Ф1.4.1 Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии

Механика 4 Работа и энергия

Элементарной работой силы называют скалярное произведение силы на бесконечно малое перемещение материальной точки: .

Работа на конечном участке .

Если сила постоянная , то .

Скалярную величину, которая определяет работу силы в единицу времени, называют мощностью: .

Работа силы тяжести .

Работа силы упругости .

Работа силы трения .

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на материальную точку .

Кинетическая энергия твёрдого тела при произвольном движении равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс .

Моменты инерции однородных сплошных тел:

момент инерции однородного сплошного тонкостенного цилиндра (цилиндрической поверхности) массой m и радиусом R относительно его оси симметрии ;

момент инерции сплошного однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси симметрии ;

момент инерции тонкого однородного сплошного стержня массой m и длиной ℓ относительно оси проходящей через его конец перпендикулярно оси стержня ;

момент инерции тонкого однородного сплошного стержня массой m и длиной ℓ относительно оси проходящей через его центр масс перпендикулярно оси стержня ;

момента инерции однородного сплошного шара массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр .

Ф1.4.1 Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии

Ф1.4.1-1

Зависимость перемещения тела массой 4 кг от времени представлена на рисунке. Кинетическая энергия тела в момент времени t = 3 с равна …	1: 50 Дж * 2: 15 Дж 3: 20 Дж 4: 25 Дж 5: 40 Дж
Кинетическая энергия . По графику видно, что модуль перемещения является линейной функцией времени. Следовательно – модуль скорости является постоянной величиной: . Ответ: 1

Ф1.4.1-2

Два тела одинаковой массы движутся с одинаковыми скоростями. Первое катится, второе скользит. При ударе о стенку тела останавливаются. Больше тепла выделится при ударе тела …

1: первого* 2: второго 3: одинаково

В соответствии с законом сохранения энергии в тепло переходит механическая (в данном случае кинетическая) энергия. Поскольку у катящегося тела кинетическая энергия есть энергия поступательного движения и энергия вращательного движения, а у скользящего тела – энергия поступательного движения (при движении тел с одинаковой скоростью центра масс кинетическая энергия поступательного движения одинакова), то кинетическая энергия у первого тела больше. Поэтому при ударе первого тела о стенку выделится больше тепла. Ответ: 1

Ф1.4.1-3

Обруч массой m=0,3 кг и радиусом R=0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного движения 1200 Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола. Если обруч начал двигаться без проскальзывания, имея кинетическую энергию поступательного движения 200 Дж, то сила трения совершила работу, равную…

1. 800 Дж* 2. 1000 Дж 3. 1400 Дж 4. 600 Дж

Согласно теореме об изменении кинетической энергии оно определяется для абсолютно твёрдого тела работой внешних неконсервативных сил. В рассматриваемом случае неконсервативной внешней силой является сила трения. Поэтому теорема об изменении кинетической энергии имеет следующий вид: . Кинетическая энергия тела определяется суммой кинетических энергий поступательного и вращательного движений: (υ с0 – скорость центра масс в начальный момент, ω с0 – скорость вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс, в начальный момент кинетическая энергия поступательного движения равна нулю). . Поскольку момент инерции обруча , а скорость вращательного движения обруча вокруг центра масс и скорость центра масс связаны соотношением , то . После подстановки полученного соотношения в теорему об изменении кинетической энергии получим: . Учитывая, что работа силы трения всегда величина отрицательная из предложенных ответов выбираем Атр = 800 Дж. Численные значения радиуса и массы обруча, заданные в условии, для решения не требуются. Ответ: 1

Ф1.4.1-4

Обруч массой m=0,3 кг и радиусом R=0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного движения 1200 Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола. Если сила трения совершила работу 800 Дж, то обруч начал движение без проскальзывания, обладая кинетической энергией поступательного движения, равной…

1: 200 Дж* 2: 400 Дж 3: 600 Дж 4: 2000 Дж

Согласно теореме об изменении кинетической энергии оно определяется для абсолютно твёрдого тела работой внешних неконсервативных сил. В рассматриваемом случае неконсервативной внешней силой является сила трения. Поэтому теорема об изменении кинетической энергии имеет следующий вид: . Кинетическая энергия тела определяется суммой кинетических энергий поступательного и вращательного движений: (υ с0 – скорость центра масс в начальный момент, ω с0 – скорость вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс, в начальный момент кинетическая энергия поступательного движения равна нулю). . Поскольку момент инерции обруча , а скорость вращательного движения обруча вокруг центра масс и скорость центра масс связаны соотношением , то . После подстановки полученного соотношения в теорему об изменении кинетической энергии получим: . Учитывая, что работа силы трения всегда величина отрицательная Атр = – 800 Дж, получаем . Численные значения радиуса и массы обруча, заданные в условии, для решения не требуются. Ответ: 1

Ф1.4.1-5

Обруч массой m=0,3 кг и радиусом R=0,5 м привели во вращение и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола. Если обруч начал двигаться без проскальзывания, имея кинетическую энергию поступательного движения 200 Дж, а силы трения совершили работу 800 Дж, то энергия вращательного движения в исходном состоянии была равна…

1: 1200 Дж* 2: 1000 Дж 3: 600 Дж 4: 400 Дж

Согласно теореме об изменении кинетической энергии оно определяется для абсолютно твёрдого тела работой внешних неконсервативных сил. В рассматриваемом случае неконсервативной внешней силой является сила трения. Поэтому теорема об изменении кинетической энергии имеет следующий вид: . Кинетическая энергия тела определяется суммой кинетических энергий поступательного и вращательного движений: (υ с0 – скорость центра масс в начальный момент, ω с0 – скорость вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс, в начальный момент кинетическая энергия поступательного движения равна нулю). . Поскольку момент инерции обруча , а скорость вращательного движения обруча вокруг центра масс и скорость центра масс связаны соотношением , то . После подстановки полученного соотношения в теорему об изменении кинетической энергии получим: . Учитывая, что работа силы трения всегда величина отрицательная Атр = – 800 Дж, получаем . Численные значения радиуса и массы обруча, заданные в условии, для решения не требуются. Ответ: 1

Ф1.4.1-6

Обруч массой m=0,3 кг и радиусом R=0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного движения 1200 Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола. Если сила трения совершила работу 800 Дж, то обруч начал движение без проскальзывания, обладая кинетической энергией вращательного движения, равной…

1: 200 Дж* 2: 1000 Дж 3: 600 Дж 4: 400 Дж

Согласно теореме об изменении кинетической энергии оно определяется для абсолютно твёрдого тела работой внешних неконсервативных сил. В рассматриваемом случае неконсервативной внешней силой является сила трения. Поэтому теорема об изменении кинетической энергии имеет следующий вид: . Кинетическая энергия тела определяется суммой кинетических энергий поступательного и вращательного движений: (υ с0 – скорость центра масс в начальный момент, ω с0 – скорость вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс, в начальный момент кинетическая энергия поступательного движения равна нулю). . Поскольку момент инерции обруча , а скорость вращательного движения обруча вокруг центра масс и скорость центра масс связаны соотношением , то . После подстановки полученного соотношения в теорему об изменении кинетической энергии получим: . Учитывая, что работа силы трения всегда величина отрицательная Атр = – 800 Дж, получаем . Численные значения радиуса и массы обруча, заданные в условии, для решения не требуются. Ответ: 1

Ф1.4.1-7

Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на расстоянии r1 друг от друга. Стержень может вращаться без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине между шариками. Стержень раскрутили из состояния покоя до угловой скорости ω, при этом была совершена работа A1. Шарики раздвинули симметрично на расстояние r2=2r1 и раскрутили до той же угловой скорости. При этом была совершена работа …

1: A 2=4 A 1* 2: A 2= A 1/4 3: A 2=2 A 1 4: A 2= A 1/3

В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии она равна совершённой работе. Кинетическая энергия вращательного движения определяется по формуле . Поскольку вначале стержень покоился, то начальная кинетическая энергия равна 0. Поэтому . Момент инерции двух шариков в первом случае . Момент инерции двух шариков во втором случае (с учётом, что r 2=2 r 1) . С учётом того, что конечная угловая скорость в двух случаях одинакова: . Ответ: 1

Ф1.4.1-8

Два маленьких массивных шарика закреплены на концах невесомого стержня длины d. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень раскрутили до угловой скорости ω 1. Под действием трения стержень остановился, при этом выделилось тепло Q 1. Если стержень раскручен до угловой скорости ω 2=3 ω 1, то при остановке стержня выделилось тепло …

1. Q 2=3 Q 1 2. Q 2= Q 1/3 3. Q 2=9 Q 1* 4. Q 2= Q 1/9

Выделившееся тепло в соответствии с законом сохранения энергии равно работе силы трения, которая равна изменению кинетической энергии системы. Поскольку под действием силы трения стержень останавливается, то его конечная кинетическая энергия равна нулю. Поэтому отношение количеств теплоты Q 2= Q 1 равно отношению начальных кинетических энергий. Кинетическая энергия вращательного движения определяется по формуле . Момент инерции J = const. Поэтому . Следовательно Q 2=9 Q 1. Ответ: 3

Ф1.4.1-9

С ледяной горки с небольшим шероховатым участком АС из точки А без начальной скорости скатывается тело. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты x изображена на графике U(x). При движении тела сила трения совершила работу Атр =20 Дж. После абсолютно неупругого удара тела со стеной в точке В выделилось …

1: 60 Дж* 2: 80 Дж 3: 100 Дж 4: 120 Дж

При переходе тела из точки А в точку С его потенциальная энергия уменьшается на 80 Дж. При отсутствии силы трения выполнялся бы закон сохранения полной механической энергии и кинетическая энергия тела перед ударом со стенкой (с учётом, что начальная кинетическая энергия тела равна рулю) равнялась бы 80 Дж. Но поскольку сила трения совершила работу Атр =20 Дж, то кинетическая энергия тела перед ударом со стенкой равняется 60 Дж. В результате неупругого удара эта кинетическая энергия переходит в тепло. Ответ: 1

Ф1.4.2 Работа силы

Ф1.4.2-1

Соотношение работ силы тяжести при движении тела из точки В в точку С по разным траекториям имеет вид …	1: A 1= A 2= A 3=0 2: A 1> A 2> A 3 3: A 1< A 2< A 3 4: A 1= A 2= A 3≠0* 5: A 1= A 3> A 2
Сила трения является консервативной – работа силы трения определяется начальным и конечным положениями. Поскольку в рассматриваемых случаях начальное (точка В) и конечное (точка С) положения совпадают, то работа силы тяжести во всех трёх случаях одинакова. Кроме того, так как положения точек В и С различны, то работа силы тяжести не равна нулю. Ответ: 4

Ф1.4.2-2

На рисунке изображены зависимости ускорений трех прямолинейно движущихся материальных точек одинаковой массы от координаты х. Для работ A 1, A 2, A 3, cил, действующих на точки, справедливо следующее соотношение:	1: A 1> A 2> A 3* 2: A 1< A 2< A 3 3: A 1> A 2< A 3 4: A 1< A 2> A 3
По определению работа . В одномерном случае . Поскольку F x= ma x и m = const, то . Учитывая, что геометрический смыл интеграла определяется площадью фигуры под кривой функции, можно сделать вывод, что A 1> A 2> A 3 (считаем, что направления рассматриваемых процессов на графике – снизу вверх). Ответ: 1