Б) Баланс энергии при колебательном движении

 

Следует напомнить формулы кинетической и потенциальной энергии, используемые в механике.

 

Ек = mu²/2 - кинетическая энергия

 

Еп = kX^2//2 - потенциальная энергия

 

Из закона сохранения энергии следует, что полная механическая энергия замкнутой системы – есть величина постоянная:

 

Ек + Еп = Е

u = dX/dt = (A sin wt)^\ = A cos wt u = Aw

a = d²X/dt² = du/dt (Acos wt)^\ = -Aw²sin wt a = Aw²

 

Кинетическая энергия точки:

 

Ek = mA² cos²w t

Потенциальная энергия точки:

 

Еп = kA²/2 здесь: k = m w² так как k = ma /X = mA²w ²/X

Итак:

 

Еп = mA² w ² sin² w t

Ек = mA² w² sin² w t

2

Ек + Еп = mA² w² (sin² wt + cos²wt)

Учитывая, что выражение в скобках равно единице, окончательно получим значение полной механической энергии колеблющейся точки

 

Е = mA² w²

 

 

В) Сложение гармонических колебаний

Гармонические колебания можно сложить как в одном направлении, так и во взаимно перпендикулярных направлениях. Рассмотрим сложение колебаний в одном направлении. Возьмём простейший случай, когда складываются колебания одинаковой частоты, совпадающих по фазе. В этом случае будут складываться их амплитуды:

 

Если складываются колебания, находящиеся в противофазе, то их амплитуды будут вычитаться. При одинаковых амплитудах, колебания вообще погасят друг друга:

 

Если колебания складываются во взаимно перпендикулярном направлении, то колеблющаяся точка будет на плоскости выписывать сложную траекторию. Если частоты этих колебаний будут относиться как целые числа, то траектория будет иметь вид устойчивой кривой, которая называется фигурой Лиссажу:

 

 

Г) Гармонический спектр

Если в одном направлении складываются колебания разных частот, то точка будет совершать сложные колебания, график которых будет представлять очень замысловатый вид, изобразить который графически бывает очень трудно. Существует ещё один способ графического изображения колебательного движения.

Французский математик Фурье доказал, что периодический процесс любой формы можно разложить на простые гармонические колебания. В связи с этим, графически колебания можно изобразить гармоническим спектром. По горизонтальной оси откладывается частота, а по вертикальной – амплитуда. Таким образом, гармонический спектр простого синусоидального колебания представляет собой отрезок прямой, перпендикулярный оси частот. Положение отрезка по горизонтали определяется частотой, а длина отрезка – амплитудой колебания.

Спектр сложного колебания представляет собой несколько линий.

Во многих случаях колебания изображать гармоническим спектром удобнее и проще, чем их графиком.

 

Д) Затухающие колебания

 

В идеальном случае в колебательной системе происходит обмен кинетической и потенциальной энергии, причём, потерь энергии на трение нет. Поэтому, амплитуда колебания остаётся постоянной. В реальных же условиях при каждом цикле часть энергии переходит во внутреннюю, поэтому амплитуда колебания постепенно уменьшается по экспоненциальному закону:

 

Х = Aoe^-bt sinwt гдe b - коэффициент затухания

 

График затухающего колебания имеет вид: