=0	x1+x2+4x3+2x5=0 3x1+4x2+x3+3x4=1 2x1+3x2-3x3+3x4-2x5=1
12x1-x2+7x3+11x4-x5=0 24x1-2x2+14x3+22x4-2x5=0 x1+x2+x3-x4+2x5=0	x1-2x2+2x3+3x4=0 2x1-3x2+x3+4x4=1 3x1-5x2+3x3+7x4=1
x1+2x2+x3+4x4+x5=0 2x1+x2+3x3+x4-5x5=0 x1+3x2-x3+6x4-x5=0	x1-x2+4x3+3x4=0 3x1-2x2+x3+3x5=1 2x1-x2-3x3-3x4+2x5=1
2x1+3x2+3x3-3x4-x5=0 x1+6x2-x3+x4+2x5=0 x1+16x2-6x3+6x4+7x5=0	x1-2x2+2x3+3x4=0 3x1-5x2+x3+4x4=1 2x1-3x2-x3+x4=1
x1+2x2-x3+x4-x5=0 x1+x2+2x3-x4+x5=0 2x1+3x2+x3=0	x1-3x2+4x3+3x5=2 3x1-8x2+x3+2x4=5 2x1-5x2-3x3+2x4-3x5=3
8x1+x2+x3-x4+2x5=0 3x1-3x2-2x3+x4-3x5=0 5x1+4x2+3x3-2x4+5x5=0	x1-3x2+x3+2x4=4 2x1-5x2+4x3+3x4=7 x1-2x2+3x3+x4=3
x1+3x2-x3+12x4-x5=0 2x1-2x2+x3-10x4+x5=0 3x1+2x2+2x4=0	x1-x2+3x3+4x4=0 4x1-3x2+x3+2x5=1 3x1-2x2-2x3-4x4+2x5=1
7x1-14x2+3x3-x4+x5=0 x1-2x2+x3-3x4+7x5=0 5x1-10x2+x3+5x4-13x5=0	x1+4x2-2x3-3x4=2 2x1+9x2-x3-4x4=5 x1+5x2+x3-x4=3
x1+2x2+3x3+x4-x5=0 2x1-2x2-6x3-4x4+x5=0 3x1-2x2+3x3+3x4-x5=0	x1-2x2+3x3+4x5=1 4x1-7x2+2x3+4x4=3 3x1-5x2-x3+x4-4x5=2
x1+x2+x3-x4-x5=0 2x1+x2-2x3-x4-2x5=0 x1+2x2+5x3-2x4-x5=0	x1-x2+3x3+4x4=0 2x1-x2+2x3+x4=1 4x1-3x2+8x3+9x4=1
2x1+2x2-2x3+x4-3x5=0 3x1-x2+2x3-x4+2x5=0 x1-3x2+4x3-2x4+5x5=0	x1+x2-3x3-4x4=1 4x1+5x2-2x3-x5=3 3x1+4x2+x3+4x4-x5=2
x1+2x2-3x3+10x4-x5=0 -x1-2x2+3x3+10x4+x5=0 x1+6x2-9x3+30x4-3x5=0	x1-4x2+2x3+3x4=5 2x1-7x2+4x3+x4=9 x1-3x2+2x3-2x4=4
2x1+x2-x3+7x4+5x5=0 x1-2x2+3x3-5x4-7x5=0 3x1-x2+2x3+2x4-2x5=0	x1+2x2-2x3-3x5=4 2x1+5x2-x3-4x4=9 x1+3x2+x3-4x4+3x5=5
2x1-2x2-3x3-7x4+2x5=0 x1+11x2+34x4-5x5=0 x1-5x2-2x3-16x4+3x5=0	x1-5x2+3x3+4x4=4 2x1-9x2+2x3+x4=7 x1-4x2-x3-3x4=3
3x1+x2-8x3+2x4+x5=0 x1+11x2-12x3-5x5=0 x1-5x2+2x3+x4+3x5=0	x1+2x2-3x3-4x4=1 3x1+7x2-2x3+x5=4 2x1+5x2+x3+4x4+x5=3
x1+3x2-5x3+9x4-x5=0 2x1+7x2-3x3-7x4+2x5=0 x1+4x2+2x3-16x4+3x5=0	x1+x2+4x3+2x4=0 3x1+4x2+x3+3x4=1 2x1+3x2-3x3+x4=1
5x1+2x2-x3+3x4+4x5=0 3x1+x2-3x3+3x4+4x5=0 6x1+3x2-2x3+4x4+5x5=0	x1+3x2-x3-2x5=1 2x1+7x2-4x3-3x4=3 x1+4x2-3x3-3x4+2x5=2
3x1+2x2-2x3-x4+4x5=0 7x1+5x2-3x3-2x4+x5=0 x1+x2+x3-7x5=0	x1-x2+4x3+3x4=0 3x1-2x2+x3+2x4=1 2x1-x2-3x3-x4=1
6x1+3x2-2x3+4x4+7x5=0 7x1+4x2-3x3+2x4+4x5=0 x1+x2-x3-2x4-3x5=0	x1-2x2+2x3+3x4=0 2x1-3x2+x3+4x5=1 3x1-5x2+3x3+3x4+4x5=1
3x1-5x2+2x3+5x4=0 7x1-4x2+x3+3x4=0 5x1+7x2-4x3-9x4=0	x1-3x2+4x3+3x4=2 3x1-8x2+x3+2x4=5 2x1-5x2-3x3-x4=3
x1+x2+3x3-2x4+3x5=0 2x1+2x2+5x3-x4+3x5=0 x1+x2+4x3-5x4+6x5=0	x1-2x2+2x3+3x5=0 3x1-5x2+x3+4x4=1 2x1-3x2-x3+4x4-3x5=1
x1+2x2+3x3-2x4+x5=0 x1+2x2+7x3-4x4+x5=0 x1+2x2+11x3-6x4+x5=0	x1-x2+3x3+4x4=1 4x1-3x2+x3+2x4=1 3x1-2x2-2x3-2x4=1
6x1+3x2+2x3+3x4+4x5=0 4x1+2x2+x3+2x4+3x5=0 2x1+x2+x3+x4+x5=0	x1-3x2+x3+2x4=4 2x1-5x2+4x3+3x5=7 x1-2x2+3x3-2x4+3x5=3
3x1+2x2+4x3+x4+2x5=0 3x1+2x2-2x3+x4=0 3x1+2x2+16x3+x4+6x5=0	x1-2x2+3x3+4x4=1 4x1-7x2+2x3+x4=3 3x1-5x2-x3-3x4=2
x1+x2+x3+2x4+x5=0 x1-2x2-3x3+x4-x5=0 2x1-x2-2x3+3x4=0	x1+4x2-2x3-3x5=2 2x1+9x2-x3-4x4=5 x1+5x2+x3-4x4+3x5=3

Задание 6

Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.

Задание 7

Исследовать следующую систему линейных уравнений:

.

Задание 8

Привести матрицу к ступенчатому виду .

Задание 9

Вычислить ранг матрицы .

Задание 10

Найти собственные числа и собственные вектора матрицы А.

 

 

Типовой расчет № 5

Применение матриц и систем линейных уравнений

В экономике

Задание 1

В таблице приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с потреблением 3 видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

 

Вид изделия, №п/п	Производительность предприятий, изд. /день	Затраты видов сырья изделия, ед. веса / изд.
	Количество рабочих дней в году	Цена видов сырья

 

Требуется определить:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.

По данным таблицы составить новую таблицу по следующим условиям:

– дневная производительность всех предприятий увеличивается на 100%;

– число рабочих дней в году для первого предприятия увеличивается на 50%, а для остальных – на 40%;

– цены на виды сырья уменьшаются соответственно на 10, 20 и 30%.

Определить суммы кредитования предприятий и их соответ-ствующие процентные изменения.

 

Задание 2

В таблице приведены данные по балансу за некоторый промежуток времени между тремя отраслями промышленности. Необходимо: 1) найти векторы конечного потребления и валового выпуска; 2) найти матрицу коэффициентов прямых затрат; 3) определить является ли она продуктивной, используя два критерия продуктивности; 4) установить объём валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям возрастет соответственно до условных денежных единиц. Решить задачу одним из методов: Крамера, обратной матрицы, Гаусса, Жордана – Гаусса. 5) определить процентные изменения валовых выпусков, необходимых для обеспечения заданного увеличения компонент вектора конечного продукта.

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

 

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

Типовой расчет № 6