Застосування загального рівняння динаміки до дослідження руху механічної системи з одним ступенем вільності

1. Загальне рівняння динаміки уявляє собою синтез двох принципів – принципу Даламбера і принципу можливих переміщень. Назва вказує на універсальність рівняння, яке дає найбільш загальний метод розв’язування задач динаміки руху невільної механічної системи.

2. Загальне рівняння динаміки формулюється так: при русі механічної системи з ідеальними утримуючими в’язями в кожен даний момент часу алгебраїчна сума можливих робіт активних сил і сил інерції на будь-якому можливому переміщенні цієї системи дорівнює нулю.

або (1)

3. При поступальному русі твердого тіла сили інерції точок тіла зводяться до рівнодійної сили, яка визначається за формулою

(2)

4. При обертальному русі твердого тіла навколо нерухомої осі, яка є головною центральною віссю інерції, сили інерції точок цього тіла зводяться до пари сил, момент якої визначається за формулою:

(3)

5. При плоско паралельному русі твердого тіла, яке має площину симетрії і рухається паралельно до неї, сили інерції точок цього тіла зводяться до сили, прикладеної в центрі мас тіла, і яка дорівнює головному вектору сил інерції, і до пари сил, що лежить в площині симетрії, момент якої дорівнює головному моменту сил інерції відносно осі, що проходить через центр мас перпендикулярно до нерухомої площини:

(4)

План розв’язання задач за допомогою загального рівняння динаміки

1. Показати на схемі системи активні сили.

2. Якщо серед в’язей, накладених на систему, є неідеальні в’язі, то треба показати реакції неідеальних в’язей на рисунку і в подальшому вважати ці сили активними.

3. Показати на схемі системи сили інерції.

4. Дати системі можливе переміщення і визначити на цьому переміщенні алгебраїчну суму робіт активних сил, сил інерції, сил реакцій неідеальних в’язей і прирівняти її до нуля.

5. Знайти залежності між можливими переміщеннями точок прикладання сил і виразити їх через яке-небудь одне можливе переміщення.

6. Підставити отримані значення можливих переміщень в рівняння робіт і спростити цей вираз.

7. З отриманого рівняння знайти шукану величину.

Приклад виконання завдання Д-19.

Завдання Д-19 (рис.1).

Для заданої механічної системи визначити прискорення вантажу 1 і натяг в вітці нитки, до якої прикріплений вантаж. Масами ниток знехтувати. Тертя кочення і сили опору в підшипниках не враховувати. Система рухається зі стану спокою.

рис.1

Дано: схема системи (рис.1). Вага тіл системи:

Маси тіл системи:

. Коефіцієнт тертя ковзання тіла 1 по площині: f =0,1. Радіуси ступенів блока 2: R/r =3. Радіус інерції блока 2:

. Тіло 3, що котиться по площині без ковзання, вважати однорідним циліндром.

Розв’язання (рис.2).

рис.2

1. Механічна система має один ступінь вільності, тобто одне незалежне можливе переміщення. 2. Покажемо на схемі системи активні сили:

. Для тіла 1 площина є неідеальною в’яззю.

Покажемо на схемі реакції неідеальної в’язі і , і вважаємо їх активними силами:

3. Проведемо кінематичний розрахунок системи, виразивши кутові швидкості тіл 2 і 3, і швидкість точки С тіла 3 через швидкість тіла 1, яке здійснює поступальний рух.

Тіло 2 здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі, що проходе через точку О перпендикулярно до площини рисунка:

Тіло 3 здійснює плоско паралельний рух:

Випишемо отримані результати в перший стовпець таблиці:

Диференціюючи за часом (перший стовпець таблиці), отримаємо залежності між прискореннями (другий стовпець таблиці). Приймаючи до уваги перший стовпець таблиці, отримаємо залежності між можливими переміщеннями – третій стовпець таблиці.

4. Визначимо головні вектори і головні моменти сил інерції і покажемо їх на схемі (рис.2):