Типовые примеры и методы их решения. Пример 1.8.1. За три месяца стоимость потребительской корзины возросла с 634 руб

Пример 1.8.1. За три месяца стоимость потребительской корзины возросла с 634 руб. до 692 руб. Определите: а) индекс потребительских цен за три месяца; б) среднемесячный индекс потребительских цен; в) темп инфляции за три месяца; г) сред­немесячный темп инфляции.

Решение, а) Полагая = 634 руб., Р_г = 692 руб., по форму­ле (39) находим индекс потребительских цен за 3 месяца t=0.25 года):

= 1,0915.

Следовательно, за рассматриваемый период цены на некото­рый постоянный потребительский набор товаров выросли в 1,0915 раза, или на 9,15%.

б) Обозначим через среднемесячный индекс потреби­тельских цен (индекс инфляции). Тогда по формуле (42) при

k = 3 получим

, откуда

.

в) Темп инфляции за три месяца находим из формулы (41):

т.е темп инфляции, выраженный в процентах, показывает, на сколько проиенгов выросли цены. Такой же результат получает­ся и по формуле (40):

= 0,0915.

 

г) Аналогичным образом, как в в предыдущем пункте, вос-

пользуемся формулой (41) при t= ^:

= 1,0296-1 = 0,0296.

Конечно можно найти и преобразуя формулу (42). Так как то

Пример 1.8.2, В течение полугода каждые два месяца цены росли соответственно на 12, 9 и 14%. Определите индекс и темп инфляции: а) за полгода; б) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.

Решение, а) Поскольку индексы цен за каждые два месяца по­следовательно равны 1,12; 1,09 и 1,14, то индекс цен (индекс ин­фляции) за полгода (0,5 части года) найдем по формуле (42):

=1.12*1.09*1.14= 1,3917,

откуда находим темп инфляции за этот же период:

=1,3917-1 = 03917,т.е. =39,17%.

б) Поскольку = , то среднемесячный индекс инфляции составит:

и поэтому среднемесячный темп инфляции = 1,0566 -1 = 0,0566,

т.е. = 5,66%,

в) Индекс инфляции в среднем за квартал (0,25 части года) можно найти либо по формуле (42):

либо, учитывая, что квартал составляет полгода,

и поэтому = 17,97%.

Пример 1.8.3. В 1993 г. инфляция в Сербии и Черногории составила 313 миллионов процентов [Мицкевич, с.24]. За какое время деньги теряли половину своей покупательной способно­сти, если год полагать равным 360 дням?

Решение, Известно, что при индексе инфляции за период п, равном , сумма Р через это время л по своей покупатель­ной способности в ценах текущего дня составит величину . В условии примера речь идет о темпе инфляции за год,

и поэтому для годового индекса инфляции имеем = 3130001, а следовательно, ежедневный (за года) индекс инфля­ции равен величине . Таким образом, надо определить такое количество дней t, чтобы выполнялось равенство =2. Логарифмируя обе части этого равенства, получим:

откуда:

 

дня, т.е. примерно 17 дней.

Очевидно, что если считать в году 365 дней, то:

 

дня,

т.е. также примерно 17 дней.

Таким образом, в частности, практически через месяц (через 34 дня) сумма Р по своей покупательной способности в цеаах текущего дня составит величину , т.е. потеряет три четверти своей покупательной способности.

Пример 1.8.4. Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 42% годовых при годовом темпе инфляции в 20%. Какова должна быть номинальная процентная ставка, чтобы при такой инфля­ции обеспечить реальную доходность 42% годовых?

Решение. Полагая в формуле (46) n=1, r = 0,42, =1.2 получим:

т.е. доходность с учетом инфляции при начислении простых процентов составляет: r_reai =18,33% годовых.

Чтобы иметь реальную доходность 42% в условиях инфля­ции, необходимо установить процентную ставку, большую, чем 42%. Значение такой ставки находим по формуле (45):

= (1 + 0,42) 1.2 -1 = 0,704, или 70,4% годовых.

Естественно, можно было воспользоваться и формулой (44), полагая :

r = 0,42 + 0,42 *0,2 + 0.2= 0,704.

Пример 1.8.5. Клиент положил на депозит 16 тыс. руб. на полгода под простую процентную ставку 46% годовых. Опреде­лите реальную (по. своей покупательной способности) сумму, которую получит через полгода клиент, если среднемесячный темп инфляции составлял 3%. Чему равна реальная доходность такой финансовой операции для клиента в виде годовой простой процентной ставки? При какой процентной ставке сумма на де­позите реально остается постоянной?

Решение. По формуле (42) находим индекс инфляции за полгода:

=

По формуле (43) находим наращенную сумму с учетом ее обесценения:

тыс.руб

Таким образом, по своей покупательной способности 16 тыс. руб. увеличатся за полгода всего на 481 руб. Следовательно, из-за инфляции реальная доходность помещения денег на депозит в виде годовой процентной ставки по формуле (23) составит:

 

= 0,0601,

т.е. всего 6,01%, а не 46%. Такой же результат получим, и вос­пользовавшись формулой (46), в которой и =0,5, r = 0,46, =1.1941

Сумма на депозите с учетом инфляции не изменится за пол­года, если множитель наращения будет равен индексу инфля­ции, т.е. 1+nr= . Поэтому:

т.е. для нашего примера:

 

= 03882.

Итак, процентная ставка 38,82% годовых будет просто ком­пенсировать негативное действие инфляции за полгода, и только при ставках, больших 38,82% (так называемых положительных процентных ставках) будет происходить (при наращении) ре­альное увеличение капитала.

Конечно, при сохранении темпа инфляции 3% в месяц и процентной ставке 38,82% годовых сумма на депозите за год уменьшится. Чтобы она не изменилась за год с учетом инфля­ции, процентная ставка должна быть больше, чем 38,82%. Дей­ствительно, поскольку годовой индекс инфляции составит:

то, применяя последнюю формулу при n = 1, получим:

r = 1,4258 -1 = 0,4258 = 42,58%.

Пример 1.8.6. Предприниматель получил в банке кредит 80 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку но кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этойфинансовой операции в 28% годовых при ожидаемом годовом темпе инфляции 20%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?

Решение. Так как для годового темпа инфляции имеем = 0,2, то по формуле (44) находим искомое значение процент­ной ставки:

= 0,28+ 0,28 *0.2+ 0,2 =0,536.

Следовательно, процентная ставка должна быть равной 53,6% годовых, и в соответствии с ней предприниматель через год должен будет возвратить сумму:

F =80(1 + 0,536) = 122,88 тыс. руб.

Очевидно, что процентная ставка, только компенсирующая действие инфляции, равна 20% годовых.

Пример 1,8.7. На сумму 8 тыс. руб. в течение трех кварталов начислялись простые проценты по следующим процентным ставкам: в первом квартале - 40% годовых, во втором - 45% го­довых, в третьем - 50% годовых. Среднемесячные темпы ин­фляции за кварталы оказались равными соответственно 3, 1,5 и 2%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и ре­альную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

Решение. Определим вначале наращенную сумму без учета инфляции по формуле (15), полагая Р = 8 тыс. руб., = 0.25 года, = 0,4, i₂ = 0,45, i₃ = 0,5:

.F = 8 * (1 + 0,25 * 0,4 + 0,25 * 0,45 + 0,25 * 0,5) = 10,7 тыс. руб.

Индекс инфляции за три квартала (0,75 года) составит вели­чину:

=(1 + 0.03)³ *(1 + 0.015)³ *(1 + 0.02)³ =1,2126. Теперь можно найти наращенную сумму с учетом инфляции:

8,824 тыс. руб.

Реальный доход владельца счета равен:

-P = 8,824-8 = 0,824 тыс.руб.

Таким образом, реальную доходность от помещения денег в рост определяем по формуле:

, т.е. 13,73% годовых.

Очевидно, что в данном примере множитель наращенияс учетом инфляции равен величине:

Пример 1.8.8. Банк выдает кредит по простой процентной ставке 44% годовых, при этом удерживая комиссионные в разме­ре 3,5% от суммы кредита. Определите действительную доход­ность для банка такой кредитной операции в виде простой годо­вой процентной ставки, если кредит выдается: а) на 4 месяца; б) на год. Банк начисляет обыкновенные проценты на исходную сумму кредита, и ежемесячный темп инфляции составляет 2%.

Решение, а) Обозначим величину кредита через Р, тогда банк удерживает в свою пользу комиссионные в размере 0,035Р и поэтому выдает сумму Р - 0.035P = 0,965Р. За 4 месяца (1/з года) с учетом инфляции величина кредита вместе с начисленными процентами составит:

Следовательно, общий доход банка равен 1,0593Р-0,965Р = 0,0943Р, Таким образом, действительная до­ходность кредитной операции для банка в виде годовой про­центной ставки составит: <

т.е. r = 2932% годовых.

б) Проводя аналогичные вышеприведенным рассуждения, |дим, что в этом случае общий доход банка равен:

и, следовательно, доходность составит:

 

, или 17,66% годовых.

В данном случае доходность меньше, чем в предыдущем пункте, так как за год деньги обесоениваются в большей степе­ни, чем за 4 месяца, да и комиссионные в величину доходности доставляют в три раза меньший относительный вклад за год, чем за 4 месяца.

Пример 1.8.9. Вексель учитывается в банке за три месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции в 4,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процентной ставки 40% годовых?

Решение. По формуле (42) определяем индекс инфляции за 3 месяца (0,25 года):

Изложим два подхода к решению примера. Согласно перво­му подходу вначале определяем по формуле (45) процентную ставку, обеспечивающую при данной инфляции реальную до­ходность 40% годовых:

т.е 102.13%

Поскольку реальная доходность операции учета должна со­ответствовать реальной доходности, доставляемой реальной процентной ставкой 40% годовых, то искомая учетная ставка находится по формуле (26), где n = 0Д5 и r = 1,0213. Таким обра­зом:

= 0,8136, т.е. 81,36% годовых.

При другом подходе вначале находим по формуле (26) зна­чение реальной простой учетной ставки, соответствующее зна­чению реальной процентной ставки 40%:

= 0,36364 = 36,364%.

Затем по формуле (47) находим учетную ставку, обеспечивоющую в условиях существующей инфляции реальную доходнось согласно учетной ставке 36,364%:

Получили тот же результат.

Пример 1.8.10. Под какую простую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо по­местить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась на 20% за 10 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 3%? Если наращение осуществляется по простой учетной ставке, то какая она должна быть?

Решение. Определяем по формуле (42) индекс инфляции за

10 месяцев ( года):

=(1 + 0,03)¹⁰ =13439.

Пусть Р - величина денежной суммы и г - искомая процент­ная ставка. Тогда начисленные проценты без учета инфляции на­ходим по формуле (12):

С этой величины в счет уплаты налога проценты пойдет суыма 0.12 I и, следовательно, после уплаты величина наращен­ной суммы составит:

а с учетом инфляции:

Полученная сумма должна быть больше исходной на 20%, т.е. в 1,2 раза:

=1.2P

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение от­носительно r, получим:

= 0,8355,т.е. r-83,55% годовых.

Если наращение осуществляется по простой учетной ставке d, то:

После уплаты налога величина наращенной суммы составят:

P+0.88I=

Полученная сумма с учетом инфляции должна быть больше исходной в 1,2 раза:

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение от­носительно d, получим d = 0,4926, или d= 49,26% годовых.

Заметим, что такой же результат получим сразу, определяя по формуле (26) учетную ставку, эквивалентную простой про­центной ставке r= 83,55% при n= 5/6

= 0,4926.

Задачи

1.8.1. За полгода стоимость потребительской корзины возросла с 645 руб. до 788 руб. Определите индекс и темп инфляции:

а) за полгода; б) среднемесячные; в) в среднем за два месяца.

1.8.2. Среднемесячный темп инфляции в течение года со­ставлял 4%. Определите индекс и темп инфляции: а) за квартал;

б) за полгода; в) за год.

1.8.3. В течение года каждый квартал цены росли соответст­венно на 10, 15, 8 и 12%. Определите индекс и темп инфляции: а) за год; б) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.

1.8.4. На сумму в 10 тыс, руб. в течение трех месяцев начис­лялись простые проценты но ставке 30% годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 7, 5 и 4%. Найдите нара­щенную сумму с учетом инфляции и величину годовой положи­тельной процентной ставки.

1.8.5. В стране годовой индекс инфляции составил 900%. Определите среднемесячный и средний ежедневный темпы ин­фляции. За какое время деньги теряли половину своей покупа­тельной способности, если год полагать равным 360 дням?

1.8.6. В некоторой стране годовая гиперинфляция составила 80 миллионов процентов. За какое время деньги теряли четвер­тую часть своей покупательной способности, если год считать равным 360 дням?

1.8.7. Доход от финансовой операции, проведенной в тече­ние полугода, составил 30 тыс. руб., причем было вложено в операцию 120 тыс. руб. Среднемесячный темп инфляции в это время составлял 1%. Определите реальную норму прибыли фи­нансовой операции с учетом инфляции.

1.8.8. В результате инвестирования в некоторый проект 35 тыс. руб. через 3 года получено 70 тыс. руб. Темпы инфляции по годам соответственно составили 30, 15 и 20%. Определите ре­альную норму прибыли от инвестирования с учетом инфляции. Какова норма прибыли при отсутствии инфляции?

1.8.9. В течение трех лет предприятие имело следующие по­казатели относительно вложенного капитала, при условии, что вся прибыль реинвестируется: 1-й год - 80% прибыли, 2-й год -10% убытков, 3-й год - 60% прибыли. Какова общая прибыль на вложенный капитал (в процентах) с учетом среднегодового тем­па инфляции в 20%?

1.8.10. В результате инвестирования первоначальный капи­тал за первые два квартала вырос в 1,5 раза, за третий квартал общий капитал вырос в 1,3 раза и за четвертый квартал вся сумма увеличилась в 1,1 раза. Определите, на сколько процентов ре­ально увеличилась первоначальная сумма по своей покупатель­ной способности, если среднемесячный темп инфляции состав­лял 2%.1.8.11. Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,16; 1,09; 1,12 и 1,22. При какой' среднемесячной инфляции вклад за это время реально (по своей покупательной способности): а) увеличится на 10%; б) не изме­нится?

1.8.12. Господин N купил дом в январе 1986 г. за 18 тыс. руб. и продал его в январе 1991 г. за 250 тыс. руб. Инфляция по го­дам, с 1986 по 1990 г. включительно, составляла соответственно 15, 20, 40, 60, 200%. Выиграл или проиграл господин N и на сколько процентов?

1.8.13. В финансовом соглашении были предусмотрены сле­дующие процентные ставки на год: за первый квартал - 26% годовых; за второй квартал - 30% годовых; за третий и четвер­тый квартал - 35% годовых. Темпы инфляции за кварталы ока­зались равными соответственно 8, 5, 6 и 3%. Определите мно­житель наращения за год с учетом инфляции, если в течение го­да начисляются простые проценты.

1.8.14. Простая процентная ставка по вкладам до востребо­вания, составляющая в начале года 30% годовых, через полгода была увеличена до 35%, а еще через квартал - до 40% годовых. Определите реальную величину (по своей покупательной спо­собности) процентов, начисленных за год на вклад 20 тыс. руб., если темп инфляции каждый квартал составлял 6%

1.8.15. На сумму 15 тыс. руб. в течение четырех кварталов начислялись простые проценты по следующим процентным ставкам: в первом квартале - 38% годовых, во втором - 44% го­довых, в третьем - 50% годовых я в четвертом - 54% годовых. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались рав­ными соответственно 1,2, 1,5 и 0,5%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

1.8.16. Господин N получил в банке ссуду на два года под процентную ставку 36% годовых. В первый год индекс цен со­ставил 1,3; во второй - 1,2. Определите, во сколько раз реальная сумма долга (по своей покупательной способности) к концу срока ссуды будет больше выданной банком суммы, если банк начислял простые проценты. Каков будет ответ при отсутствии инфляции?

1.8.17. Банк выдал ссуду на 75 дней в размере 700 тыс. руб. под простую процентную ставку 40% годовых. Рассчитайте ре­альный доход банка с учетом инфляции, если темп инфляции за это время составил 8% и при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.

1.8.18. Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 40%, а за второй год вся сумма увеличится на 30%, Для второго варианта рост капитала составит каждый год 35% от суммы предыдущего года. Сколько процентов составит реальная прибыль по каждому варианту при ожидаемом еже­годном темпе инфляции 20%?

1.8.19. Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 30% годовых при годовом темпе инфляции в 16%. Какова должна быть номиналь­ная процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность 30% годовых?

1.8.20. Определите реальную простую процентную ставку, если номинальная годовая процентная ставка равна 36% годо­вых и годовой индекс инфляции составил 1,26. Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки? Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки, обеспечивающая реальную доходность в 36% годовых?

1.8.21. Определите реальную простую учетную ставку, если номинальная годовая учетная ставка равна 30% годовых и годо­вой индекс инфляции составил 1,2. Чему должна быть равна ве­личина учетной ставки, обеспечивающая реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой в 30% годовых?

1.8.22. Предприниматель получил в банке кредит на сумму 60 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку по кредиту дол­жен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 15% годовых при ожидаемом годо­вом темпе инфляции 30%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?

1.8.23. Предприниматель получил в банке кредит на сумму 50 тыс. руб. на 9 месяцев. При ожидаемом среднемесячном тем­пе инфляции 3% банк хочет обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 20% годовых. Какая простая про-цеатная ставка по кредиту должна быть установлена? Какова будет величина погашаемой суммы?

1.8.24. Выдан кредит в размере 100 тыс. руб. с 19 февраля по 6 ноября того же года под простую процентную ставку при ус­ловии начисления: а) обыкновенных процентов с точным чис­лом дней; б) точных процентов с точным числом дней. Ожида­ется, что индекс цен к моменту погашения кредита составит 1,4. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой опе­рации в 25% годовых? Какова будет величина погашаемой сум­мы? Выполните расчеты, полагая год невисокосным.

1.8.25. Предприниматель получил ссуду с 15 февраля по 14 ноября того же года под простую процентную ставку 70% годо­вых. Во сколько раз вырос реальный долг (по своей покупатель­ной способности) при начислении обыкновенных процентов: а) с точным числом дней; б) с приближенным числом дней если за срок ссуды темп инфляции составил 42,6% и год висо косный?

1.8.26. Господин N, владея 30 тыс. руб., хочет получить, по­ложив деньги на депозит, через год не менее 35 тыс. руб. с точки зрения их покупательной способности. Имеет ли смысл ему об­ратиться в банк, применяющий простую процентную ставку 42% годовых, если прогнозируемый темп инфляции в году ра­вен 15%?

1.8.27. Вкладчик намеревается поместить в банк 9 тыс. руб. на 240 дней на условиях начисления простых обыкновенных процентов. Какова должна быть процентная ставка, обеспечи­вающая накопление 10 тыс. руб. (рассматриваемых с точки зре­ния сохранения их покупательной способности), если предпола­гаемый ежемесячный темп инфляции равен 3%?

1.8.28. Банк выдал кредит на 6 месяцев по простой процент­ной ставке 42% годовых, при этом удержав комиссионные в размере 3% от суммы кредита. Определите действительную до­ходность для банка такой кредитной операции в виде годовой процентной ставки, если простые обыкновенные проценты на­числялись на исходную сумму кредита и ежемесячный темп ин­фляции составлял 2%.

1.8.29. Под какую простую годовую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо по­местить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (посвоей покупательной способности) увеличилась в 1,25 раза за 9 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка нало­га на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 2%? Бели наращение осуществляется по простой учетной став­ке, то какая она должна быть?

1.8.30. Простая процентная ставка по вкладам до востребо­вания, составляющая в начале года 30% годовых, через каждые два месяца увеличивалась на 2,5%. Определите реальную вели­чину (по своей покупательной способности) наращенной за год суммы с учетом уплаты налога на проценты, если величина вклада - 20 тыс. руб., среднемесячный темп инфляции - 2% и ставка налога на проценты равна 12%.

1.8.31. В 1993 г. в России можно было поместить деньги на рублевый депозит под 500% годовых или на долларовый депо­зит под 35% годовых. Инфляция тогда составляла примерно 900%. Выясните, какой из депозитов был предпочтительнее, если курс продажи долларов в начале года был 450 руб., а в кон­це - 1250 руб. за 1 доллар.

1.8.32. Банк выдает клиенту кредит на 3 месяца, в течение которых, по оценкам экспертов, ежемесячный индекс инфляции составит 1,015. Начисление процентов осуществляется по про­стой учетной ставке. Найдите значение учетной ставки, компен­сирующей потери от инфляции, если банк желает обеспечить реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой 22% годовых. Какова должна быть учетная ставка, обеспечи­вающая в условиях инфляции реальную доходность, определяе­мую простой процентной ставкой в 22% годовых?

1.8.33. При учете векселей в условиях инфляции должна быть обеспечена реальная доходность, определяемая простой учетной ставкой, равной 30% годовых. Какую простую учетную ставку в этом случае нужно применить, если ожидаемый темп инфляции составляет 4% в месяц и вексель предъявлен для уче­та за 2 месяца до срока его погашения?

1.8.34. Вексель учитывается в банке за 4 месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции 3,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процент­ной ставки 42% годовых?

1.9. Замена и консолидация платежей

Основные положения

• На практике постоянно возникают ситуации, вынуждаю­щие участников сделки к изменению условий ранее заключен­ного финансового соглашения. В частности, это касается и пла­тежей. Например, изменение сроков платежей (обычно на более отдаленные, а иногда и в сторону уменьшения, т.е. досрочное погашение задолженности), объединение нескольких платежей в один (консолидация платежей) с установлением срока его пога­шения и т.п.

• В результате любых изменений ни один из участников не должен терпеть убыток, поэтому в такого рода ситуациях руко­водствуются принципом финансовой эквивалентности, устанав­ливающим неизменность финансовых отношений участников до и после изменения финансового соглашения.

• На практике при изменении условий выплат денежных сумм принцип финансовой эквивалентности реализуется путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому соглаше­нию, приведенных к тому же моменту времени. Для кратко­срочных контрактов процесс приведения, как правило, осущест­вляется на основе простых ставок.

• Для каждой конкретной ситуации получается свое уравне­ние эквивалентности, а в некоторых простых случаях можно обойтись и без него.

• Два контракта считаются эквивалентными, если приведен­ные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинако­вы. Однако при использовании приведенных значений плате­жей, осуществленных на основе простых ставок, необходимо согласовать дату (ее называют базовой), на которую производят приведение, ведь от изменения базовой даты в случае простых процентов меняются (иногда в меньшей, а иногда в большей степени) значения новых искомых характеристик.

Вопросы для обсуждения

1. Что означает консолидация платежей?

2. Приведите примеры изменения финансового соглашения а результате изменения условий, касающихся выплат денеж­ных сумм?

3. Что такое принцип финансовой эквивалентности?

4. Каким образом на практике реализуется принцип финансо­вой эквивалентности?

5. На основе каких ставок, как правило, осуществляется про­цесс приведения для краткосрочных контрактов?

6. Верно ли положение о том, что при сравнении платежей их приведение к одному моменту времени может осуществ­ляться как путем дисконтирования, так и путем наращения?

7. При замене старого срока платежа новым в каком случае новый платеж будет больше прежнего платежа, а в каком -меньше?

8. При замене старого платежа новым в каком случае срок его выплаты будет больше прежнего срока платежа, а в каком -меньше?

9. ₍Всегда ли можно некоторый платеж, изменяя срок его вы-

платы, заменить любым по величине платежом?

10. Можно ли трактовать процесс наращения (в частности, про­стыми процентами) как один из случаев замены одного пла­тежа другим?

11. Каким образом можно связать между собой замену одного платежа другим и процесс дисконтирования?

12. Какие контракты считаются эквивалентными?

Типовые примеры н методы их решения

Пример 1,9.1. Согласно новому финансовому соглашению платеж 80 тыс. руб. со сроком уплаты 6 месяцев заменяется платежом со сроком уплаты: а) 3 месяца; б) 9 месяцев. Найдите величину нового платежа, если используется простая процент­ная ставка 40% годовых.

Решение. Пусть Р₁=80 тыс. руб., r =0,4. Считая, что год со­держит 360 дней и каждый месяц - 30 дней, полагаем = 0,5 года. а) Полагая года и учитывая, что , по формуле(49) получим:

72,727 тыс. руб.

Этот же результат можно получить, и не пользуясь формулой (49), а составив для данной конкретной ситуации уравнение экви­валентности, руководствуясь принципом финансовой эквивалент­ности. В соответствии с этим принципом величина платежа должна быть такой, что, получив через 3 месяца ( = 0,25 года) и инвестировав эту сумму под простую процентную ставку r = 0,4, кредитор через время мог бы получить сумму Р₁ = 80 тыс. руб. Таким образом, получим уравнение:

в котором неизвестной величиной будет Р_о.

Обратим внимание на следующий факт.

Если не применять принцип финансовой эквивалентности, а просто воспользовать­ся равенством приведенных стоимостей (на начальный момеят времени) этих платежей, т.е. соотношением

то платеж Р_о будет равен:

тыс. руб.

 

Эта сумма больше, чем 72,727 тыс. руб. Инвестировав 73,333 тыс. руб. под 40% годовых, кредитор через 3 месяца ( года) получил бы 73,333(1+0,25-0,4) = 80,666 тыс. руб., т.е. на 666 руб. больше, чем было предусмотрено первым финансовым соглашением.

б) Поскольку в этом случае и > то по форму­ле (49) получим:

=80(1 + (0,75 - 0,5) *0,4) = 88 тыс, руб,

Согласно принципу финансовой эквивалентности в этом случае величина платежа Р_о должна быть такой, что, получив через 6 месяцев ( = 0,5 года) сумму = 80 тыс. руб. и инве­стировав эту сумму под простую процентную ставку r = 0,4, кредитор через время мог бы получить сумму Р_о. Следо­вательно, Р_о находится из уравнения Ро = сов­падающего по виду с примененной формулой.

Если же просто воспользоваться равенством приведенных стоимостей, то

тыс, руб,

 

что меньше, чем 88 тыс. руб. Т.е. кредитору не имеет смысла менять условия соглашения, так как по первому контракту он может получить больше.

Пример 1.9.2. Найдите величину нового срока, если платеж в 20 тыс. руб. с уплатой через 250 дней предполагается заменить платежом в 18 тыс. руб. Используется простая процентная став­ка 35% годовых, и расчетное число дней в году равно 360.

Решение. Очевидно, что так как 18 тыс. руб. меньше 20 тыс. руб., то новый срок должен быть меньше 250 дней. Полагая =20 тыс. руб., =250/360 года,Р₀=18 тыс. руб., r = 035,по формуле (50) для случая Р_о < получим:

года.или 135 дней.

Проверим этот результат. Пусть через 135 дней кредитор по­лучит 18 тыс. руб., тогда, инвестировав эту сумму на 115 дней (0,319 года) под простую процентную ставку 35% годовых, он получит 18(1 + 03190,35) = 20,0097=20 тыс. руб. Таким образом, с изменением финансового соглашения кредитор убытка не по­несет, поскольку через общий срок, равный 250 дням (135+115), он получит 20 тыс. руб., как и в первоначальном вариан­те контракта.

Обратим внимание, что платеж в 20 тыс. руб. нельзя заме­нить любым платежом f₀, меньшим этой суммы. По смыслу Р_о не может бытьменьше приведенной к начальному моменту величины капитала Р₁, т.е. Р_о (что и указано в формуле (50)). В условиях разобранного примера: Р_о = 16,089 тыс. руб.

 

Пример 1.9.3. Платежи в 6, 4 и 10 тыс. руб. должны быть погашены соответственно через 90, 165 и 270 дней. Кредитор и должник согласились заменить три платежа одним через 120 дней. Найдите величину консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 38% годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты.

Решение. При решении задач такого типа пользуются уравне­нием эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых пла­тежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к той же дате. Причем приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или путем наращения величины соответст­вующего платежа, если эта дата относится к будущему.

В данном случае платежи в 6, 4 и 10 тыс. руб. заменяются единым платежом Р_о, величину которого обычно определяют путем приведения всех платежей к дате погашения платежа Р_о.

Так как срок погашения платежа в 6 тыс. руб. меньше 120 дней, то процесс приведения для этого платежа будет осуществ­ляться в виде процесса наращения в течение 30 дней (120 - 90) по простой процентной ставке 38% годовых.

Так как срок погашения платежа в 4 тыс. руб. больше 120 дней, то процесс приведения для этого платежа будет осуществ­ляться в виде процесса дисконтирования по простой процентной ставке 38% годовых за 45 дней (165 - 120). По той же причине сумма 10 тыс. руб. дисконтируется за 150 дней (270 - 120).

Складывая приведенные суммы платежей, получим величи­ну консолидированного платежа Р_о:

тыс. руб.

 

Если бы за дату приведения выбрали, например, время выплаты платежа в 6 тыс. руб., то, рассуждая, как и выше» получи­ли бы такое уравнение:

откуда Р₀ =18,683 тыс. руб.

При выборе в качестве даты приведения момент отсчета всех сроков получим уравнение:

из которого находим, что Р_о =18,780 тыс. руб.

Отличие результатов из-за выбора даты приведения обу­словлено правилами наращения и дисконтирования по простым процентам. Поэтому при изменении финансового соглашения необходимо оговорить дату, на которую будет осуществляться приведение всех сумм.

Если же рассматривать в общем виде задачу замены плате­жей ,Р₂,...,Р_т, выплачиваемых соответственно через время n₁ ,...,n_m, одним платежом Р_о с выплатой через время «о, то, рассуждая, как и выше, можно получить путем приведения всех платежей к дате выплаты платежа Р_о уравнение эквивалентно­сти, в правой части которого платежу , будет соответствовать слагаемое (1 + ()r). если, платежу Pj будет срответствовать слагаемое, если Таким образом, уравнение имеет вид:

где в первой сумме происходит суммирование по тем i, для ко­торых выполнено , а во второй сумме - по тем j, для ко­торых .

Пример 1.9.4. Платежи в 3 тыс, руб., 5 тыс. руб. и 7 тыс. руб. должны быть внесены через соответственно 70, 130 и 180 дней. Было достигнуто соглашение заменить три платежа одним, рав­ным им сумме. Определите срок уплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 32% го­довых в условиях начисления обыкновенных процентов.

Решение. На практике для определения срока hq консоли­дированного платежа дисконтируют все величины платежей на начальный момент и затем приравнивают приведенную стои­мость консолидированного платежа к сумме приведенных стои­мостей исходных платежей. Решая полученное уравнение отно­сительно п₀, находим искомый срок.

Итак, находим вначале дисконтированные стоимости исход­ных платежей:

2,824 тыс. руб.,

= 4,482 тыс. руб.,

= 6,034 тыс. руб.

Поскольку приведенная стоимость консолидированного платежа равна тыс. руб., то приходим к уравнению:

= 2,824+4,482 + 6,034,

решая которое, находим = 0389 года, или = 140 дням.

Можно было и сразу воспользоваться формулой (51), пола­гая =3 тыс. руб., =5 тыс. руб., =7 тыс. руб., Ро= 15 тыс. руб., = 70/360 года, =130/360 года, n₃=180/36О года, r = 0,32:

= = 0389 года.

Обратим внимание, что пользоваться формулой (51) можно только в том случае, когда справедливо неравенство

В противном случае эта формула даст отрядательные значения срока

Если и для всех к, то вместо фор-

мулы (51) можно воспользоваться ее приближенным вариантом - формулой определения среднего срока (31). В изложенном примере указанные условия выполнены, поэтому (считая сразу в днях):

дня

т.е. полученный результат отличается от ранее определенного на один день.

Пример 1.9.5. Согласно контракту предприниматель должен выплатить кредитору 10 тыс. руб. через год, 40 тыс. руб. - через 3 года и 30 тыс. руб. - через 5 лет. Предприниматель предлагает выплатить 30 тыс. руб. через 2 года и 40 тыс. руб. - через 4 года. Являются ли эти контракты эквивалентными, если в расчетах используется простая процентная ставка 34% годовых?

Решение. Два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. В качестве даты приведения обычно принимают да­ту, от которой измеряются все сроки, В данном случае - это мо­мент заключения контракта.

Сумма приведенных стоимостей платежей по первому кон­тракту составит:

=38376 тыс. руб.

Аналогичным образом для второго контракта получим:

= 34,806 тыс. руб.

Таким образом, первый контракт для кредитора выгоднее.

Пример 1.9.6. Имеется обязательство выплатить суммы 16 тыс. руб. и 24 тыс. руб. соответственно 12 апреля и I сен­тября. Стороны решили пересмотреть порядок выплат: 10 тыс. руб. выплачиваются 20 мая, 8 тыс. руб. - 10 июля и остаток долга погашается 1 августа. Определить величину третьего пла­тежа, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке, равной 40% годовых, по способу 365/365. Все операции производятся в пределах одного невисокосного года.

Решение. За дату приведения примем 12 апреля - время вы­платы 16 тыс. руб. Для лучшего понимания вида уравнения эк­вивалентности в данном случае укажем явным образом поряд­ковые номера в году представленных в контракте дат: 12 апре­ля-102; 1 сентября - 244; 20 мая - 140; 10 июля- 191; 1 августа - 213. Обозначая остаток долга через Р, запишем уравнение эквивалентности:

решая которое относительно Р, найдем Р = 22.297 тыс. руб.

Пример 1.9.7. Требуется заменить вексель на сумму 18 тыс. руб. со сроком погашения через 60 дней векселем со сроком по­гашения через 25 дней. В расчетах применяется простая учетная ставка 30% годовых и считается, что в году 360 дней.

Решение. Полагая =18 тыс. руб., =60/360 года, =25/360 года, d = 0,3 и учитывая, что <п₁ по формуле (52) получим:

= 17,475 тыс. руб.

Пример 1.9.8. Определите величину нового срока при заме­не платежа 40 тыс. руб. со сроком уплаты 75 дней платежом 46 тыс. руб., если расчеты осуществляются с помощью простой учетной ставки 32% годовых на базе финансового года, равного 360 дням.

Решение. Пусть = 40 тыс. руб., =75/360 года, Р_о = 46 тыс. руб., d = 032. Учитывая, что Р_о > , по формуле (53) получим:

= =0,616 года,т.е. =222 дня.

Пример 1.9.9. Владелец векселей на сумму 3,5 тыс. руб., 9 тыс. руб. й 6 тыс. руб. со сроками погашения соответственно 14 июня, 20 августа и 5 октября согласился с предложением должника об объединении трех векселей в один со сроком по­гашения 10 сентября того же года. Какую сумму необходимо проставить в консолидированном векселе, если используется простая учетная ставка и способ 365/360?

Решение. Используя учетную ставку 30% годовых, осущест­вим приведение всех сумм на 10 сентября - дату погашения консолидированного векселя.

Так как срок погашения первого векселя меньше даты при­ведения, то на сумму 3,5 тыс. руб. происходит наращение про­стыми процентами по учетной ставке в течение 88 (253 - 165) дней. По той же причине осуществляется наращение в течение 21 (253 - 232) дня на сумму 9 тыс. руб. Вексель на сумму 6 тыс. руб. учитывается за 25 (278 - 253) дней.

Складывая приведенные суммы, получим величину Ро кон­солидированного векселя:

= 18,812 тыс. руб.

Вообще, рассматривая задачу консолидации платежей ,Р₂,...,Р_т, выплачиваемых соответственно через время n₁ ,...,n_m, с применением учетной ставки d и выбирая за дату приведения момент уплаты консолидированного платежа , с помощью рассуждений, как и при решении примера, можно по­лучить следующее уравнение эквивалентности:

где в первой сумме происходит суммирование по тем i, для ко­торых выполнено «о а щ, а во второй сумме - по тем j, для которых nQ<rtt.

Пример 1.9.10. В соответствии с контрактом предпринима­тель должен выплатить кредитору суммы в размерах 12, 20 и 50 тыс. руб. через 90, 120 и 210 дней после 15 марта. Однако бьшо принято совместное решение погасить все суммы единым платежом в 72 тыс. руб. Найдите дату уплаты консолидирован­ного платежа, если используется простая учетная ставка 34% годовых на базе финансового года, равного 360 дням.

Решение. Для пояснения существа дела покажем вначале, как в данном случае можно составить уравнение эквивалентно­сти для определения срока консолидированного платежа. Как и при использовании простой процентной ставки, в этой ситуации для определения срока «q консолидированного платежа осуще­ствляют дисконтирование всех сумм по простой учетной ставке на начальный момент (в примере - 15 марта) и затем приравни­вают приведенную стоимость консолидированного платежа к сумме приведенных стоимостей исходных платежей. Решая ло-лученное уравнение относительно «о, находят искомый срок.

Итак, находим вначале дисконтированные стоимости исход­ных платежей:

12(1 - 0.34) =10,98 тыс.руб.,

20(1 - 0.34) = 17,733 тыс. руб

50(1 - 0.34) = 40,083 тыс. руб.

Так как приведенная стоимость консолидированного плате­жа равна 72(1 - * 0,34) тыс. руб., то уравнение примет вид:

72(1- 034) = 10,98 + 17,733 + 40,083,

решая которое, находим mq =0,131 года, или ло =47 дней. Отсчи­тывая от 15 марта 47 дней, получим 1 мая - дату уплаты консоли­дированного платежа.

Можно и сразу воспользоваться формулой (54), полагая = 12 тыс. руб., Р₂ =20 тыс. руб., Р₃=50 тыс. руб., Р_о = 72 тыс. руб., =90/360 года, п₂ =120/360 года, =210/360 года, d= 0,34:

= =0,131 года.

В заключение отметим, что условие этого примера можно было записать и в таком виде: требуется заменить три векселя на суммы 12, 20 и 50 тыс. руб. со сроками погашения через 90, 120 и 210 дней одним векселем на сумму 72 тыс. руб. Тогда необходимо было бы найти срок погашения нового векселя. Кстати, согласно формуле (54), новый вексель не может быть выписан на сумму, меньшую 68,796 тыс. руб.

Задачи

1.9.1. Платеж в 4 тыс. руб. со сроком уплаты 3 месяца необ­ходимо заменить платежом со сроком уплаты: а) 2 месяца; б) 5 ме­сяцев. Определите величину нового платежа, если используется простая процентная ставка 36% годовых.

1.9.2. Найдите величину нового срока, если платеж в 5 тыс. руб. со сроком уплаты 6 месяцев предполагается заменить пла­тежом в 4,8 тыс. руб. и используется простая процентная ставка 34% годовых.

1.9.3. Требуется заменить вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения через 90 дней векселем со сроком погашения: а) через 120 дней; б) через 60 дней. В расчетах применяется про­стая учетная ставка 30% годовых и в году 360 дней.

1.9.4. Найдите величину нового срока, если платеж в 10 тыс. руб. со сроком уплаты 75 дней предполагается заменить плате­жом в 12 тыс. руб. В расчетах применяется простая учетная ставка 28% годовых и в году 365 дней.

1.9.5. Изучаются варианты замены платежа 100 тыс. руб. со сроком уплаты 4 месяца новым платежом. В каких границах может изменяться величина нового платежа, если используетсяпростая процентная ставка 36% годовых? Как изменится ответ, если используется простая учетная ставка 36% годовых?

1.9.6. Платежи в 8 тыс. руб., 5 тыс. руб., 10 тыс. руб. и 7 тыс. руб. должны быть погашены соответственно через 60, 150, 120 и 200 дней. Кредитор и должник согласились заменить четыре платежа одним через 140 дней. Найдите величину консолидиро­ванного платежа, если используется простая процентная ставка 40% годовых и в расчет принимаются обыкновенные процен­ты.(За дату приведения принять момент выплаты консолидиро­ванного платежа.)

1.9.7. Клиент получил в банке кредит на сумму 12 тыс. руб. под 30% годовых. В соответствии с финансовым контрактом клиент обязался погасить кредит тремя платежами с процента­ми: 6, 2 и 4 тыс. руб. соответственно через 90, 120 и 180 дней. Однако через некоторое время по обоюдному согласию сторон было решено погасить кредит одним платежом через 150 дней. Найдите величину консолидированного платежа, если начисля­ются простые обыкновенные проценты. (За дату приведения принять момент выплаты консолидированного платежа.)

1.9.8. Платежи в 5 тыс. руб. и 7 тыс. руб. должны быть пога­шены соответственно через 60 и 105 дней. Кредитор и должник согласились заменить два платежа одним в размере 11,5 тыс. руб. Найдите срок оплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 32% годовых и начис­ляются обыкновенные проценты. Для сравнения платежей в ка­честве даты приведения выбрать день, от которого отмеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приве­дения выбрать день уплаты платежа в 7 тыс. руб.?

1.9.9. Платежи в 4 тыс. руб., 12 тыс. руб. и 9 тыс. руб. долж­ны быть внесены через соответственно 80, 150 и 210 дней. Было достигнуто соглашение заменить три платежа одним, равным их сумме. Определите срок уплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 30% годовых в условиях начисления обыкновенных процентов. В качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки.

1.9.10. В соответствии с контрактом предприниматель в те­чение двух лет в конце каждого квартала должен выплачивать по 5 тыс. руб. Через год, сделав четыре платежа, предприниматель решил сразу погасить оставшийся долг. Какую сумму он должен заплатить в условиях начисления процентов по простой процентной ставке 30% годовых?

1.9.11. По условиям контракта господин N в течение четы­рех лет каждые полгода должен выплачивать другому лицу по 12 тыс. руб. Через два года, сделав четыре платежа, господин N предложил через полгода выплатить весь оставшийся долг. Ка­кая сумма должна быть выплачена, если расчеты осуществляют­ся по простой процентной ставке 36% годовых?

1.9.12. Платеж 20 тыс. руб. со сроком уплаты 100 дней заме­няется двумя платежами со сроками 30 дней и 60 дней, причем первый платеж равен 12 тыс. руб. Какова величина второго пла­тежа- если расчеты осуществляются по простой процентной ставке 25% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки. Как изменится резуль­тат, если в качестве даты приведения выбрать день уплаты пер-ноначального платежа?

1.9.13, Платеж 16 тыс. руб. со сроком 45 дней заменяется на четыре равных платежа со сроками 10, 30, 60 и 80 дней. Какова величина этих платежей, если в расчетах используется простая процентная ставка 36% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать депь, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день упла­ты первоначального платежа?

1.9.14. По условиям контракта сумма в 40 тыс. руб. должна быть выплачена через 8 месяцев. Однако принято согласованное решение о новом порядке выплат через 4, б и 10 месяцев, при­чем первая сумма равна 10 тыс. руб., а две другие одинаковы по величине. Найдите эти суммы, если используется простая учет­ная ставка 20% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день упла­ты первоначального платежа?

1.9.15. Владелец векселей (кредитор) со сроками уплаты 12 июля (2 тыс. руб.) и 20 сентября (5 тыс. руб.) согласился с пред­ложением должника об объединении двух векселей в один сосроком погашения I августа того же года. Какую сумму необ­ходимо проставить в консолидированном векселе, если исполь­зуется простая учетная ставка 32% годовых и способ 365/360 (обыкновенный процент с точным числом дней)? В качестве да­ты приведения принять 1 августа.

1.9.16. Владелец векселя на сумму 12 тыс. руб. со сроком уплаты 14 мая согласился заменить его на три векселя с одина­ковыми суммами и сроками погашения 10 марта, 1 июня и 10 августа того же года. Определите сумму, которую необходи­мо проставить в каждом из новых векселей, если используется простая учетная ставка -25% годовых и способ 365/360. Для сравнения сумм в качестве даты приведения выбрать 14 мая.

1.9.17. По финансовому соглашению фирма должна выпла­тить одному кредитору суммы в размерах 1, 5 и 4 тыс. руб. через 20, 45 и 90 дней после 1 июня. Однако позже было принято совместное решение погасить все суммы единым платежом в 10,1 тыс. руб. Найдите дату уплаты консолидированного плате­жа, если используется простая учетная ставка 30% годовых и считают, что в году 360 дней. В качестве даты приведения при­нять 1 июня.

1.9.18. По условию контракта суммы в 15, 5 и 10 тыс. руб. должны быть выплачены в течение года соответственно 15 ап­реля, 8 июня и 20 сентября. Стороны решили пересмотреть по­рядок выплат: 12 тыс. руб. выплачивается 25 мая, 4 тыс. руб. -15 июля и остаток долга погашается 1 августа. Определите ве­личину третьего платежа, если пересчет осуществляется по про­стой процентной ставке, равной 38% годовых, по способу 365/365 (точный Процент с точным числом дней) и год високос­ный. Для сравнения платежей в качестве базовой даты принять: а) 15 апреля; б) 20 сентября.

1.9.19. По финансовому соглашению предприниматель дол­жен выплатить банку в течение года суммы в 20, 10 и 30 тыс. руб. соответственно 1 марта, 15 июля и 18 октября. По обоюд­ному согласию решено осуществить три одинаковых платежа в новые сроки: 10 апреля, 1 июня и 1 сентября. Какова величина этих платежей, если пересчет осуществляется по простой про­центной ставке 26% годовых способом 365/365 и год невисокос­ный. Для сравнения платежей в качестве базовой даты принять: а) 1 марта; б) 18 октября.

1.9.20. Согласно контракту предприниматель должен выпла­тить кредитору 5 тыс. руб. через 1 год, 25 тыс. руб. - через 3 го­да и 20 тыс. руб. - через 4 года. Предприниматель предложил выплатить 20 тыс. руб. через 2 года и 25 тыс. руб. - через 3 года. Являются ли