Задачи для самостоятельного решения. Пример 1. Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, проходящей через его центр, перекинута нить

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, проходящей через его центр, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы и (рисунок 10). Масса блока . Блок считать однородным диском. Найти ускорение грузов.

Решение. Заданная система состоит из трех тел – грузов и и блока . Груз находится под действием двух сил: силы тяжести и силы натяжения нити. Второй закон Ньютона для этого груза:

. (21)

 

Аналогично, рассматривая силы, действующие на груз , получим

. (22)

Рисунок 10 – Рисунок к примеру 1

Так как масса блока соизмерима с массой грузов, то мы не имеем права предполагать, что силы, с которыми нить действует на грузы и , равны между собой. Соотношение между силами и может быть получено только после рассмотрения движения блока. Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его центр, следовательно, моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Если предположить, что нить не скользит относительно блока, то вращение блока вызывается действием только сил натяжения нити. (Правильнее было бы сказать, что вращение блока вызывается силами трения покоя между нитью и ободом блока, причем в каждой точке соприкосновения сила трения покоя равна соответствующей силе натяжения нити.)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока имеет вид

, (23)

где и - моменты сил натяжения и .

Благодаря невесомости нити силы натяжения вдоль нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т.е. и .

Ускорения обоих грузов считаем равными по модулю на основании нерастяжимости нити. Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке, а следовательно, и ускорению грузов:

, . (24)

Чтобы перейти к скалярным соотношениям для описания движения грузов, введем ось . Тогда , и векторные уравнения (21) и (22) можно заменить скалярными:

, . (25)

Моменты сил и направлены по оси вращения, но в противоположные стороны. Примем направление вектора угловой скорости за положительное. Тогда векторное уравнение (23) можно переписать в виде

, (26)

где - радиус блока.

Очевидно, , если масса блока, а следовательно и его момент инерции пренебрежимо малы. Выражая из соотношения (24) и учитывая, что момент инерции однородного диска , получаем

. (27)

Уравнения (25) и (27) образуют систему. Сокращая в уравнении (27) радиус блока и складывая все три уравнения (предварительно второе из уравнений (25) надо умножить на (-1)), получаем

. (28)

Пример 2. По горизонтальному столу может катиться без трения цилиндр массы , на который намотана нить. К свободному концу нити, переброшенному через легкий блок, подвешен груз той же массы (рисунок 11). Система предоставлена сама себе. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Задачу решить для полого и сплошного цилиндров.

Рисунок 11
– Рисунок к примеру 2

Решение. Система состоит из двух тел – груза и цилиндра, связанных между собой. Поэтому между кинематическими параметрами этих тел существуют определенные соотношения. На груз действуют сила тяжести и сила натяжения нити:

, (29)

где - ускорение груза, который совершает только поступательное движение.

На цилиндр действуют силы тяжести и нормальной реакции стола, взаимно компенсирующие друг друга, и в горизонтальном направлении – сила натяжения нити и сила трения между цилиндром и столом. Обе силы создают вращающие моменты относительно оси цилиндра (предполагаем, что нить намотана так, что обе силы действуют в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра и совпадающей с плоскостью рисунка). Следовательно, цилиндр совершает сложное плоское движение, уравнения которого

, . (30)

Чтобы найти связь между , и , рассмотрим движение точек и цилиндра. Цилиндр участвует в двух движениях, и скорость любой его точки , где - скорость центра масс, т.е. скорость поступательного движения; - линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра масс. Для точек и в проекциях на ось

, . (31)

Продифференцируем эти уравнения

, , (32)

где и - проекции результирующего ускорения точек и на ось . При отсутствии скольжения и . Тогда

, (33)

а горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки

. (34)

Если нить, связывающая цилиндр и груз, нерастяжима и не проскальзывает относительно цилиндра, то горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки цилиндра равна ускорению груза. Следовательно,

. (35)

Очевидно, искомые величины могут быть найдены решением системы уравнений (29) и (30) с учетом соотношений (33) и (35). Однако уравнения (33) и (35) следует заменить скалярными соотношениями, а для этого необходимо знать направление силы трения.

Последняя является силой трения покоя, и направление ее противоположно вектору скорости точки , которую она имела бы при отсутствии трения. Если начальная скорость равна нулю, то направлена так же, как горизонтальная составляющая результирующего ускорения , когда трения нет. В этом случае цилиндр совершает сложное движение и

, (36)

где и - соответственно ускорение центра масс и угловое ускорение цилиндра при отсутствии трения.

Таким образом, направление силы трения можно найти, рассмотрев предварительно задачу без учета силы трения.

Уравнения (30) движения цилиндра без трения примут вид

, . (37)

Ускорение и сила натяжения нити направлены по оси ; угловое ускорение и момент силы натяжения нити также сонаправлены, поэтому уравнения (37) можно записать в скалярном виде:

, . (38)

Запишем момент инерции цилиндра в виде (для полого цилиндра , для сплошного - ) и подставим его в выражение (38):

, . (39)

Так как , то и . Если , то точка цилиндра не будет скользить по поверхности стола (при любом значении силы ) и трение не возникнет. Если , то сила трения направлена по оси так, как показано на рисунке.

Коллинеарность сил, действующих на груз, позволяет переписать уравнение (29) в скалярном виде:

. (40)

Уравнениям (30) соответствуют скалярные соотношения

, . (41)

Второе из уравнений (41) соответствует тому, что, как и при отсутствии силы трения, цилиндр вращается по часовой стрелке.

Невесомость блока и нити позволяет считать силу натяжения вдоль всей нити постоянной по модулю, т.е. .

Учитывая соотношения (33) и (35), выражение для момента инерции и равенство сил натяжения, перепишем уравнения (39) и (41):

, , (42)

. (43)

Сокращая последнее уравнение на и решая полученную систему совместно, находим

, .

Для сплошного цилиндра имеем

; ;

для полого цилиндра ()

; .

Пример 3. Шар и полый цилиндр одинаковой массы катятся равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической энергией. Во сколько раз отличаются их линейные скорости.

Решение. Кинетическая энергия тела, участвующего одновременно в двух движениях, складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движений

. (44)

Учитывая, что момент инерции полого цилиндра равен , шара , а связь угловой и линейной скоростей , выражения для полого цилиндра и шара будут иметь вид

, (45)

. (46)

По условию задачи , и тогда , откуда

.

Скорость шара в раза больше скорости цилиндра.

Пример 4. Тонкий стержень массой и длиной вращается с угловой скоростью в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.

Решение. Для решения задачи используем закон сохранения момента импульса: для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульсов остается постоянной.

. (47)

В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с (47) момент импульса не изменяется:

. (48)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня (центр тяжести) и перпендикулярной ему (1-й случай), равен:

. (49)

Момент инерции относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец (2-й случай), найдем по теореме Штейнера:

,

где - момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести, - расстояние от центра тяжести до выбранной оси вращения.

. (50)

Подставим выражения (49) и (50) в равенство (48):

,

откуда .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1 Имеется тело произвольной формы. Выберем точку на некоторой оси . Мысленно разобьем тело на элементарные объемы с массами и проведем векторы из точки в точки, где находятся элементарные массы (рисунок 12). По какой из приведенных формул можно вычислить момент инерции тела относительно оси : а) ; б) ; в) ?

Рисунок 12 – Рисунок к задаче 1

2 Найти моменты инерции однородного диска массы и радиуса относительно осей, проходящих через точки и перпендикулярно его плоскости (рисунок 13).

Рисунок 13 – Рисунок к задаче 2

3 Найти момент инерции диска массы и радиуса относительно оси, лежащей в плоскости диска и совпадающей с его диаметром.

4 Пустотелый цилиндр с очень тонкими стенками имеет массу и радиус . Найти его моменты инерции относительно осей и (рисунок 14).

Рисунок 14 – Рисунок к задаче 4

5 Моменты инерции тела относительно трех осей, проходящих через точки и перпендикулярных плоскости рисунка, равны между собой. Точки и не лежат на одной прямой (рисунок 15). Найти геометрическим построением положение оси, проходящей через центр масс и параллельной указанным осям.

Рисунок 15 – Рисунок к задаче 5

6 Две частицы (материальные точки) с массами m₁ и m₂ соединены жестким невесомым стержнем длины l. Найти момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс.

Ответ: I=μl², где μ=m₁m₂/ (m₁+m₂) – приведенная масса частиц.

7 Найти: а) моменты инерции прямоугольной пластинки относительно оси (рисунок 16); б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси z (рисунок 16), проходящей через одну из вершин пластинки перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластинки равны и , а ее масса - . Известны масса пластинки , ее размеры и .

Рисунок 16 – Рисунок к задаче 7

8 Найти момент инерции шарового слоя малой толщины , где - средний радиус слоя. Масса шарового слоя равна .

9 Найти момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня и его длина .

Ответ: .

6

7

8

9

10 Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиусом R и массы т относительно оси, совпадающей с его диаметром.

Ответ: .

11 Тонкая однородная пластинка массы имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти ее момент инерции относительно оси, совпадающей с одним из катетов, длина которого .

Ответ: г·м².

12 Вычислить момент инерции: а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина и радиус ; б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса т и радиус его основания .

Ответ: а) ; б) .

13 Однородный диск радиуса R имеет круглый вырез (рисунок 17). Масса оставшейся (заштрихованной) части диска равна т. Найти момент инерции такого диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей: а) через точку ; б) через его центр масс.

Ответ: а) ; б) .

Рисунок 17 – Рисунок к задаче 13

14 Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы т и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

Ответ: .

15 Определить момент инерции полого шара массы m относительно оси, проходящей через центр тяжести. Внешний радиус шара , внутренний - .

16 Найти момент инерции I однородного круглого прямого цилиндра массы т и радиуса R относительно оси цилиндра.

Ответ: I =½ mR².

17 Найти момент инерции I однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба m, длина ребра а.

Ответ: I =¹/₆ ma².

18 Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой служит квадрат со стороной а, относительно оси, проходящей через вершину и центр основания. Масса пирамида равна m.

Ответ: I =¹/₁₀ ma².

19 Поверхностная плотность тонкого диска радиуса изменяется по закону . Найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно егo плоскости.

Ответ: .

20 К точке с радиус-вектором приложена сила , а к точке с - сила . Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат , и - орты осей х и у, А и В - постоянные. Найти плечо равнодействующей силы относительно точки .

Ответ: .

21 Снаряд массы m начинает движение со скоростью v₀, направленной пол углом α к горизонту. Найти зависимость момента силы тяжести снаряда относительно точки выстрела от времени. Определить эту величину для моментов нахождения снаряда в высшей и наиболее удаленной точке траектории.

Ответ: ; ; .

22 Сила с компонентами (3,4,5)(Н) приложена к точке с координатами (4,2,3,)(м). Найти: а) момент силы относительно начала координат; б) модуль вектора , в) момент силы относительно оси z.

Ответ: а) (Н·м); б) Н·м; в) Н·м.

23 Сила, приложенная к частице, имеет вид (Н). Чему равен момент этой силы относительно оси z, если точка приложения силы имеет координаты (4,2; 6,8; 0) (м).

Ответ: Н∙м.

24 К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат равен приложена сила . Найти момент силы и плечо силы относительно начала координат.

Ответ: , .

25 Частица, положение которой относительно начала отсчёта декартовой системы координат (точка О) даётся радиус-вектором (-2,1,-5)(м), имеет импульс (1,2,3) (кг·м/с). Определить: а) момент импульса частицы относительно точки О; б) моменты импульса L_x, L_y и L_z относительно осей x,y,z.

Ответ: а) (кг·м²/с); б) L_x=13 кг·м²/с, L_y=1 кг·м²/с, L_z=-5 кг·м²/с.

26 Тело массы m брошено из точки с координатами (0,2,0)(м) вверх по вертикали с начальной скоростью 10м/с. Найти приращение момента импульса Δ относительно начала координат за всё время полёта тела. Ось z направлена вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: Δ (-40,0,0) (кг·м²/с).

27 Тело массы m брошено с начальной скоростью , образующей угол α с горизонтом. Приняв плоскость, в которой движется тело, за плоскость xy и направив ось y вверх, а ось х – по направлению движения, найти вектор момента импульса тела относительно точки бросания в момент, когда тело находится в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: .

28 Момент импульса частицы относительно некоторой точки А зависит от времени по закону . Найти относительно точки А момент силы , действующий на частицу. Чему равен момент силы, когда угол между и равен 60°?

29 Диск насажен на неподвижную ось. К одной и той же точке диска

прикладывают одну из сил , или . Соотношение модулей сил указано на рисунке 18. Под действием какой из сил угловое ускорение будет наибольшим?

30 Математический маятник массы m, длины l колеблется в вертикальной плоскости. Максимальное отклонение от положения равновесия равно l₀. Как изменяется момент силы тяжести маятника относительно точки подвеса в процессе движения? Нарисовать график зависимости момента силы тяжести маятника относительно точки подвеса от величины угла α.

Рисунок 18 – Рисунок к задаче 29

31 К однородному стержню массы и длины приложены две силы и (рисунок 19). Найти ускорение точки и угловое ускорение стержня. Как изменится ответ, если силу приложить к точке ?

Рисунок 19 – Рисунок к задаче 31

32 Тело произвольной формы вращается вокруг оси OO с угловой скоростью ω. Доказать, что угловая скорость вращения тела вокруг любой другой оси O'O' параллельной оси OO, также равна ω.

33 Обруч массы и радиуса вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси , проходящей через центр обруча (точка ) перпендикулярно его плоскости. Найти момент импульса обруча: а) относительно точки ; б) относительно точки , лежащей на оси вращения.

34 Точка 1 тела, вручающегося с угловой скоростью , имеет в некоторый момент времени скорость . Найти для того же момента времени скорость точки 2, смещенной относительно точки 1 на .

Ответ: + .

35 Однородный шар массы движется поступательно по поверхности стола под действием постоянной силы , приложенной, как показано на рисунке 20, где угол . Коэффициент трения между шаром и столом . Найти F и ускорение шара.

Ответ: F= а= .

Рисунок 20 – Рисунок к задаче 35

36 На ступенчатый блок (рисунок 21) намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной нити действуют постоянной силой , а к концу другой нити прикреплен груз массы т. Известны радиусы и блока и его момент инерции относительно оси вращения. Трения нет. Найти угловое ускорение блока.

Ответ: , где ось z направлена за плоскость рисунка 21.

Рисунок 21 – Рисунок к задаче 36

37 На однородный сплошной цилиндр массы и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы т (рисунок 22). В момент система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.

Ответ: а) ; б) .

 

Рисунок 22 – Рисунок к задаче 37

38 Горизонтальный тонкий однородный стержень массы т и длины может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец . В некоторый момент на конец начала действовать постоянная сила ,которая все время перпендикулярна к первоначальному положению покоившегося стержня и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня как функцию его угла поворота из начального положения.

Ответ: .

39 В установке, показанной на рисунке 23, известны масса однородного сплошного цилиндра т, его радиус и массы тел и . Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и отношение натяжений вертикальных участков нити в процессе движения. Убедиться, что при .

Рисунок 23 – Рисунок к задаче 39

Ответ: , .

40 В системе, показанной на рисунке 24, известны массы тел и , коэффициент трения между телом и горизонтальной плоскостью, а также масса блока т, который можно считать однородным диском. Скольжения нити по блоку нет. В момент тело начинает опускаться. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока, найти: а) ускорение тела ; б) работу силы трения, действующей на тело за первые t секунд после начала движения.

 

Рисунок 24 – Рисунок к задаче 40

Ответ: а) ; б) .

41 Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен ?

Ответ: .

42 Маховик с начальной угловой скоростью начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.

Ответ: .

43 Горизонтально расположенный однородный стержень массы и длины вращается свободно вокруг неподвижной вертикальной оси , проходящей через его конец . Точка находится посередине оси ,длина которой . При каком значении угловой скорости стержня горизонтальная составляющая силы, действующей на нижний конец оси ,будет равна нулю? Какова при этом горизонтальная составляющая силы, действующей на верхний конец оси?

Ответ: ; .

44 Однородный цилиндр массы и радиуса (рисунок 26) в момент начинает опускаться под действием силы тяжести. Пренебрегая массой нитей, найти: а) угловое ускорение цилиндра; б) зависимость от времени мгновенной мощности, которую развивает сила тяжести.

Рисунок 25 – Рисунок к задаче 44

Ответ: а) ; б) .

45 Тонкие нити намотаны на концах однородного сплошного цилиндра массы т. Свободные концы нитей прикреплены к потолку кабины лифта. Кабина начала подниматься с ускорением . Найти ускорение цилиндра относительно кабины и силу , с которой цилиндр действует (через нити) на потолок.

Ответ: , .

46 На гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, находится катушка с ниткой, свободный конец которой укреплен, как показано на рисунке 26. Масса катушки , ее момент инерции относительно собственной оси , радиус намотанного слоя ниток . Найти ускорение оси катушки.

Ответ: а= .

Рисунок 26 – Рисунок к задаче 46

47 Однородный сплошной цилиндр массы т лежит на двух горизонтальных брусьях. На цилиндр намотана нить, за свешивающийся конец которой тянут с постоянной вертикально направленной силой (рисунок 27). Найти значения силы ,при которых цилиндр будет катиться без скольжения, если коэффициент трения равен .

Рисунок 27 – Рисунок к задаче 47

Ответ: .

48 Система, состоящая из цилиндрического катка радиуса R и гири, связанных нитью, перекинутой через блок (рисунок 28) под действием силы тяжести приходит в движение из состояния покоя. Определить ускорение центра масс катка и силу натяжения нити. Какую скорость приобретет гиря, если она опускается с высоты h? Масса цилиндра М, масса гири , массой блока пренебречь. Каток катится без скольжения

Рисунок 28 – Рисунок к задаче 48

49 На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы т. Ее момент инерции относительно собственной оси , где - числовой коэффициент, - внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен . Катушку без скольжения начали тянуть за нить постоянной силой , направленной под углом кгоризонту (рисунок 29). Найти: а) проекцию на ось ускорения оси катушки; б) работу силы за первые секунд движения.

Рисунок 29 – Рисунок к задаче 49

Ответ: а) ; б) .

50 Система (рисунок 30) состоит из двух одинаковых однородных цилиндров, на которые симметрично намотаны две легкие нити. Найти ускорение оси нижнего цилиндра в процессе движения. Трения в оси верхнего цилиндра нет. Ответ: .

 

Рисунок 30 – Рисунок к задаче 50

51 В системе, показанной на рисунке 31, известны масса т груза , масса ступенчатого блока ,момент инерции последнего относительно его оси и

радиусы ступеней блока R и 2 R. Масса нитей пренебрежимо мала. Найти ускорение груза .

 

Рисунок 31 – Рисунок к задаче 51

Ответ: .

52 Сплошной однородный цилиндр массы может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке массы (рисунок 32). На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу которой приложили постоянную горизонтальную силу . Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти: а) ускорение точки ; б) кинетическую энергию этой системы через секунд после начала движения.

 

Рисунок 32 – Рисунок к задаче 52

Ответ: а) ; б) .

53 На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы и на ней однородный шар массы . К доске приложили постоянную горизонтальную силу . С какими ускорениями будут двигаться доска и центр шара в отсутствие скольжения между ними?

Ответ: ; .

54 Сплошному однородному цилиндру массы т и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью , затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен . Найти: а) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением; б) полную работу силы трения скольжения.

Ответ: а) ; б) .

55 Однородный шар радиуса скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса . Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная

скорость шара пренебрежимо мала.

Ответ: .

56 Сплошной однородный цилиндр радиуса R катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом (под уклон). Найти максимальное значение скорости цилиндра, при котором он перейдет на наклонную плоскость еще без скачка. Считать, что скольжения нет.

Ответ: .

57 Однородный шар массы и радиуса катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Вследствие деформаций в месте соприкосновения шара и плоскости