Базові поняття алгебри логіки 2 страница

 

Приклад 3. Знайти кількість контурів довжини 3 з вершини a та кількість шляхів довжини 2, що з’єднують вершини c та b у підграфі графа, який заданий у попередньому завданні з вершинами .

Розв’язування. Для знаходження кількості шляхів довжини 2, що з’єднують вершини c та b необхідно матрицю суміжності заданого графа піднести до квадрату.

,

Квадрат матриці суміжності заданого графа є матрицею вигляду

.

Кількість шляхів довжини 2, що з’єднують вершини c та b визначає елемент матриці . Отже, кількість шляхів дорівнює 2.

Для визначення кількості контурів довжини 3 з вершини a необхідно знайти елемент матриці . Отже, кількість контурів дорівнює 4.

Завдання для самостійної роботи

 

Завдання з розділу „Теорія множин”

1. Дано — множини. Довести тотожність:

№	Завдання	№	Завдання

 

2. Задано множини:

, ,

, , .

Знайти результат виконання операцій над множинами.

 

№	Завдання	№	Завдання

 

3. Задано множини:

; ; R –множина дійсних чисел. Перевірити, чи будуть рівнопотужними множини і .

№	Завдання	№	Завдання
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;

 

 

4. Використовуючи операції над множинами, розв'язати задачу:

 

4.1. Кожен учень у класі вивчає англійську або французьку мову. Тільки англійську мову вивчають 7 учнів, тільки французьку – 5, а 16 учнів вивчають обидві мови. Скільки учнів у класі?

4.2. У класі 30 учнів. Кожен із них займається футболом або хокеєм. Третина учнів класу займається тільки хокеєм, а 5 учнів і хокеєм, і футболом. Скільки учнів займаються футболом?

4.3. У класі 35 учнів. Кожен учень у класі вивчає англійську або німецьку мову. Англійську мову вивчають 17 учнів, а німецьку – 25. Скільки учнів у класі вивчають і англійську, і німецьку мови?

4.4. У класі 20 учнів. Кожен із них відвідує факультативні заняття з математики, фізики чи хімії. 5 учнів класу відвідують лише математичний факультатив, фізикою займаються 8 учнів, а хімією –12. Скільки учнів класу відвідують більше, ніж один факультатив?

4.5. У класі 40 учнів. Кожен із них займається футболом чи хокеєм. Половина учнів класу займається тільки хокеєм, а 10 учнів – тільки футболом. Скільки учнів класу займаються і хокеєм, і футболом?

4.6. У групі з 20 дітей половина захоплюється малюванням, а інші музикою або танцями. Тільки музикою захоплюється 4 дітей, 3 дітей захоплюються і музикою, і танцями. Скільки дітей захоплюється танцями?

4.7. У класі 33 учні. На домашнє завдання слід було виконати 5 вправ. Усі учні виконали хоча б 3 вправи. 10 учнів виконали домашнє завдання повністю. Скільки учнів класу виконали лише 4 вправи?

4.8. На домашнє завдання слід було виконати 2 вправи. 10 учнів виконали першу вправу, 12 учнів зробили лише друге завдання. 2 учнів виконали домашнє задання повністю. Скільки учнів у класі?

4.9. У дитячому садку вивчали вірші та приказки. 10 дітей вивчили вірш, а 15 вивчили приказку, 5 дітей вивчили і вірш, і приказку. Скільки дітей у групі дитсадка?

4.10. У класі 20 учнів. На домашнє завдання потрібно було вивчити вірша чи прислів’я. Половина дітей вивчили вірш, а 7 вивчили і вірш, і прислів’я. Скільки дітей вивчили прислів’я?

4.11. Кожен учень у класі вивчає англійську або французьку мову. Лише англійську мову вивчають 7 учнів, лише французьку – 5, а 16 вивчають обидві мови. Скільки учнів у класі?

4.12. У класі 30 учнів. Кожен з них займається футболом чи хокеєм. Третина учнів класу займається тільки хокеєм, а 5 учнів і хокеєм, і футболом. Скільки учнів займаються футболом?

4.13. У класі 35 учнів. Кожен учень у класі вивчає англійську або німецьку мову. Англійську мову вивчають 17 учнів, а німецьку – 25. Скільки учнів у класі вивчають і англійську, і німецьку мови?

4.14. У класі 20 учнів. Кожен з них відвідує факультативні заняття з математики, фізики чи хімії. 5 учнів класу відвідують лише математичний факультатив, фізикою займаються 8 учнів, а хімією –12. Скільки учнів класу відвідують більше, ніж один факультатив?

4.15. У класі 40 учнів. Кожен з них займається футболом чи хокеєм. Половина учнів класу займається тільки хокеєм, а 10 учнів – тільки футболом. Скільки учнів класу займаються і хокеєм, і футболом?

4.16. У групі з 20 дітей половина захоплюється малюванням, а інші музикою або танцями. Тільки музикою захоплюється 4 дітей, 3 дітей захоплюються і музикою, і танцями. Скільки дітей захоплюється танцями?

4.17. У класі 33 учні. На домашнє завдання слід було виконати 5 вправ. Усі учні виконали хоча б 3 вправи. 10 учнів виконали домашнє завдання повністю. Скільки учнів класу виконали лише 4 вправи?

4.18. На домашнє завдання слід було виконати 2 вправи. 10 учнів виконали першу вправу, 12 учнів зробили лише друге завдання. 2 учнів виконали домашнє завдання повністю. Скільки учнів у класі?

4.19. У дитячому садку вивчали вірші та приказки. 10 дітей вивчили вірш, а 15 вивчили приказку, 5 дітей вивчили і вірш, і приказку. Скільки дітей у групі?

4.20. У класі 20 учнів. На домашнє завдання потрібно було вивчити вірша чи прислів’я. Половина дітей вивчили вірш, а 7 вивчили і вірш, і прислів’я. Скільки дітей вивчили прислів’я?

4.21. Кожен учень у класі вивчає англійську або французьку мову. Лише англійську мову вивчають 7 учнів, лише французьку – 5, а 16 вивчають обидві мови. Скільки учнів у класі?

4.22. У класі 30 учнів. Кожен з них займається футболом чи хокеєм. Третина учнів класу займається тільки хокеєм, а 5 учнів і хокеєм, і футболом. Скільки учнів займаються футболом?

4.23. У класі 35 учнів. Кожен учень у класі вивчає англійську або німецьку мову. Англійську мову вивчають 17 учнів, а німецьку – 25. Скільки учнів у класі вивчають і англійську, і німецьку мови?

4.24. У класі 20 учнів. Кожен з них відвідує факультативні заняття з математики, фізики чи хімії. 5 учнів класу відвідують лише математичний факультатив, фізикою займаються 8 учнів, а хімією – 12. Скільки учнів класу відвідують більше, ніж один факультатив?

4.25. У класі 40 учнів. Кожен з них займається футболом чи хокеєм. Половина учнів класу займається тільки хокеєм, а 10 учнів – тільки футболом. Скільки учнів класу займаються і хокеєм, і футболом?

4.26. У групі з 20 дітей половина захоплюється малюванням, а інші музикою або танцями. Тільки музикою захоплюється 4 дітей, 3 дітей захоплюються і музикою, і танцями. Скільки дітей захоплюється танцями?

4.27. У класі 33 учні. На домашнє завдання слід було виконати 5 вправ. Усі учні виконали хоча б 3 вправи. 10 учнів виконали домашнє завдання повністю. Скільки учнів класу виконали лише 4 вправи?

4.28. На домашнє завдання слід було виконати 2 вправи. 10 учнів виконали першу вправу, 12 учнів зробили лише друге завдання. 2 учнів виконали домашнє завдання повністю. Скільки учнів у класі?

4.29. У дитячому садку вивчали вірші та приказки. 10 дітей вивчили вірш, а 15 вивчили приказку, 5 дітей вивчили і вірш, і приказку. Скільки дітей у групі?

4.30. У класі 20 учнів. На домашнє завдання потрібно було вивчити вірша чи прислів’я. Половина дітей вивчили вірш, а 7 вивчили і вірш, і прислів’я. Скільки дітей вивчили прислів’я?

Завдання з розділу „Комбінаторика”

 

5. Розв’язати задачу та пояснити хід розв’язання.

5.1. Скільки різних послідовностей можна утворити з 6-ти одиниць та 10-ти нулів?

5.2. Скільки різних шестисимвольних кодів можна утворити на множині літер української абетки?

5.3. Скількома різними способами можна поставити в два ряди семеро осіб для виконання їх групового портрету?

5.4. У повному комплекті гри в доміно – 28 кісточок. Скільки кісточок буде мати повний комплект дитячого доміно, якщо замість цифр використати 9 різних малюнків?

5.5. Скількома способами можна розселити 12 студентів у 4 тримісні кімнати гуртожитку?

5.6. Скількома способами можна розділити групу з 24 студентів на дві рівні підгрупи для здачі модульного контролю?

5.7. Скількома способами можна розділити групу з 24 студентів на три рівні підгрупи для здачі нормативів з фізкультури?

5.8. Із 19 запитань потрібно скласти екзаменаційні білети, причому в кожен білет вписується лише два запитання. Скільки таких білетів можна скласти?

5.9. Десять нових працівників необхідно розподілити на робочі місця. Існує 6 відділів, причому кожен зі співробітників може працювати у будь-якому відділі. Скількома способами можна зробити призначення?

5.10. У дитячий садок надійшло 5 нових дітей, яких треба розподілити в 7 груп, причому в одну групу не більше однієї дитини. Скільки можливостей розподілу по групах в цьому випадку існує?

5.11. Скільки різних послідовностей можна утворити з 4-ох одиниць та 12-ти нулів?

5.12. Скільки різних семисимвольних кодів можна утворити на множині літер латинської абетки?

5.13. Скількома різними способами можна поставити в два ряди 6 осіб для виконання їх групового портрету?

5.14. У повному комплекті гри в доміно – 28 кісточок. Скільки кісточок буде мати повний комплект дитячого доміно, якщо замість цифр використати 5 різних малюнків?

5.15. Скількома способами можна розселити 12 студентів у 3 чотиримісні кімнати гуртожитку?

5.16. Скількома способами можна розділити групу з 20 студентів на дві рівні підгрупи для здачі модульного контролю?

5.17. Скількома способами можна розділити групу з 21 студентів на три рівні підгрупи для здачі нормативів з фізкультури?

5.18. Із 26 запитань потрібно скласти екзаменаційні білети, причому в кожен білет вписується лише два запитання. Скільки таких білетів можна скласти?

5.19. Десять нових працівників необхідно розподілити на робочі місця. Існує 5 відділів, причому кожен зі співробітників може працювати у будь-якому відділі. Скількома способами можна зробити призначення?

5.20. У дитячий садок надійшло 6 нових дітей, яких треба розділити в 7 груп, причому в одну групу не більше однієї дитини. Скільки можливостей розподілу по групах в цьому випадку існує?

5.21. Скільки різних послідовностей можна утворити з 8-ми одиниць та 8-ми нулів?

5.22. Скількома способами за круглим столом можемо розсадити 10 гостей так, щоб певна пара сиділа поруч?

5.23. Скільки різних п’ятисимвольних кодів можна утворити на множині десяти арабських цифр абетки?

5.24. Скількома різними способами можна поставити в ряд семеро і восьмеро хлопців, щоб дівчата не стояли на груповому портреті поруч?

5.25. Скількома способами можна розселити 9 студентів у 3 тримісні кімнати гуртожитку?

5.26. Скількома способами можна розділити групу з 26 студентів на дві рівні підгрупи для здачі модульного контролю?

5.27. Скількома способами можна розділити групу з 24 студентів на чотири рівні підгрупи для здачі нормативів з фізкультури?

5.28. Скільки різних двійкових чисел можна утворити з 6-ти одиниць та 10-ти нулів, щоб у старшому розряді була одиничка?

5.29. Вісім нових працівників необхідно розподілити на робочі місця. Існує 6 відділів, причому кожен зі співробітників може працювати у будь-якому відділі. Скількома способами можна зробити призначення?

5.30. У дитячий садок надійшло 5 нових дітей, яких треба розділити в 7 груп, причому в одну групу не більше однієї дитини. Скільки можливостей розподілу по групах в цьому випадку існує?

 

6. Задано множину . У завданнях 1–10 встановити:

6.1. Скільки існує різних перестановок із елементів цієї множини.

6.2. Скільки існує розміщень із елементів цієї множини по 5 елементів, що містять число 11.

6.3. Скільки існує розміщень із елементів цієї множини по 5 елементів, що містять числа 11 і 13.

6.4. Скільки існує розміщень із елементів цієї множини по 5 елементів, що містять число 11 або 13.

6.5. Скільки існує розміщень із елементів цієї множини по 4 елементи, що містять числа 1 і 2 або 17.

6.6. Скільки існує розміщень із елементів цієї множини по 4 елементи, що містять числа 1 і 17.

6.7. Скільки існує різних перестановок із підмножини елементів цієї множини, які мають парні індекси.

6.8. Скільки існує різних перестановок із підмножини елементів цієї множини, які мають непарні індекси.

6.9. Скільки існує різних перестановок із підмножини елементів цієї множини, які мають індекси кратні 3.

6.10. Скільки існує розміщень із елементів цієї множини по 5 елементів, що містять число 13.

6.11. Скільки різних намист можна укласти з 10 намистин різного розміру.

6.12. Скількома способами можна вибрати 3 однакові карти з карт.

6.13. Скількома способами можна вибрати 5 послідовно занумерованих карт з колоди карт.

6.14. Скількома способами можна вибрати 5 карт з колоди карт () так, щоб було чотири карти однакового номеру.

6.15. Скількома способами можна вибрати 5 послідовно занумерованих карт однієї масті з колоди карт ().

6.16. Скількома способами можна вибрати 5 карт з колоди карт () так, щоб було дві пари (пара – дві карти однакового номеру).

6.17. Скількома способами можна приставити дві кісточки одна до одної з набору 28 доміно так, щоб суміжні поля обидвох співпадали.

6.18. Скільки різних намист можна укласти з 20 намистин різного розміру.