Застосування принципу Даламбера до визначення реакцій в’язей

1. Принцип Даламбера для невільної матеріальної точки: в кожен момент руху невільної матеріальної точки геометрична сума активних сил, реакцій в’язей і сили інерції дорівнює нулю:

(1)

Вектор , який дорівнює по модулю добутку маси матеріальної точки на її прискорення і направлений протилежно вектору прискорення, називається даламберовою силою інерції, або просто силою інерції матеріальної точки:

. (2)

Якщо рух матеріальної точки заданий природним способом, то прискорення цієї точки визначається за формулою:

.

В цьому випадку сила інерції уявляє собою суму двох складових:

Дотична і нормальна складові сили інерції визначаються за формулами:

, (3)

2. Принцип Даламбера для невільної механічної системи матеріальних точок: якщо до кожної матеріальної точки рухомої механічної системи крім активних сил і реакцій в’язей прикласти відповідну силу інерції, то у будь-який момент руху діючі на цю точку активні сили, сили реакцій в’язей і сили інерції утворюють зрівноважену систему сил і до неї можна застосовувати всі рівняння статики

(4)

Для розв’язання задач застосовують не сам принцип Даламбера, а наслідки з нього: головний вектор і головний момент відносно будь-якого центра прикладених до системи зовнішніх сил і сил інерції всіх її точок дорівнюють нулю:

, (5)

3. Головний вектор сил інерції механічної системи дорівнює добутку маси системи на прискорення центра мас і напрямлений протилежно цьому прискоренню:

(6)

Головний момент сил інерції механічної системи відносно деякого центра О дорівнює взятій зі знаком «мінус» похідній за часом від кінетичного момента системи відносно того ж центра

(7)

4. Зведення сил інерції точок твердого тіла до найпростішого виду:

- при поступальному русі твердого тіла сили інерції точок цього тіла зводяться до рівнодійної сили, яка прикладена в центрі мас тіла і дорівнює по модулю добутку маси тіла на модуль прискорення його центра мас і напрямлена протилежно цьому прискоренню:

(8)

- при обертальному русі твердого тіла навколо нерухомої осі, яка є головною центральною віссю інерції, сили інерції точок цього тіла зводяться до пари сил, момент якої визначається за формулою:

(9)

- при плоско паралельному русі твердого тіла, яке має площину симетрії і рухається паралельно до неї, сили інерції точок цього тіла зводяться до сили, прикладеної в центрі мас тіла, яка дорівнює головному вектору сил інерції, і до пари сил, що лежить в площині симетрії, момент якої дорівнює головному моменту відносно осі, що проходить через центр мас тіла перпендикулярно до нерухомої площини:

, (10)

 

План розв’язання задач за допомогою принципу Даламбера

 

1. Зобразити на рисунку механічну систему і прикласти до неї зовнішні сили.

2. Показати на схемі прискорення тіла, рух якого заданий або шукається, і в залежності від його напрямку показати прискорення (лінійні і кутові) всіх інших тіл системи.

3. Прикласти до всіх тіл системи головні вектори і головні моменти сил інерції, знайти їх значення, виразивши їх через задане або шукане прискорення.

4. Вибрати систему координат.

5 Скласти рівняння рівноваги отриманої системи сил.

6. Розв’язати отриману систему рівнянь і знайти шукані величини.

 

Приклади виконання завдання Д-16

Задача 1.

Визначити реакції зовнішніх в’язей механічної системи.

Рис. 1 60° B	Дано: схема системи (рис.1). Маси тіл системи: m1 =100 кг, m2 =40 кг. Радіус тіла 2: R =0,1 м. Тіло 2 вважати однорідним циліндром. Обертальний момент: M =110 Н·м. Вагою стержнів ОА і ОВ знехтувати.
	Розв’язання (рис.2) 1.Покажемо на рисунку зовнішні сили, прикладені до механічної системи: сили ваги і ; обертальний момент М; зусилля в стержнях і . 2 Покажемо на схемі прискорення тіла 1 і кутове прискорення тіла 2 3 Прикладемо до тіла 1 силу інерції , а до тіла 2 - головний момент сил інерції і знайдемо їх модулі: ,

. ,

4. Система координат показана на рис.2

5. Складемо рівняння рівноваги отриманої довільної плоскої системи сил:

, , (1)

, , (2)

, (3)

6. Розв’яжемо отриману систему рівнянь і знайдемо шукані величини:

з рівняння (3): , м/с

з рівняння (2): Н.

з рівняння (1): Н.

Відповідь: = 2549,5 Н (стержень ОА - розтягнутий),

= -2944 Н (стержень ОВ - стиснутий).

Задача 2.

Визначити реакції зовнішніх в’язей механічної системи, що зображена на рис.1.

	Дано: ОА – однорідний стержень. Маса стержня: m =20 кг. Довжина стержня: l = 0,6 м. В точці О – кульовий шарнір.
рис.2 Розв’язання. (рис.2) 1. Покажемо на схемі зовнішні сили, що діють на стержень ОА: силу ваги і реакції кульового шарніра і (рис.2). 2. Диференціальне рівняння обертального руху стержня навколо осі Оz має вид: . Звідси випливає, що , . 3. Прискорення центра мас стержня (точки С): .
	4. Головний вектор сил інерції: , . 5. Прискорення кожної точки стержня напрямлено до осі обертання Оz і змінюється від нуля (в точці О) до максимального значення (в точці А). Отже, і сили інерції кожної точки стержня змінюються від нуля до максимального значення і напрямлені проти векторів прискорення точок стержня. Тобто, маємо лінійно розподілену систему сил інерції яку можна замінити зосередженою силою (рис.2).

Згідно з принципом Даламбера ми отримали зрівноважену систему сил до якої можна застосувати рівняння статики.

6. Складемо рівняння рівноваги отриманої довільної плоскої системи сил (рис.2).

, , (1)

, , (2)

, (3)

7. Розв’яжемо отриману систему рівнянь і знайдемо шукані величини:

з рівняння (3) Н,

, рад/с,

з рівняння (1) Н,

з рівняння (2) Н.

Відповідь: = -84,9 Н, = -196Н.

 

Зауваження.

Положення точки прикладення сили можна було визначити з таких міркувань: оскільки сума моментів паралельних сил інерції точок стержня відносно точки О дорівнює рівнодійній цих сил (рис.2 і рис.3), то

, (4)

де h – плече сили відносно точки О (рис.2); – сила інерції елемента стержня довжиною ; – координата елемента стержня (рис.3);

 

, де dm – маса елемента стержня довжиною . Підстановка в рівняння (4):

Звідки: Порівняйте результат з показаним на рис.2.

 

 

Короткі відомості з теорії і методичні вказівки,