Відповіді на домашнє завдання

Практичне заняття 1

Частина 1. Множина, елементи множини, рівність множин, числові множини.

Переріз та об’єднання множин.

Перевірка лекційного матеріалу (фронтальне опитування)

- Дайте означення множини

- Наведіть приклади множин

- Що називається елементом множини

- Коли множина вважається заданою

- Які існують способи задання множин

- Які є види множин

- Дайте їм означення

- Дайте означення підмножини

- Які існують види підмножин

- Які множини називають рівними

- Як порахувати кількість підмножин

- Яка множина називається числовою

- Дайте означення перерізу двох множин

- Перерахуйте властивості перерізу

- Що називається об’єднанням двох множин

- Перерахуйте властивості об’єднання

- Що називається різницею двох множин

Завдання 1.1. Перерахуйте елементи множини

Завдання 1.2. Запишіть формулу характеристичною властивістю.

Завдання 1.3. Чи рівні множини

Завдання 1.4. Задайте множину.

 

 

 

 

Завдання 1.5. Перерахуйте всі підмножини.

, , .

Завдання 1.6. Знайдіть об’єднання, переріз та різницю множин:

а) та .

Розв’язання.

, , , .

б) , .

Розв’язання. Зобразимо дані множини на числовій осі.

, .

Розв’язати самостійно. .

,

,

Домашнє завдання.

Знайдіть всі підмножини: , .

Знайдіть об’єднання, переріз та різницю множин:

,

,

,

, .

частина 2. Різниця, доповнення множин. Декартовий добуток. Побудова точок множини.

Перевірка лекційного матеріалу (фронтальне опитування)

- Дайте означення перерізу множин

- Запишіть його властивості

- Дайте означення об’єднання множин

- Запишіть його властивості

- Дайте означення різниці множин

- Дайте означення симетричної різниці

- Дайте означення доповнення множини

- Чи завжди можна знайти доповнення до множини В до множини А

- Запишіть формули Моргана

- Запишіть закони поглинання

- Що називається декартовим добутком множин

- Як можна записувати елементи декартового добутку

 

Завдання 2.1. Знайдіть об’єднання, переріз, різницю, доповнення та симетричну різницю множин:

а) ,

Зобразимо множини на числовій прямій.

, , , , , , .

б) , .

Зобразимо множини на числовій прямій.

, , , , , , .

в) , .

Зобразимо множини на числовій прямій.

Операції над цими множинами виконайте самостійно.

Завдання 2.2. Побудуйте декартовий добуток та :

а) , . Враховуючи що множини скінчені то декартовий добуток побудуйте трьома способами.

б) , .

в) , .

Завдання 2.3. Побудувати множину точок площини, що задовольняють співвідношенням.

а)

б)

В).

г)

Дана рівність рівносильна системі , якій на площині відповідають дві точки та .

д)

Дана рівність рівносильна системі , якій на площині відповідають чотири точки , , , .

е)

Дана рівність рівносильна сукупності , на площині їй відповідає об’єднання двох координатних прямих.

ж)

Для побудови даної множини потрібно виразити через , та привести кожен вираз до стандартного виду. . Розв’язком буде точка перетину побудованих прямих, в даному випадку точка .

з) .

Дана рівність рівносильна сукупності ,

На площині це буде множина точок, які належать хоча б одному з графіків функцій.

 

В попередньому завданні ми розглядали тільки рівності, які задовольняють певні умови. Але задачі, які утримують нерівності в даних завданнях більш складніші, тому на них ми зупинимося більш детально.

 

Завдання 2.4. Побудувати множину точок площини, що задовольняють співвідношенням (нерівності).

а) .

Точки, які задовольняють дану нерівність знаходяться в першій та четвертій четвертях.

б) .

Точки, які задовольняють дану нерівність знаходяться в третій та четвертій четвертях.

в) .

. Множина точок, яка знаходиться вище прямої , буде задовольняти дану нерівність.

г) . Множина точок, що задовольняють співвідношення заштриховано на малюнку.

д) Множина точок, що задовольняють співвідношення заштриховано на малюнку.

е) Приведемо нерівності до стандартного виду, запишемо їх границі, побудуємо відповідні прямі та знайдемо множину площини, що задовольняє даній системі нерівностей.

. Границі . Шукану множину зображено на малюнку.

ж) Приведемо нерівності до стандартного виду, запишемо їх границі, побудуємо відповідні параболи та знайдемо множину площини, що задовольняє даній системі нерівностей.

, Шукану множину зображено на малюнку.

Домашнє завдання.

1) Побудувати множину точок площини, що задовольняють співвідношенням:

; ; ; ; ; ; ; .

2). Знайти , , , , , ; ; ; ; .

,

,

,

,

, .

Задачі для аудиторної роботи

І тип

1. В групі що складається із 100 туристів 70 осіб знає англійську мову, 45 осіб – знають французьку і 23 туриста знають обидві мови. Скільки туристів в групі не знають не англійської ні французької мови?

U n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B),

100 n(A∩B)= 70+45-23= 92 (туристи,

А В які знають хоч би одну мову),

70 23 45 Не знають жодної іноземної мови:

100-92= 8 (туристів).

 

Відповідь: Жодної іноземної мови не знають 8 туристів.

 

2. Відстань між містами 440 км. З цих міст на зустріч друг другу виїхало два автомобілі із швидкістю 50 км/год. і 60 км/год. Яка відстань буде між ними через 5 годин?

n(S₁US₂)=n(S₁)+n(S₂)- n(S₁∩S₂),

n(S₁US₂)= 440 (км) – весь шлях,

S₁∩S₂ S_{1 =} 50*5= 250 (км),

S_{2 =} 60*5= 300 (км)

n(S₁∩S₂)= 250+ 300- 440= 110 (км)

Відповідь: Через 5 годин відстань між автомобілями буде 110 км.

 

3. В олімпіаді з математики брало участі 40 учнів. Їм було запропоновано розв’язати одну задачу по алгебрі, одну по геометрії, одну по тригонометрії. Результати перевірки розв’язків внесли в таблицю:

з алгебри ……………………. з геометрії ………………….. з тригонометрії ……………. з алгебри і геометрії ……… з алгебри і тригонометрії. з геометрії і тригонометрії

Троє учнів не розв’язали жодної із запропонованих задач. Скільки учнів розв’язали всі три задачі? Скільки учнів розв’язали рівно дві задачі?

 

U n(АUГUТ) =n(А)+ n(Г)+ n(Т) -n(А∩Г) -

40 - n(А∩Т) -n(Г∩Т) +n(А∩Г∩Т),

A 40-3=20+18+18–7–8–9 +n(А∩Г∩Т),

20 7 Г n(А∩Г∩Т)= 5 (учнів),

18 Рівно 2 задачі розв’язали

8 9 n(Х∩У)- n(А∩Г∩Т)

Т з алгебри і геометрії: 7-5= 2,

18 3 з алгебри і тригонометрії: 8-5= 3, 9

з геометрії і тригонометрії: 9-5= 4.

 

Відповідь: всі три задачі розв’язали 5 учнів, рівно 2 задачі розв’язали 9 учнів.

4. Із 100 студентів англійську мову вивчають 28, німецьку 30, французьку 42, англійську і німецьку – 8, англійську і французьку – 10, німецьку і французьку – 5, англійську, німецьку і французьку – 3. Скільки студентів не вивчають жодної мови? Скільки студентів вивчають тільки одну іноземну мову?

 

U n(АUНUФ)=n(А)+n(Н)+n(Ф)-n(А∩Н) -

100 А H - n(А∩Ф) -n(Н∩Ф) +n(А∩Н∩Ф),

28 8 30 n(АUНUФ)=28+30+42-10-8-5+3=80,

10 ³ 5 Не вивчає жодної мови 100-80= 20.

Ф Тільки англійську (штрихова)

42 n(А) -n(А∩Н) -n(А∩Ф) +n(А∩Н∩Ф)=

= 28-10-8+3=13

Тільки німецьку: n(Н) -n(А∩Н) -n(Н∩Ф) +n(А∩Н∩Ф)= 30-5-8+3= 20, тільки французьку: n(Ф)-n(Ф∩Н)-n(Н∩Ф)+n(А∩Н∩Ф)= 42-10-5+3=30.

Тільки одну мову вивчають відповідно 13+20+30=63 (студенти).

Відповідь: не вивчають жодної мови 20 студентів,

тільки одну мову вивчають 63 студенти.

 

ІІ тип

5. Серед абітурієнтів зарахованих після іспитів до ВНЗ оцінку “відмінно” отримали: з математики –48 абітурієнтів, з фізики – 37, з української мови – 42, з математики або фізики 75, з математики або української мови – 76, з фізики або української мови – 66, з усіх трьох предметів – 4. Скільки абітурієнтів отримали хоч би одну “5”? Скільки серед них отримали тільки одну “5”?

(немає універсальної множини!)

n(МUФ)=n(М)+n(Ф)-n(М∩Ф),

М Ф n(М∩Ф)= 48+37-75= 10.

48 37 Аналогічно:

4 n(М∩У)= 48+42-46= 14,

n(У∩Ф)= 37+42-66= 13.

У n(МUФUУ)= n(М)+n(Ф)+n(У)-n(М∩Ф)–

42 -n(М∩У) -n(Ф∩У)+n(М∩Ф∩У) – хоч би

одна оцінка “відмінно”,

n(МUФUУ)= 48+37+42-10-14-13+4= 94 (абітурієнти).

 

Тільки одну “5” з математики: 48-10-14+4= 28.

Тільки одну “5” з фізики: 37-10-13+4= 18.

Тільки одну “5” з української мови: 42-14-13+4= 19.

“Відмінно” тільки з одного предмету: 28+18+19= 65 (абітурієнтів).

Відповідь: хоч би одна оцінка “5” у 94 абітурієнтів,

а тільки одна у 65 абітурієнтів.

 

ІІІ тип (задачі з деякими неявними даними)

6. В спортивному таборі 65% хлопців вміють грати в футбол, 70% у волейбол і 75% у баскетбол. Яка кількість хлопців що вміють грати і в футбол, і в волейбол, і в баскетбол?

Ф В n(ФUВ)= n(Ф) + n(В) - n(Ф∩В),

65% 70% 100%= 65% + 70% - n(Ф∩В),

n(Ф∩В)= 135% - 100%= 35%.

Аналогічно: n(Ф∩Б)=40%, n(Б∩В)=45%.

Б Назву % в розв'язках можна і

75% не записувати.

 

n(ФUВUБ)= n(Ф)+n(В)+n(Б)-n(Ф∩В) – n(Ф∩Б) -n(Б∩В) +n(Ф∩Б∩В),

100%= 65% + 70% + 75% -35% - 40% - 45% + n(Ф∩Б∩В),

n(П∩Н∩В)= 10%.

Відповідь: Кількість хлопців які вміють грати у всі названі ігри - 10%.

 

7. Кожен з учнів класу в зимові канікули рівно двічі був у театрі, при цьому спектаклі А, В і С відвідали відповідно 25, 12 і 23 учня. Скільки учнів в класі? Скільки з них бачили спектаклі АіВ, АіС, ВіС.

 

Всього відвідувань театру більше

ніж учнів у класі рівно в два рази.

А В (25 +12 +23): 2= 30 (учнів в класі).

25 12 n(АUС)= n(А)+ n(С)+ n(А∩С),

n(А∩С)= 25 +23 -30= 18 (учнів).

n(АUВ)= n(А)+ n(В)+ n(А∩В),

С n(А∩В)= 25 +12 –30= 7 (учнів).

23 n(ВUС)= n(В)+ n(С)+ n(В∩С),

n(В∩С)= 23 +12 –30= 5 (учнів).

Відповідь: Всього в класі 30 учнів.

На спектаклі АіВ ходило 7, АіС - 18, ВіС – 5 учнів.

 

Додаткові задачі

І тип

8. У кондитерському відділі магазину покупці вибирають або одну коробку цукерок, або один торт, або торт і коробку цукерок. В один із днів було продано 57 тортів і 36 коробок цукерок. Скільки було покупців, якщо 12 осіб купили і торт і коробку цукерок.

9. В дитячому садку 52 дитини. Кожному з них подобається або торт, або морозиво. Половина дітей вибрало собі торт, а 20 – морозиво і торт. Скільки дітей вибрало морозиво?

10. На аркуші накреслили круг площею 78 см² і квадрат площею 55 см². Площа перетину круга і квадрата дорівнює 30 см². Вільна від круга і квадрата частина аркуша має площу 150 см². Знайти площу аркуша.

11. В бригаді працює 25 робітників. Серед них 20 робітників мають вік до 30 років і 15 робітників більше 20 років. Чи можливо таке?

12. В класі 40 чоловік. Грають в баскетбол 26, в волейбол 25, в футбол 27, одночасно займаються баскетболом і волейболом – 15, баскетболом і футболом – 16, волейболом і футболом – 18. Один з учнів звільнений від фізкультури. Скільки чоловік займаються всіма видами спорту? Скільки чоловік займається тільки одним видом спорту?

13. В звіті про обстеження 100 студентів повідомлялось, що кількість студентів, які вивчають різні мови така: всі три мови – 3, французьку і англійську – 8, німецьку і англійську – 10, німецьку і французьку - 20, англійську – 30, німецьку – 23, французьку – 50. Звіт не був затверджений. Чому?

14. Із 100 студентів лише німецьку мову вивчають 18, німецьку, але не англійську – 23, німецьку і французьку – 8, німецьку – 26, французьку –48, англійську і французьку – 8, ніякої мови не вивчають – 24. Скільки студентів вивчають англійську мову? Скільки студентів вивчають англійську і німецьку мови, але не французьку? Скільки студентів вивчають французьку мову в тому і тільки в тому випадку, якщо вони не вивчають англійську?

15. Із 160 студентів І курсу кулінарного технікуму 120 вміють готувати і 80 вміють сервірувати стіл. Скільки студентів вміють і готувати і сервірувати, якщо не вміють нічого 15 студентів?

16. В школі 1000 учнів. 830 учнів вміють грати в шашки, 650 – в шахи. Ні в шашки, ні в шахи не вміють грати 40 осіб. Скільки учнів не вміють грати ні в шахи, ні в шашки?

17. Із 25 учнів 12 цікавляться математикою, а 8 – фізикою. Яким може бути число учнів які цікавляться двома предметами? Скільки учнів цікавляться хоч би одним предметом?

18. З 90 школярів 50 грають у футбол, а 55 – у волейбол. Яким може бути число школярів які грають в обидві гри? Скільки хоч би в одну з цих ігор?

ІІ тип

19. На уроці літератури вчитель вирішив дізнатися, хто із 40 учнів класу читав книги А, В і С. Результати опитування виявились такими: книгу А читало 25 учнів, книгу В – 22, книгу С також 22. Книгу А або В читали 33 учня, А або С – 32, В або С – 31, всі три книги прочитало 10 учнів. Скільки учнів прочитали тільки одну книгу? Скільки учнів не читали жодної з цих книг?

 

Домашнє завдання

20. Вибрана деяка множина натуральних чисел. Серед них 150 чисел кратних “2”, 100 кратних “3”, 115 кратних “5”, 55 кратних “6”, 42 кратних “10”, 30 кратних “15”, 20 кратних “30”. Скільки елементів в заданій множині?

21. В школі 1400 учнів. 1250 учнів вміють кататися на ковзанах, 952 учні на лижах, не вміють катаються ні на ковзанах, ні на лижах 60 учнів. Скільки учнів вміють кататися і на лижах і на ковзанах?

Відповіді на домашнє завдання

20. В даній множині 258 чисел.

21. І на лижах, і на ковзанах катаються 862 учні.