1. .
, , , . , , , , . . , , .
- .
.
, ( ), (n ), . . - A B, . ( ) A B.
.
, , , . . . , , a , b - , b = -a, , , a.
.
, , .
, .
. , , , ( ). , , .
, , .
, (, , ), , .
, , () .
, , .
, .
|
|
2. .
.
m : A1, A2, , Am. B n . B1, B2, , Bn. m×n. (Ai, Bj), , .. aij ( ) (- aij) .
, aij (Ai,Bj).
= (aij), , , Ai Bj, .
:
j i | B1 | B2 | ... | Bn |
A1 | a11 | a12 | ... | 1n |
A2 | a21 | a22 | ... | 2n |
... | ... | ... | ... | ... |
Am | am1 | am2 | ... | mn |
, .
.
αi - A i ( i- ), .. .
αi () . α (). .
:
.
, , .
B.
B , .
B j, , A .
- B B j A ( j- ).
() β . .
:
.
, , .
, "" , . , , .
, , , .. "".
, v = = , . , , , , .
( ) v, ( ) v. , , .., , .
A i B j , aij .
|
|
, , ( , - ).
. , :
= | 0,5 0,6 0,8 0,9 0,7 0,8 0,7 0,6 0,6 | . |
.
, . , , , .
-
j i | B1 | B2 | B3 | |
A1 | 0,5 | 0,6 | 0,8 | 0,5 |
A2 | 0,9 | 0,7 | 0,8 | 0,7 |
A3 | 0,7 | 0,6 | 0,6 | 0,6 |
0,9 | 0,7 | 0,8 | = 0,7 = 0,7 |
3.
, , .
, . , .
1, 2, , m c u1, u2, , um.
: U = (u1, u2, , um), : Z = (z1, z2, , zm).
, :
ui ≥ 0, ,
zj ≥ 0, ,
, .
, .
( - ) U*, Z*, , : , . , , v. :
≤ v ≤ ,
.
. .
U* = (, ,..., ) Z* = (, ,..., ) - . , , .
. , v, .
- .
2x2.
. , - , .
, , U* = (, ) Z* = (, ).
, . U*, v, . 2x2 , .
( ) , . ( ) v , .
:
|
|
A = | a11 a12 a21 a22 | . |
, U* = (, ), B1 ( ), v, ..:
a11 + a21 = v.
, B2, .. a12 + a22 = v. , + = 1, :
a11 + a21 = v, a12 + a22 = v, + = 1. |
, U* v.
:
a11 + a12 = v, a21 + a22 = v, + = 1. |
. , :
A = | 2 5 6 4 | . |
. , . (2 4) (6 5). , = max (2, 4) = 4, = min (6, 5) = 5. ≠ , , : 4 ≤ v ≤ 5.
, U = (u1, u2). :
2 + 6 = v, 5 + 4 = v, + = 1. |
, : = 2/5, = 3/5, v = 22/5.
. Z = (z1, z2). , , :
2 + 5 = 22/5, 6 + 4 = 22/5, + = 1. |
, , , = 1/5, = 4/5.
, 5.3 : U* = (2/5, 3/5), Z* = (1/5, 4/5), v = 22/5.
4. 2×n m×2.
2×n m×2 2×2 .
i , k, ij<=kj, . , i k, k, , , .
B l , m, b im <=b il, . , l k, B , m, , A, .
2×n m×2 .
B ( 2×n) ( m×2).
2×n.
j i | B1 | B2 | ... | Bn |
A1 | a11 | a12 | ... | 1n |
A2 | a21 | a22 | ... | 2n |
B. k , .. :
j i | B1 | B2 | ... | Bk |
A1 | a11 | a12 | ... | 1k |
A2 | a21 | a22 | ... | 2k |
, .. :
≤ v ≤ .
. Z = (z1, z2).
1mz1+ 2mz2£v, .
|
|
z1 + z2=1,
z1 ³0, z2³0.
, z1 z2. z2. 1, z2 v.
v , z2. 2 2 3 (. ). , . 2 3 , 2´2. (. ).
m×2, .
j i | B1 | B2 |
A1 | a11 | a12 |
A2 | a21 | a22 |
... | ... | ... |
Am | am1 | am2 |
. k , .. :
j i | B1 | B2 |
A1 | a11 | a12 |
A2 | a21 | a22 |
... | ... | ... |
Ak | ak1 | ak2 |
, .. :
≤ v ≤ .
. U = (u1, u2).
m1u1+ m2u2³v, .
u1 + u2=1,
u1 ³0, u2³0.
, u1 u2. u2. 2, u2 v.
v , u2, . 3 k 2 (. ). , . k 2 , 2´2. (. ).
4. n × m.
, n×m .
j i | B1 | B2 | ... | Bn |
A1 | a11 | a12 | ... | 1n |
A2 | a21 | a22 | ... | 2n |
... | ... | ... | ... | ... |
Am | am1 | am2 | ... | mn |
.
Z = (z1, z2, , z n) . , ..
,
k1z1+ k2z2++ knzn£v, .
z1 + z2+ + zn=1,
z1 ³0, z2³0, , zn³0.
U = (u1, u2, , u m) . , ..
,
1ku1+ 2ku2++ mkum≥v, .
u1 + u2+ + um=1,
u1 ³0, u2³0, , um³0.
n × m MS-Excel.
1. , , .
2. 2- ?
3. .
4. ?
5. 2×n m×2?
6. n×m?