Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой :

, где . (12)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

, , , , (13)

где – угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к оси ; – отрезок, отсекаемый прямой на оси .

– уравнение прямой в отрезках, (14)

где и – отрезки, отсекаемые прямой на осях и соответственно (рис. 4)

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору нормали :

(15)

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному направляющему вектору :

(16)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :

(17)

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом :

(18)

Угол между прямыми и

Если :

: ,

то (19)

Если :

: ,

то (20)

Замечание.

а) || || или , (21)

б) или (22)

Координаты точки пересечения двух прямых и ищутся как решение системы:

(23)

Расстояние от точки до прямой : ищется по формуле:

(24)

§ 6. Аналитическая геометрия в пространстве

п.1 Плоскость.

Общее уравнение плоскости :

, где . (25)

Уравнение плоскости в отрезках:

, (26)

где – отрезки отсекаемые плоскостью на координатных осях соответственно.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору нормали :

(27)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и :

(28)

Угол между плоскостями и

Если :

: , то

(29)

Замечание.

а) || || , (30)

б) . (31)

Расстояние от заданной точки до заданной плоскости : ищется по формуле:

(32)

п.2 Прямая в пространстве.

Уравнение прямой , проходящей через заданную точку параллельно заданному направляющему вектору :

– каноническое уравнение прямой, (33)

– параметрические уравнения прямой (34)

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и :

(35)

Угол между прямыми в пространстве

Если известны направляющие вектора для прямых и :

то

Точка пересечения прямой и плоскости ищется как решение системы

(36)

Из последнего уравнения (36) находим значения параметра и, подставляя его в первые три уравнения, находим коорданты точки пересечения прямой и плоскости

Замечание.

а) || ||

б)

Пусть известны нормаль к плоскости и направляющий вектор прямой , тогда

а) || , (37)

б) || (38)

в) (39)

Глава III. Элементы математического анализа

§ 1. Кванторы

– «для любого » – квантор всеобщности,

– «существует такое, что …» – квантор существования,

– «существует только одно такое, что …» – квантор существования и единственности.

§ 2. Определение функций

Определение. Если каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу вполне определенное действительное число , то говорят, что на множестве определена числовая функция , т.е. .

Множество называют областью определения функции и обозначают .

Определение. Если каждой паре значений двух независимых друг от друга величин и из некоторой области соответствует определенное значение величины , то говорят, что есть функция двух независимых переменных и , определенная в области , т.е.

Область при этом называется областью определения функции .

При нахождении области определения функции двух переменных следует учитывать свойства элементарных функций.

	Функция	Область определения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

§ 3. Предел функции , непрерывность, точки разрыва

Рассмотрим

– «»–окрестность точки ,

– выколотую «»– окрестность точки .

Определение (по Коши): Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство: .

– Первый замечательный предел

(40)

– Второй замечательный предел

Таблица эквивалентностей при

, , , , , , ,

К неопределенностям относятся выражения вида , , , , и др.

1. . Чтобы раскрыть неопределенность этого вида необходимо в числителе и знаменателе дроби выделить сомножитель, обращающий их в ноль и сократить на него дробь. Способы выделения сомножителя зависят от вида функции, например,

а)

б)

Можно также пользоваться таблицей эквивалентностей.

в)

2. . Чтобы раскрыть неопределенность вида можно пользоваться эквивалентными бесконечно большими, например,

3. Неопределенности вида и сводятся предварительно к неопределенностям вида или , например,

а)

б)

4. Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела. Например,

Определение. Функцию называют непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:

1) определена в точке , то есть

2) существует ,

1. Если в точке существуют конечные односторонние пределы и или , то точку называют точкой разрыва I рода, устранимого.

2. Если в точке существуют конечные односторонние пределы и , то точку называют точкой разрыва I-го рода, неустранимого.

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен или , то точку называют точкой разрыва II рода.

Пример:

В точке функция не определена, следовательно, – точка разрыва.

Следовательно, точка разрыва II рода.

§ 4. Производная функции одной переменной

Определение. Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0 (при условии, что этот предел существует)

Геометрически производная определяет угловой коэффициент касательной к графику в точке .

Уравнение касательной к кривой:

, (41)

уравнение нормали к кривой:

, если (42)

Физический смысл: характеризует мгновенную скорость изменения функции при .

Таблица производных

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Правила дифференцирования

(43)

(44)

Правило Лопиталя

Теорема (Лопиталя). Если функции и :

1) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки ,

2) при одновременно являются бесконечно малыми или бесконечно большими,

3) в этой окрестности,

4) существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

(45)

§ 5. План полного исследования функции:

I. Область определения и область непрерывности:

1) если есть точки разрыва, установить их характер, найдя пределы слева и справа;

2) выяснить, не является ли функция четной (график симметричен относительно ) или нечетной (график симметричен относительно начала координат), периодической;

3) точки пересечения с осями координат.

II. Асимптоты.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к 0 (Точка удаляется в бесконечность, если ее расстояние от начала координат неограниченно увеличивается).

Прямую называют вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Прямую называют наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде:

где при

В этом случае

, (46)

В частности, если функция стремится к конечному пределу при : , то, очевидно, и линия имеет горизонтальную асимптоту, параллельную оси , именно .

III. Точки экстремума, интервалы возрастания и убывания.

Теорема (Достаточный признак монотонности)

Если на некотором промежутке имеет производную для , то на функция возрастает (убывает ).

Теорема (Необходимое условие экстремума)

Если дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то .

Функция может иметь экстремум среди точек, в которых:

1) ,

2) ,

3) – не существует, где .

Точки всех этих типов – критические точки функции.

Теорема (Достаточное условие экстремума)

Пусть дифференцируема в (кроме, быть может, самой точки ). Если – критическая точка и производная при переходе через точку меняет знак, то функция имеет в данной точке экстремум:

максимум, если знак производной меняется с «+» на «–»,

минимум, если знак производной меняется с «–» на «+».

IV. Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.

Определение. Кривую называют вогнутой в точке , если существует такая окрестность точки , в которой кривая расположена над касательной, проведенной к ней в точке (рис. 5).

Определение. Кривую называют выпуклой в точке , если существует такая окрестность точки , в которой кривая расположена под касательной, проведенной к ней в точке (рис. 6).

Теорема (Достаточное условие выпуклости (вогнутости))

Если во всех точках : , то кривая на этом интервале выпукла (вогнута).

Определение. Точку, отделяющую выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называют точкой перегиба кривой.

Теорема (Достаточное условие перегиба)

Если или не существует и при переходе через меняет знак, то точка кривой с абсциссой будет точкой перегиба.

V. Построение графика.

§ 6. Частные производные функции нескольких переменных.

Производная сложной функции нескольких переменных

Определение. Частной производной функции по переменной в точке называется предел отношения частного приращения функции по к приращению по при неограниченном убывании последнего к нулю:

Другое обозначение: .

Таким образом, частная производная функции по переменной вычисляется в предположении, что значение постоянно.

Аналогично:

Другое обозначение: .

Частная производная функции по переменной вычисляется в предположении, что значение постоянно.

Частные производные функции сами являются функциями этих же переменных и могут иметь производные, которые называются частными производными второго порядка.

Пусть дана функция , где ; .

Тогда ,

. (см. рис. 7)

Если , а , , то

(см. рис. 8)

§ 7. Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее или наименьшее из всех значений нельзя смешивать с максимумом или минимумом функции, которые являются наибольшим или наименьшим значением функции только по сравнению с ее значениями в соседних точках.

Функция , непрерывная в некоторой ограниченной замкнутой области , обязательно имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области , где она непрерывна, можно руководствоваться следующим правилом:

1. Найти критические точки, лежащие внутри области и вычислить значения функции в этих точках.

2. Найти наибольшее или наименьшее значения функции на границе области .

3. Сравнить полученные значения функции: самое большее из них и будет наибольшим, самое меньшее – наименьшим значением функции в области .

§ 8. Неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функции на множестве , если для любого выполняется равенство .

Определение. Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Т.е.

Таблица интегралов

Метод замены переменной

Метод замены переменной состоит в том, что в интеграл , нахождение которого затруднительно, вводят новую переменную , связанную с переменной соотношением

где – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную на некотором интервале изменения .

Таким образом,

После того, как интеграл найден, возвращаются к первоначальной переменной с помощью подстановки .

Пример:

Метод интегрирования по частям

Интегрирования по частям основано на применении формулы

(47)

Случаи применения формулы по частям.

I. ; ; ; .

II. ; ; ; ; .

За , ,

III. , .

Применяется двукратное интегрирование по частям.

Пример:

Интегрирование рациональных функций

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:

1. .

2. .

3. ,

где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Пример:

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

1. Интегралы вида: .

а) Если и нечетное, то подстановка приводит к интегралу от рациональной функции.

Если и нечетное, то к тому же приводит подстановка .

б) Если оба показателя и положительные и четные, то применяются формулы:

(48)

в) Если оба показателя и отрицательные и сумма их четная, то подстановка приводит к интегралу от рациональной функции.

При этом , , .

2. Интегралы вида:

путем подстановки сводится к интегралу от рациональной функции, при этом .

3. Интегралы вида:Формулы:

: ,

Примеры:

§ 9. Определенный интеграл

Если на , то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями (рис. 9).

Формула Ньютона-Лейбница:

где – первообразная для .

Интегрирование по частям:

, (49)

где – дифференцируемые функции на .

Замена переменной:

где – функция непрерывная вместе со своей производной на отрезке – функция непрерывная на .

Если – нечетная функция, то .

Если – четная функция, то .

§ 10. Приложения определенных интегралов

1) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и осью вычисляется по формуле

2) Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций

и прямыми

вычисляется по формуле:

(рис. 10) (50)

3) В полярных координатах площадь криволинейного сектора , ограниченного кривой и лучами вычисляется по формуле:

(рис. 11) (51)

4) Если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, то его объем