Трендовые модели на основе кривых роста

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики — на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.

Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;
общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

ỹ _t = a₀ +a₁t (полином второй степени)

ỹ _t = a₀ +a₁t+ a₂t ² (полином второй степени)

ỹ _t = a₀ +a₁t+ a₂t ² + a₃t ³ (полином третьей степени)

и т.д.

Параметр а₁ называют линейным приростом, параметр а₂ — ускорением роста, параметр а₃ - изменением ускорения роста.

Для полинома первой степени характерен постоянный
закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле u_t = y_t - y_t_-1, t =2, 3,..., n, то они будут постоянной величиной и равны a₁.

Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов u_2, u_3, …. на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты u_t⁽²⁾ = u_t - u_t_-1 для полинома второй степени будут постоянны.

Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле u_t⁽³⁾ = u_t⁽²⁾ - u_t_-1⁽²⁾, будут постоянной величиной.

На основе сказанного можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

• от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

• значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции y`_t.

Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличии от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

ỹ_t = ab^t (5.1)

где а и b — положительные числа, при этом если bбольше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если меньше единицы — функция убывает.

Можно заметить, что ордината данной функции изменяется с постоянным темпом прироста. Если взять отношение прироста к самой ординате, оно будет постоянной величиной:.

u_ty_t - y_t-1 1

^___₌^__________₌1- ^___.

y_t_{_}y_tb

Прологарифмируем выражение для данной функции по любому основанию:

log ỹ_t = log a + t log b.

Отсюда можно заметить, что логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.

Модифицированная экспонента имеет вид

ỹ _t = k + ab ^t (5.2)

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) квеличие k. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

Если прологарифмировать первые приросты данной функции, то получиться функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной:

u_ty_t - y_t-1

^___₌^__________₌b.

u_t_-1 _{_}y_t_-1- y_t_-2

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

_b ^t

ỹ_t = ka (5.3)

где а,b — положительные параметры, причём b меньше единицы; параметр k — асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом - прирост функции незначителен, на втором – прирост увеличивается, на третьем участке прирост приметно постоянен, на четвёртом - происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате фикций — линейная функция времени.

На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида – возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде

ỹ_t₌^__________; (5.4)

1+ a e ^-bt

другие виды этой кривой:

k k

ỹ_t₌^__________; ỹ_t ₌^__________;

1+ a b ^-^t 1+ 10 ^a^-^bt

В этих выражениях а и b – положительные параметры; k – предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.

Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется временной ряд у₁, у₂,у₃ … у_n.

Для выбора вида полиномиальной роста наиболее распространённым методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется таблица 5.1.

Показатель Характер изменения показателя во времени Вид кривой роста

Первый средний прирост ũ_t Примерно одинаковы Полином первого порядка (прямая)

То же Изменяются линейно Полином второго порядка (парабола)

Второй средний прирост ũ_t ⁽²⁾ Изменяются линейно Полином третьего порядка (кубическая парабола)

ũ_t ^___ ỹ_t Примерно одинаковы Простая экспонента

log ũ_t Изменяются линейно Модифицированная экспонента

ũ_t log ^__ ỹ_t Изменяются линейно Кривая Гомперца

ũ_t log ^__ ỹ_t² Изменяются линейно Логическая кривая